Файл: UMK_KSE_FGOS-3_dlya_studentov_MITRO_2.doc

Раздел 2. Пространство, время, симметрия

Принципы симмметрии

С и м м е т р и я – однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований. Это признак полноты и совершенства. Лишившись элементов симметрии, предмет утрачивает свое совершенство и красоту.

Четыре категории симметрии:

симметрия  однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований;

асимметрия – это несимметрия, т. е. такое состояние, когда симметрия отсутствует;

дисимметрия – внутренняя, или расстроенная, симметрия, т. е. отсутствие у объекта некоторых элементов симметрии;

антисимметрия – противоположная симметрия, связанная с переменой знака фигуры.

Операции симметрии:

отражение в плоскости симметрии;

поворот вокруг оси симметрии;

отражение в центре симметрии;

перенос фигуры на расстояние;

винтовые повороты.

Виды симметрий.

Среди разных типов симметрии различают пространственно-временные симметрии и внутренние симметрии.

Пространственно-временные симметрии можно разделить на симметрии, связанные с непрерывными и дискретными преобразованиями.

К непрерывным преобразованиям относятся:

Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве.

Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени).

Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве.

Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной скоростью.

Среди дискретных пространственно-временных симметрий различают СРТ-симметрию и зеркальную симметрию. Симметрия СРТ заключается в том, что для любого движения частиц может осуществляться в природе симметричное ему движение античастиц. Зеркальная симметрия осуществляется в процессах, вызываемых сильными и электромагнитными взаимодействиями, а также в системах, связанных с помощью этих взаимодействий (атомах, атомных ядрах, молекулах, кристаллах).

Под внутренней симметрией понимают симметрию между частицами с различными внутренними квантовыми числами. Среди внутренних симметрий можно выделить глобальные и локальные симметрии. Симметрия одномерная характерна для фигур с одним особенным направлением – бордюров, лент, стержней. Симметрия двумерная присуща фигурам с двумя особенными направлениями: сетчатым орнаментам и слоям.

Симметрия в механике.

1. Однородность пространства.

Пространство вблизи земной поверхности физически неоднородно: все тела стремятся занять самые низкие положения, поближе к Земле. Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца. Но вся Солнечная система как целое движется прямолинейно, по крайней мере, в течение миллионов лет отклонений от прямолинейного движения не было. Пространство, в котором она движется, свободно от тяготеющих к нему тел и здесь можно говорить о его однородности. Из второго закона Ньютона следует прямолинейность и равномерность движения центра инерции системы тел в однородном пространстве. Никакие внутренние силы не нарушают однородности пространства по отношению к системе как к целому.

Изотропия пространства – еще один вид симметрии относительно поворотов координатных систем. В физике это проявляется в том, что вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна первоначальной.

2. Однородность времени.

Пространство имеет группу симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Симметрия же времени напоминает симметрию прямой относительно переносов. Время однородно, т. е. все его моменты равноценны, по крайней мере по отношению к чисто механическим явлениям.

3. Симметрия в живой природе.

Если рассматривать царство живого, то любому его представителю, от простейшей водоросли до эвкалипта, от крошечного жучка до кита, от червяка до человека, можно приписать одну из групп симметрии (точечных или пространственных), выведенных для материальных фигур.

Живой организм не имеет кристаллического строения, однако, упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они жидкие, то их называют жидкими кристаллами. Это и желчь, и кровь, и хрусталик глаза, и серое вещество мозга.

Симметрия природы

Начало стройной симметрии заложила физика в теории кристаллов, что зафиксировано в работах И. Ф. Гесселя (17961872) в 1830 г., Л. В. Гадолина (18281892) в 1867 г., А. Шенфлиса (18531928) в 1890 г. Первоначально речь шла о геометрических преобразованиях системы: ее переносах и поворотах.

Фундаментальность значения дальнейшего развития учения о симметрии в том, что каждому непрерывному преобразованию отвечает соответствующий закон сохранения, который в последующем был распространен с механики и на квантовую физику.

Именно симметрия, относительно перестановки одинаковых частиц, обосновывает принцип неразличимости одинаковых частиц, то есть приводит к полной их тождественности.

Под внутренними симметриями понимают симметрии между частицами и полями с различными квантовыми числами. При этом различают глобальные и локальные симметрии.

Симметрия называется глобальной, если параметр преобразования не зависит от пространственно-временных координат точки, в которой рассматривается поле. Эта инвариантность приводит, например, к закону сохранения электрического заряда.

Локальные симметрии существуют, когда параметры преобразований для глобальных симметрии зависят пространственно-временных координат. Они позволяют построить теорию, в которой сохраняющиеся величины (заряды) выступают в качестве источников особых калибровочных полей, переносящих взаимодействие между частицами, обладающими соответствующими зарядами.

Динамическая симметрия системы возникает, когда рассматривается преобразование, включающее переходы между состояниями симметрии с различными энергиями.

Наиболее разработана теория симметрии кристаллов. В ней под симметрией понимается их свойство совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций.

Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного, дискретного трехмерно-периодического строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла (зонная теория), при анализе процессов дифракции: рентгеновских лучей, нейтронов и электронов в кристаллах.

Законы сохранения и симметрия

В 1918 г. немецкая математик Эмма Нётер доказала фундаментальную теорему естествознания, законы сохранения являются следствиями определенных видов симметрий.

Законы сохранения  физические законы, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем.

Закон сохранения полной энергии системы тел.

Если в замкнутой системе действуют силы трения, то полная энергия системы уменьшается, что не означает ее исчезновения. Наличие трения приводит к увеличению кинетической энергии движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия за счет уменьшения полной энергии. Сохранение полной энергии замкнутой системы, равной сумме полной и внутренней энергий, является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии всех форм движения материи.

Закон сохранения энергии в применении к тепловым процессам выражен в первом начале термодинамики. При этом в многоатомных молекулах кинетическая энергия складывается из трех независимых частей  энергии движения молекулы как целого, вращательной энергии и колебательной энергии ядер.

Передача тепла возможна, кроме трения, теплопроводностью, конвенцией, излучением и неконвекционными потоками частиц вещества, возникающими, например, при радиоактивном распаде.

Закон сохранения импульса.

Данный закон представляет собой результат симметрии относительно параллельного переноса исследуемого объекта в пространстве, суть  однородность пространства. Так, в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В случае системы материальных точек, их полный импульс определяется как векторная сумма всех импульсов, составляющих систему материальных точек.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако, этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская и квантовая механика). Он может быть получен как следствие интуитивно-верного утверждения о том, что свойства нашего мира не изменятся, если все его объекты (или начало отсчета!) переместить на некоторое расстояние.

Каждой материальной точке с массой m, движущейся со скоростью , приписывается векторная характеристика  импульс, определяемый как произведение массы на скорость: .

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил:

В случае системы материальных точек (совокупностью которых можно считать любое реальное тело) полный импульс определяется как векторная сумма всех импульсов.

Скорость изменения полного импульса определяется суммой внешних сил, действующих на систему.

Системы, на которые не действуют внешние силы, называются замкнутыми. В них полный импульс не изменяется во времени. Это свойство находит большое практическое применение, поскольку лежит в основе принципа реактивного движения.

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса.

Он являет собой пример симметрии относительно поворота в пространстве (изотропность пространства).

Этот закон есть следствие неизменности мира по отношению к его поворотам в пространстве.

Если понятие импульса в классической механике характеризует поступательное движение тел, то вектор момента импульса вводится для характеристики вращения тела или обращения материальной точки. В случае материальной точки, обладающей импульсом, и движущейся по окружности радиусаr, вектор момента импульса направлен вдоль ее оси, а модуль этого вектора равен mvr.

Скорость изменения момента импульса определяется вектором момента силы (произведением силы на «плечо»).

Очевидно, что момент импульса сохраняется во времени в случае отсутствия сил или при условии действия сил в направлении радиуса окружности, проведенного к материальной точке.

Закон сохранения момента импульса является следствием утверждения о том, что свойства окружающего мира не изменяются при поворотах (или повороте системы отсчета) в пространстве.

Момент импульса системы точечных тел определяется как сумма моментов каждой из точек и сохраняется во времени при условии равенства нулю момента внешних сил.

Закон сохранения энергии.

Первоначально в механике были введены кинетическая энергия (обусловленная движением тела) и потенциальная (обусловленная взаимодействиями между телами и зависящая от их расположения в пространстве). Конкретное математическое выражение для потенциальной энергии определяется взаимодействиями между объектами. В большинстве механических систем механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) сохраняется во времени (например, в случае мяча, упруго ударяющегося о пол). Однако нередки и такие системы, в которых механическая энергия изменяется (чаще всего убывает). Для описания этого были введены диссипативные силы (например, силы вязкого и сухого трения и др.). Со временем выяснилось, что диссипативные силы описывают не исчезновение или возникновение механической энергии, а переходы ее в другие формы (тепловую, электромагнитную, энергию связи и т. д.). История развития естествознания знает несколько примеров того, как кажущееся нарушение закона сохранения энергии стимулировало поиск ранее неизвестных каналов ее преобразования, что в результате приводило к открытию ее новых форм (так, например, «безвозвратная» потеря энергии в некоторых реакциях с участием элементарных частиц послужила указанием на существование еще одной неизвестной ранее элементарной частицы, впоследствии получившей название нейтрино).