Файл: PRYaM_Ye_I_PLOSKOSTI.doc

Глава 2. Прямые и плоскости §1.Уравнение кривой и поверхности.

Определение. Пусть  – некоторая кривая на плоскости, а (x, y) – функция двух переменных. Говорим, что уравнение

(x, y) = 0 (1)

есть уравнение кривой  в неявном виде, если координаты любой точки M удовлетворяют (1), и обратно, каждая пара чисел (x, y), удовлетворяющих (1), задает точку M(x, y) на кривой.

Подчеркнем, что при составлении уравнений следствие обязательно надо проверять в обе стороны.

Пример. Составим уравнение окружности  радиуса R с центром в точке O(a, b). Пусть M(x, y) – произвольная точка окружности . Тогда

R=|OM|= 

 (x – a)² + (y – b)² = R ². (2)

Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (2), то |OM|=R, а значит, M. Таким образом (2) и есть уравнение нашей окружности.

Если из уравнения (1) удается выразить одну координату через другую, то получим уравнение в явном виде:

y = f (x), (3)

Не всегда удается привести неявное уравнение кривой к явному виду. В каком случае это возможно гласит теорема о неявной функции, изучаемая в курсе математического анализа. Например, с уравнением окружности это сделать нельзя.

Предположим, что точка движется по кривой. Тогда её координаты изменяются со временем:

(4)

При этом параметр t изменяется в определенных пределах: tI, где I – интервал числовой прямой. Говорим, что (4) есть параметрические уравнения кривой , если точка M(x, y) лежит на кривой  тогда и только тогда, когда найдется такое tI, что будут выполнены оба равенства (4) одновременно. При этом, обязательно к системе (4) надо добавлять интервал изменения параметра. Физический смысл параметра в (4) не всегда время.

Пример 2. Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат имеют вид:

(5)

Не важно, что для одной и той же точкиможет найтись несколько (или даже бесконечно много) соответствующих ей значений параметра. Это не запрещается.

Пример 3. Уравнения

задают полукубическую параболу. Уравнения

(_*)

тоже задают полукубическую параболу, но не всю, а только её верхнюю половину. Для точки M, лежащей ниже оси Ox, не найдется такого t, для которого выполнено (_*).

Определение. Пусть  – некоторая поверхность в пространстве, а F(x, y, z) – функция от трех переменных. Говорим, что

F(x, y, z) = 0 (6)

есть уравнение поверхности  в неявном виде, если координаты любой точки M удовлетворяют (6), и обратно, каждая тройка (x, y, z) чисел, удовлетворяющих (6), задает точку M(x, y, z) на поверхности.

Так же, как и для кривой, при составлении уравнения поверхности, необходимо проверять следствие в обе стороны.

Упражнение. Самостоятельно докажите, что сфера радиуса R с центром в точке O(a, b, с) задается уравнением

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R ². (7)

Если из уравнения (6) удается выразить одну переменную через две другие, то получим уравнение поверхности в явном виде: z=f(x, y). Вопрос, когда это возможно сделать, изучается в курсе математического анализа. Уравнение сферы невозможно переписать в явном виде.

Если уравнения двух множеств объединить вместе, то получится система из двух уравнений, которая задаёт их пересечение.

Пример4. Система уравнений

задает окружность в плоскости Oxy. Первое уравнение системы задает сферу с центром в начале координат, а второе – плоскость Oxy. Их пересечение есть окружность . Если подставить z = 0 в первое уравнение, то получим

x² + y² = R ². (_{* *} )

Казалось бы, можно сказать, что это и есть уравнение окружности . Но это не так. Уравнение (_**) задает цилиндрическую поверхность (см. параграф «цилиндрические и конические поверхности»). Подставляя z=0 в первое уравнение системы, нельзя при этом отбрасывать само уравнение z=0.

§2. Уравнение прямой на плоскости.

Прямуюl на плоскости можно задать

а) с помощью точки M_o l и ненулевого вектора a;\s\up8(( l ; тогда можем написать, что

l ={M MoM;\s\up10( –( a;\s\up8((}; (_*)

б) с помощью точкиA_o l и ненулевого вектора n;\s\up8((  l ; тогда можем написать, что

l ={M MoM;\s\up10( –( n;\s\up8((}; (_**)

в) с помощью двух точек M_o, M₁ l .

Вектор a;\s\up8((||l называется направляющим вектором прямой, а вектор n;\s\up8((  l называется вектором нормали к прямой.

Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку M_o(x_o, y_o), и имеющая направляющий вектор a;\s\up8(((a₁, a₂), задается уравнением

= , (9 )

которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями:

(10 )

которые можно записать в векторном виде так:

r;\s\up8(( = ro;\s\up8((+ ta;\s\up8((, tR , (10 )

где ro;\s\up8(( = OAo;\s\up10( –(– радиус-вектор точки A_o.

2. Прямая, проходящая через точку M_o(x_o, y_o), и имеющая вектор нормали n;\s\up8(((A, B), задается в декартовой СК уравнением

A(x – x_o) + B(y – y_o) = 0. (11 )

3. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a  0, b  0, задается уравнением

+ = 1 , (12 )

(уравнение прямой в отрезках).

Доказательство. 1. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда AoM;\s\up10( –((x – x_o, y – y_o)||a;\s\up8(((a₁, a₂). По второму признаку коллинеарности векторов это равносильно (9).

Обратно, если для координат точки M(x, y) выполнено (9), то по тому же признаку AoM;\s\up10( –( ||a;\s\up8((, а значит, Ml .

По первому признаку коллинеарности векторов AoM;\s\up10( –( ||a;\s\up8((   tR, такое что AoM;\s\up10( –(= ta;\s\up8((. В координатах последнее равенство имеет вид

x – x_o = ta₁, y – y_o = ta₂,

Для того, чтобы получить уравнение (10) осталось перенести x_o и y_o в другую часть равенства.

2. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда

AoM;\s\up10( –((x – x_o, y – y_o)  n;\s\up8(((A, B)  AoM;\s\up10( –( · n;\s\up8(( = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (12), то AoM;\s\up10( –( n;\s\up8(( , а значит, Ml .

3. Условие означает, что прямая проходит через точки A(a, 0) и B(0, b). Вектор AB;\s\up10( –((a, b) будет для нашей прямой направляющим. Подставляя в (9) координаты точки A и вектора AB;\s\up10( –(, получим

=  + = 1.

При ответе на экзамене недостаточно написать уравнение прямой: требуется обязательно указать, что означает каждый из параметров, входящих в уравнение. Например, выписав каноническое или параметрическое уравнение прямой, следует указать, что (x_o, y_o) – это координаты точки, через которую проходит прямая, а (a₁, a₂) – координаты направляющего вектора. Без данных пояснений ответ в виде выписанного уравнения расценивается, как отсутствие ответа.

Следствие 1. Прямая, проходящая через две точки M_o(x_o, y_o) и M₁(x₁, y₁), задается уравнением

= , (13 )

Действительно, если прямая проходит через две точки M_o(x_o, y_o) и M₁(x₁, y₁) , то вектор MoM1;\s\up10( –( (x₁– x_o, y₁– y_o) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (9) вместо a₁, a₂, получим (13).

Следствие 2. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

Ax + By + C = 0 , (14)