9

ЛЕКЦИЯ 3

ГИДРОДИНАМИКА.

Общая задача гидродинамики.

В гидродинамике изучают законы движения жидкости.

Общая задача заключается в определении двух функций: определение законов распределения скорости и давления, как функций координат и времени.

Закон Ньютона

Вязкостью называют свойство жидкости оказывать сопротивление движению своих частей.

S

w

dn

S – площадь соприкосновения слоев жидкости

- закон Ньютона, служит для определения силы трения между слоями жидкости при ламинарном режиме.

 – коэффициент динамической вязкости

 – коэффициент кинематической вязкости

где S – площадь соприкосновения между слоями жидкости

– напряжение трения между слоями – ускоряющее движение более медленного слоя и, напротив, тормозящая движение более быстрого слоя; в то же время - удельный поток импульса (в силу размерности) от слоя с большей скоростью передается к слою с меньшей скоростью (дуализм физического смысла обусловлен природой рассматриваемого явления: в первом случае – механическая природа явления, во втором – перенос субстанции)

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. (Уравнения Навье-Стокса - без вывода. .)

---

По аналогии с выводом системы уравнений Эйлера для покоящейся жидкости получают систему уравнений Навье – Стокса для движущейся вязкой жидкости с учетом появления новых сил - сил инерции (внутренние массовые силы) и сил трения (поверхностные силы)

Здесь , , – проекции скорости на оси координат; – субстанциональные производные проекций скоростей на оси координат, которые равны соответственно:

Производные – представляют собой проекции ускорения жидких частиц, проходящих через неподвижную точку пространства. Такое ускорение называется местным ускорением, которое существует по причине неустановившегося режима течения жидкости. При установившемся режиме течения жидкости сохраняются суммы

Эти суммы представляют собой проекции ускорения вдоль линии тока. Это ускорение возникает в связи с тем, что в разных точках потока в один и тот же момент времени имеются разные скорости.

- оператор Лапласа (лапласиан), означает сумму вторых частных производных по осям координат от величины, стоящей под знаком этого оператора, например,

.

Физический смысл членов уравнений Навье – Стокса:

В терминах баланса сил член в левой части выражает силы давления; первое слагаемое в правой части – внешние массовые силы; второе - силы инерции; третье – силы внутреннего трения, вязкости.

Система уравнений Навье - Стокса описывает движение вязкой несжимаемой жидкости (ρ=const). В системе из трех уравнений имеем четыре неизвестные, это – p, w_x, w_y, w_z. Поэтому необходимо дополнительное уравнение – уравнение неразрывности.

---

Уравнение неразрывности

Неразрывным сплошным движением жидкости называется такое движение, когда внутри потока отсутствуют пустоты, нет разрыва струи.

Рассмотрим русло. В русле поток жидкости.

Выделим в русле элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz (параллелепипед неподвижен относительно стенок русла). Через стенки параллелепипеда течет сжимаемая жидкость (.

Для составления ОБС определяем прежде всего субстанцию, для которой составляется ОБС; в качестве таковой служит масса жидкости.

Пространственным контуром является прямоугольный параллелепипед неподвижный относительно стенок русла.

Временной интервал – элементарный промежуток времени - .

В условиях неразрывности потока жидкости действует закон сохранения массы, поэтому из ОБС выпадают Источники и Стоки: +Пр – Ух = Нак

Составляем ОБС для параллелепипеда за время d в направлении оси Х (потом Y и Z – по аналогии).

– приход жидкости, показывает массу жидкости которая вошла через левую грань параллелепипеда за время d:

, где - плотность жидкости, которая может изменяться во времени и по координатам; – удельная массовая скорость жидкости.

– уход жидкости, показывает сколько жидкости вышло через правую грань за время d:

.

.

По аналогии записываем разности приходов и уходов для двух других направлений:

; ;

---

Таким образом левая часть ОБС представляет собой выражение:

.

Остается выразить правую часть ОБС, а именно: Накопление массы жидкости в контуре за время d. Количество массы в объеме параллелепипеда в момент времени равно . Полагая, что плотность жидкости является функцией только времени (в пределах выделенного объема), то Накопление массы жидкости в объеме параллелепипеда к моменту времени записывается в частных производных:

(т.к. выделенный объем неизменен).

Собирая теперь найденные выше элементы ОБС, получаем после упрощения уравнение неразрывности в виде

Решение системы уравнений Навье-Стокса для частного случая: жидкость идеальна (=0); несжимаемая (капельная ρ=const); среди внешних массовых сил действует только сила тяжести; движение жидкости стационарное и безвихревое. Диаграмма Бернулли для идеальной жидкости.

(безвихревое,– отсутствует вращательная составляющая жидкой частицы )

Для указанных условий решение уравнений Навье – Стокса получают в виде интеграла Бернулли

Каждый член уравнения имеет определенный физический смысл. (Размерность каждого члена этого уравнения . Умножим числитель и знаменатель на кг. Тогда получим размерность удельной энергии В этом случае первый член – удельная потенциальная энергия положения жидкости; второй – удельная потенциальная энергия давления жидкости; третий – удельная кинетическая энергия жидкости. Сумма этих удельных энергий представляет собой полную удельную энергию жидкости, которая одинакова в любом сечении потока.

Поделив обе части уравнения Бернулли на g, получим

.

В практическом смысле уравнение Бернулли принято записывать для двух сечений потока

---

Размерность каждого члена уравнения – метр. Следовательно, существует и геометрический смысл каждого члена уравнения Бернулли: первый – нивелирная высота, второй – пьезометрическая высота, третий – скоростная высота. Сумма указанных высот потока идеальной жидкости при плоскости отсчета взятой произвольно, не зависит от выбранного сечения, т.е. остается величиной постоянной. Наряду с термином «высота» в гидравлике для этих слагаемых используют термин «напор». Сумму трех слагаемых называют полным напором.

На рисунке представлена графическая интерпретация уравнения Бернулли для безвихревого потока идеальной жидкости в форме так называемой диаграммы Бернулли.

Диаграмма Бернулли для безвихревого потока идеальной жидкости в прямом трубопроводе постоянного поперечного сечения: О – О линия плоскости отсчета; А – А линия нивелирных высот; В – В линия пьезометрических высот; С – С линия полного напора.

При решении задач это уравнение должно быть дополнено уравнением неразрывности в интегральной форме.

Уравнение неразрывности (сплошности) для стационарного движения сжимаемой жидкости.

так как равна нулю в этом случае.

Для одномерного стационарного движения сжимаемой жидкости

После интегрирования

Умножив обе части последнего уравнения на S – площадь поперечного сечения потока, получим уравнение неразрывности в интегральной форме в виде

Или, для двух сечений

Полученное уравнение – уравнение сплошности для одномерного стационарного потока сжимаемой жидкости или уравнение массового расхода

При получают уравнение сплошности для одномерного стационарного потока капельной, несжимаемой жидкости

---

Смотрите также файлы

• Лекция 02.docx

• Лекция 01.docx

• 797.pdf

• 478.pdf

• 476 (2).pdf