Файл: 1366.pdf

Видно, что ни одно из этих уравнений в отдельности нельзя решить, поскольку каждое содержит более одного неизвестного. Для решения вариантов задач задания РЗ2

рекомендуется избрать путь последовательного исключения неизвестных. Разность уравнений (C) и (A) дает

(2 – C)/5 - (1 – A)/5 = 0

или

C = A + 1

Откуда подстановкой в уравнение (A) получаем

(1 – A)/5 – 1 A(A + 1) = 0

и далее

–5A2 –6A + 1 = 0

14

Это квадратное уравнение решаем согласно курсу алгебры средней школы и получаем в ответе

A = 0.1483

Далее, согласно полученному выше соотношению

C = A + 1= 0.1483 + 1 = 1.1483

Теперь выясняем, что уравнение (B) после подстановки значений A и C содержит одно неизвестное B

–B/5 + 0.1485 1.1485 – B2 – 0.1B = 0

или

– 5B2 – 1.5B + 0.8515 = 0

откуда согласно школьному курсу алгебры

B = 0.2891

Теперь подстановка B в уравнения (D) и (E) приводит к уравнениям с одним неизвестным

–D/5 + 0.5B2 – 0.1B = 0

и

–E/5 + 0.1B = 0

откуда

15

D = 0.0643

и

E = 0.1445

Прямая кинетическая задача решена – определены все значения концентраций на выходе из реактора при заданных начальных условиях и времени реакции.

Как проверить полученные ответы? Простейший способ состоит в вычислении значений инвариантов системы, например, ее балансных соотношений. В нашем случае таковыми будут, в частности, следующие

Ao = A + B + 2D + 3E

и

Co = C + B + 2D + 3E

Рекомендуем студентам самостоятельно разобраться,

почему это так (достаточно простое и очень полезное для химика-технолога упражнение). Если вычислить и проверить эти соотношения, установим, что отклонение от равенства не превышает 0.05%. Наличие ненулевого

16

отклонения вполне обычно для численных решений,

точность которых ограничена влиянием многих факторов,

например, длиной разрядной сетки калькулятора.

17

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕАКЦИИ – СТЕПЕНИ ПРЕВРАЩЕНИЯ РЕАГЕНТОВ, ВЫХОДА ЦЕЛЕВОГО ПРОДУКТА И СЕЛЕКТИВНОСТИ ЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

(ВТОРАЯ ЧАСТЬ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ РЗ2)

В химической технологии принято оценивать результаты работы, например, синтеза вещества или технический уровень проекта процесса, с помощью ряда качественных и количественных показателей. Наиболее популярными, но не единственными из таких показателей являются степень превращения P, выход продукта R и

селективность его образования S. Эти показатели, конечно,

не исчерпывают описание химико-технологического процесса, например, не характеризуют его производительность или экономику. Тем не менее, они очень важны, поскольку с использованием их значений можно вычислить ряд других необходимых показателей

18

процесса, например, объем и производительность реактора или затраты на производство единицы количества (моля)

продукта. Рассмотрим вычисление этих показателей в нашем варианте задания, а также особенности других вариантов, важные для правильного вычисления и адекватного понимания получаемых ответов.

Итак, напомним формулы для вычисления упомянутых показателей, не забывая, что C2 обозначает концентрацию целевого продукта, а C1 – реагента (исходного продукта).

P = (C01-C1)/C01

R = Э C2/C01

S = Э C2/(C01-C1)

Диапазон изменения этих величин от нуля до единицы.

Подстановка в эти формулы значений, полученных в нашем варианте задания, дает

19

P = (A0-A)/A0

R = Э B/A0

S = Э B/(A0-A)

или

P = (1-0.1483)/1

R = 1 0.2891/1

S = 1 0.2891/(1-0.1483)

или

P = 0.8517

R = 0.2891

S = 0.3394

Таким образом, мы получили решение расчетного задания. Остается только представить преподавателю результаты – значения неизвестных текущих концентраций веществ, степень превращения реагента, выход целевого продукта и селективность его образования. Если они правильные, расчетное задание РЗ2 будет Вам зачтено.

20

Следует, однако, помнить о «подводных камнях»,

встречающихся в подобных расчетах. Во-первых,

эквивалент Э далеко не всегда равен 1 (внимание!), то есть,

часто на получение одного моля тратится другое количество реагента. Во-вторых (и это, пожалуй, еще важнее), если исходных веществ имеется два или больше, эти расчеты в общем случае дают разные результаты для разных исходных веществ. Первая причина этого – разные величины начальных концентраций (количеств) веществ.

Вторая причина – разные величины эквивалентов по ним.

Третья причина – разные исходные вещества могут участвовать в разных стадиях реакции. Иными словами, для разных реагентов стехиометрия и кинетика образования основных и побочных продуктов реакции в общем случае различна.

21

КАК УПРОСТИТЬ И УСКОРИТЬ РЕШЕНИЕ

РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ РЗ2

Представленный выше общий способ решения задачи довольно громоздок. В то же время видно, что далеко не все вещества участвуют во всех стадиях. Иными словами,

стехиометрическая матрица, как обычно, заполнена мало, в

ней много нулей. Кроме того, многие замены переменных и подстановки вполне очевидны без выполнения алгебраических преобразований. Например, подстановка

C = A + 1

вполне очевидна, поскольку реагенты A и C участвуют в одной и той же стадии с одинаковыми стехиометрическими коэффициентами. Поэтому разность их количеств остается на протяжении всего времени реакции постоянной и равной начальной разности, то есть, единице.

Конечно, при расчетах на компьютере эта экономия не имеет смысла, а соответствующие программы проще и

22

надежнее составлять на основе универсальных алгоритмов.

Так, нелинейные алгебраические системы часто решают интегрированием соответствующей системы о.д.у. до ее точки покоя – это и есть искомое решение (метод релаксации и ему подобные смотрите в курсе математического анализа).

При записи скоростей накопления веществ активно используют малую степень заполнения стехиометрической матрицы. Отсюда, формирование выражения для расчета скорости накопления вещества можно вести складывая только те скорости стадий реакции, в которых оно участвует, умноженные на соответствующие стехиометрические коэффициенты с учетом их знаков.

Результат будет идентичен тому, который получают с применением алгебры матриц.

23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.А.Ю. Закгейм. Общая химическая технология: введение в

моделирование химико-технологических процессов. Изд.

3-е. М.: Логос, 2010. 304 с.

2.Е.В. Егорова, А.Ю. Закгейм, К.Ю. Одинцов.

Методические указания для самостоятельной работы студентов по дисциплине Моделирование химико-

технологических процессов. М.: ИЦ МИТХТ, 2005. 60 с.

3.Н.Ф. Степанов, М.Е. Ерлыкина, Г.Г. Филиппов. Методы линейной алгебры в физической химии. М: МГУ, 1976. 360 с.

24

Решение алгебраического квадратного уравнения

Ax2 + Bx +C = 0

имеет следующий вид

25

ОГЛАВЛЕНИЕ

26