ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.12.2025
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
БИЛЕТ 27
Первый вопрос – билет 26
2. Метод Ньютона решения нелинейного алгебраического уравнения и системы уравнений, условия и скорость его сходимости.
Для нелинейных уравнений.
Метод определяется формулой xn+1=xn-f(xn)/f’(xn), f’(xn)≠0, n=1,2,…… . Эта формула получается, если в разложении 0=f(x*)= f(xn)+(x*- xn) f’(xn)+1/2(x*- xn)2f”(ξ) ,
ξ = xn+0 (x*- xn), 0≤0≤1 , где x* - точное решение уравнения f(x)=0, отбросить последний член, заменив x* на xn+1: 0=f(xn) +f’(xn)(xn+1-xn). Метод Ньютона также называют методом касательных или методом линеаризации . Его геометрическая интерпретация – участок кривой y=f(x) при x принадлежащим [xn,xn+1 ], если xn<xn+1 (или при x принадлежащим [xn+1, xn], если xn>xn+1), заменяется отрезком касательной, проведённой через точки x=xn. Записывая f(x)=0 в виде x=φ(x), видим , что метод Ньютона также можно трактовать как метод простой итерации с правой частью.
φ(x)=x-f(x)/f’(x). Скорость сходимости одна из самых высоких , квадратичная скорость сходимости.
Для систем нелинейных уравнений.
Систему нелинейных
уравнений можно кратко записать в
векторном виде f(x)=0
или более подробно в координатном виде
fk(x1,x2,…,xn)=0,
1≤k≤n.
Такие системы решают практически только
итерационными методами. Рассмотрим
метод Ньютона. Пусть известно некоторое
приближение x(s)
к корню
.
Как и для одной переменной, запишем
исходную систему f(x)=0
в виде f(x(s)
+Δx)=0,
где Δx=
-
x(s).
Разлагая эти уравнения в ряды и
ограничиваясь первыми дифференциалами,
т.е. линеаризуя функцию , получим сумма
по I
до N
(df[k](x^(5))/dx[i]
* дельта x[i]^(5)=
-f[k](x^(5))
, 1≤k≤n.
Это система уравнений, линейных
относительно приращений
;
все коэффициенты этой системы выражаются
через последнее приближение x(s).
Решив эту систему (например методом
исключения), найдём новое приближение
x(s+1)=
x(s)+Δx(s).
Как и для одной переменной, метод Ньютона
можно формально свести к методу
последовательных приближений, положив
φ(x)=x-[∂f/∂x]-1f(x),
где [∂f/∂x]-1
есть матрица,
обратная матрице производных. Аналогично
производится теоретический анализ
условий сходимости. Однако достаточное
условие сходимости, записанное в
координатной форме , здесь имеет несколько
сложный вид, что проверить его выполнимость
почти никогда не удаётся. Отметим только
очевидный результат: в достаточно малой
окрестности корня итерации сходятся,
если det
[∂f/∂x]
≠ 0, причём сходимость квадратичная.
Следовательно, если нулевое приближение
выбрано кдачно, то метод Ньютона сходится,
причём очень быстро(обычно за 3-5 итераций).