Файл: Лекция 01.docx

Поэтому в механике, гидравлике и ряде других разделов анализ взаимодействия сил равнозначен (в аспекте получаемых результатов) анализу потоков импульса (количества движения). Единица измерения силы в СИ – ньютон или кг*м/с².

Обычно используют следующую классификацию сил: массовые (объемные), поверхностные, линейные. Пример массовых сил: силы гравитации; центробежные силы; инерционные силы. Если источник массовых сил лежит вне тела, то говорят о внешних силах (источник веса тела – притяжение Земли); если силы проявляются независимо от внешних воздействий, то это внутренние массовые силы (силы инерции). Массовые силы пропорциональны массе рабочего тела P = ma. Здесь ускорение выступает как единичная (удельная) массовая сила, т.е. отнесенная к единице массы: a = P/m. В ходе анализа будет будет удобно использовать суммы проекций единичных массовых сил на оси координат: P_x,P_y,P_z.

Поверхностные силы – действуют на поверхности и пропорциональные ей. Они могут быть направлены нормально к поверхности – нормальные поверхностные силы (сила давления – нормально направленная поверхностная сила) и тангенциальные – направленные вдоль поверхности (сила трения – тангенциально направленная). Их пропорциональность величине поверхности выражается соотношениями в дифференциальной и интегральной форме соответственно

dP_н = pdf; P_н = pf;

где - локальное или среднее напряжение сдвига или касательное напряжение.

Примером линейных сил является сила поверхностного натяжения, действующая по периметру П и пропорциональная ему. , где - коэффициент поверхностного натяжения Н/м

ГИДРОСТАТИКА

---

Некоторые задачи гидростатики. Поверхность уровня. Свободная поверхность. Абсолютный покой. Относительный покой

Некоторые задачи гидростатики: определение закона распределения давления внутри покоящейся жидкости; определения формы поверхности уровня.

В гидростатике рассматриваются также вопросы, связанные с твердыми телами, полностью или частично погруженными в жидкость.

Поверхность уровня – это поверхность, имеющая одинаковое давление во всех её точках.

Свободной поверхностью называют одну из поверхностей уровня, которая находится на границе между капельной и газообразной жидкостью (газом).

Абсолютный покой – случай, когда жидкость находится в покое относительно поверхности Земли (Стакан с водой стоит на столе. Вода находится в покое относительно стола, стол находится в покое относительно Земли => вода находится в абсолютном покое).

Относительный покой – случай, когда жидкость находится в покое относительно стенок сосуда, в котором она размещена (сосуд с жидкостью вращается вокруг своей оси. Жидкость остается неподвижна, относительно стенок сосуда. Сосуд подвижен относительно Земли => Жидкость находится в относительном покое).

Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости (дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости). Основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде. Уравнение поверхности уровня в дифференциальном виде.

Для вывода основного уравнения гидростатики в дифференциальном виде воспользуемся Основным балансовым соотношением (ОБС – применительно к стационарному процессу, так как рассматриваемое состояние - покой жидкости, для которого справедливо постоянство параметров процесса во времени):

+Пр - Ух + Ис - Ст = 0

Сущность метода балансов и последовательность составления балансовых соотношений была изложена выше

а) воспользовавшись дуализмом физического смысла слагаемых второго закона Ньютона, примем, что сила может рассматриваться в качестве субстанции, т.е. выбор субстанции осуществлен.

б) пространственный контур – грани элементарного параллелепипеда, выделенного внутри покоящейся (относительный покой – как более общий случай) несжимаемой жидкости с размерами ребер и размещенного в прямоугольной системе координат.

---

При выводе основного уравнения гидростатики в дифференциальном виде ограничимся на первом этапе изучением ситуации применительно к оси x. Полученные результаты распространим на другие направления.

На выделенный фрагмент жидкости в самом общем случае (относительный покой) действуют массовые и поверхностные силы.

Нормальные поверхностные силы

С позиций ОБС через левую грань параллелепипеда «входит» сила давления (поверхностная сила) (с позиций физического смысла: на левую грань воздействует сила давления в положительном направлении оси х; через это сечение осуществляется Приход импульса в обозначенный контур ). Через правую грань параллелепипеда «выходит» сила давления ( с позиций физического смысла: на правую грань воздействует сила давления в отрицательном направлении оси х; через это сечение осуществляется Уход импульса из обозначенного контура). Вторая часть выражения в скобках представляет собой приращение давления вдоль оси x. Разность этих нормальных сил (в символике ОБС: +Пр_н-Ух_н ) составляет

---

Внешние массовые силы.

На массу жидкости объемом dV действуют внешние массовые силы: – в терминах ОБС это Источники и Стоки силы (как субстанции). Так как P_x - сумма проекций единичных массовых сил на ось x, получаем выражение массовый силы, приложенной по оси x к массе жидкости в объеме dV в виде

( внешний импульс).

Подставляя выражения сил в ОБС, получаем

или

Рассуждая аналогичным образом относительно осей y и z получим еще два уравнения

Последние три уравнения образуют систему уравнений Эйлера.

Умножим первое уравнение на dx, два других уравнения , соответственно, на dy и dz. Получим, после сложения левых и правых частей уравнений

Так как давление есть функция только координат, то сумма, стоящая слева, – есть полный дифференциал давления. Тогда, основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде выглядит следующим образом:

Физический смысл этого уравнения: равенство сил давления и внешних массовых сил.

Основное уравнение гидростатики позволяет решить первую из поставленных задач, а именно, определить закон распределения давления внутри покоящейся жидкости.

Для вывода уравнения поверхности уровня возьмем за исходное основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде.

Согласно определения поверхности уровня р=const; но ρ≠0 (плотность является постоянной величиной – вывод справедлив для несжимаемой жидкости). Отсюда следует, что

уравнение поверхности уровня. Это уравнение позволяет решить вторую задачу гидростатики – задачу определения формы поверхности уровня для покоящейся жидкости..

Закон распределения давления внутри покоящейся жидкости на примере абсолютного покоя(Закон Паскаля). Уравнение поверхности уровня, уравнение свободной поверхности.

Исходным уравнением для определения закона распределения давления внутри покоящейся жидкости является основное уравнение гидростатики в дифференциальном виде

---

Пусть среди массовых сил, действующих на жидкость, присутствует только сила тяжести. Сила тяжести, действующая на частицу жидкости в окрестностях произвольно выбранной точки в объеме жидкости

,

где m - масса этой частицы жидкости.

Проекция силы тяжести на ось x равна нулю

.

Проекция силы тяжести на ось y также равна нулю Проекция силы тяжести на ось z равна .

Следовательно, суммы проекций единичных массовых сил на соответствующие оси будут равны . Подставляя эти значения сумм в основное уравнение гидростатики, получим . Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение в пределах, соответственно, от p₀ ( давление на свободной поверхности уровня) до p (давление в произвольно взятой точке), и от z₀ до z . В результате получили основное уравнение гидростатики в интегральной форме, так называемый закон Паскаля

Согласно закона Паскаля, давление внутри покоящейся жидкости в произвольно взятой точке есть сумма внешнего давления и давления, создаваемое столбом жидкости над этой точкой (гидростатического давления).

Для определения формы поверхностей уровня воспользуемся уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде_{. Подставляя в это уравнение значения сумм проекций единичных массовых сил, получим}

. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, найдем, что уравнением поверхностей уровня в случае абсолютного покоя жидкости является – уравнение семейства горизонтальных плоскостей. Таких плоскостей бесконечное множество. Для каждой поверхности уровня будет свое значение константы. Физический смысл константы – это координата по оси z любой точки поверхности уровня. Следовательно, уравнением свободной поверхности является

---