ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.12.2025
Просмотров: 56
Скачиваний: 0
БИЛЕТ 25
1). Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений численно-аналитическим методом.
- начальное условие
задачи
В качестве решения – функция (график) – дифференциальная кривая
-
дифференциальное уравнение n-ного порядка
В основном возникают задачи решения 1-ого порядка
Систем уравнений могут быть линейными и нелинейными. Линейные системы – это частный случай.
Метод решения:
Запись Коши:
Решение ищется в виде суммы общего решения однородной системы + частного решения неоднородной системы
Общее решение однородной системы в явной форме:
;
;
;
Система устойчива, если все ее члены отрицательны
-
- любая таблично
заданная функция
;
При t=1 и x0=k можно найти k
В неявной форме:
Теперь получаем снова произведение и решаем дальше
Дифференциальное уравнение второго порядка:
Частное решение находится точно также
2.Методы решения нелинейного уравнения (деление отрезка пополам, метод хорд, интерполяционный методы)
метод хорд
Пусть f(a)f(b)<0.
Сущность метода состоит в замене кривой
y=f(x)
хордами, проходящими через концы
отрезков, в которых f(x)
имеет противоположные знаки. Метод хорд
требует, чтобы один конец отрезка, на
котором ищется корень, был неподвижен.
В качестве неподвижного конца х0
выбирают тот конец отрезка, для которого
знак f(x)
совпадает со знаком второй производной
.
Расчетная формула
имеет вид
Функция должна быть дважды дифференцируема и производные должны сохранить свой знак на (а,b) .Функция должна быть гладкой.
[a,b]
U*a+ =f(a)
[x1,b] U*b+
=f(b)
[x2,b]
[x3,b]
x1=a-f(a) (a-b)/(
f(a)-f(b))
x1
b
x2
а x3
метод прекращается
когда |f(xi)|<eps
точность работы метода во многом зависит от точности вычисляемых значений функции
этот метод сходится быстрее, чем метод деления интервала пополам
достоинства:
-
простота
недостатки:
-
функция должна быть гладкой
-
условия на дифференцирование