§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений).

Пусть R – полное метрическое пространство. Если сжатие, то для него существует в R единственная неподвижная точка, к которой сходится итерационный процесс.

, где - произвольный.

План доказательства.

1. – фундаментальная

(*)

q – коэффициент сжатия

.

2. Т.к. R – полное метрическое пространство, то в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.

– сходится, , причем , т.е. – неподвижная точка.

3. – единственна.

ЧТД.

- последовательность приближения к решению уравнения

Метод – метод простой итерации.

Если в (*) зафиксировать, а , то

– оценка погрешности, оценка скорости сходимости.

со скоростью геометрической прогрессии.

---

– линейная скорость сходимости.

Метод простой итерации имеет линейную скорость сходимости.

Пусть (2), – вещественная функция.

Необходимо привести к виду .

, - знакопостоянная непрерывная функция.

Условие сходимости для данного метода:

ТЕОРЕМА 2.

Пусть выполняются условия:

1. Функция – определена и непрерывна на отрезке и на этом отрезке удовлетворяет условию Липшица: ;

2. Для начального приближения выполняется условие ;

3. Числа связаны условием .

Тогда уравнение имеет единственное решение в области , к которому сходится итерационный процесс со скоростью сходимости .

Теорема доказывается аналогично теореме Банаха с точностью до обозначений.

Замечание. Условие Липшица применять трудно, вместо него применяют другое условие:

на отрезке

---

.

Метод итерация дает бесконечную последовательность приближений, поэтому используют следующие правила остановки:

1. по соседним приближениям

задается уровень останова и момент останова n задается формулой

2. по невязке

задается уровень и момент останова n итерационной процедуры задается неравенствами

Метод простой итерации удобен в использовании, так как он легко программируется на ЭВМ.

Недостаток: невысокая скорость сходимости, т.е. линейная.

---

Смотрите также файлы

• 11.doc

• 1.doc

• Матан.docx

• GOST_Algoritm_A4.pdf

• C#2005_Zadan_LR_A5+.pdf