Файл: 6-9.docx

Собственные значения матрицы (i, k = 1, 2,..., n) называют Собственные значения соответствующего ей линейного преобразования п-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя матрицы А — λЕ (где Е — единичная матрица), т. е. корни уравнения , (*) называемого характеристическим уравнением матрицы. Эти числа совпадают для подобных матриц А и В^–1 AB (где В — неособенная матрица) и характеризуют поэтому свойства линейного преобразования, не зависящие от выбора системы координат. Каждому корню λ_i; уравнения (*) отвечает вектор x_i ¹ 0 (собственный вектор) такой, что Ax_i = λ_ix_i. Если все Собственные значения различны, то множество собственных векторов можно выбрать за базис векторного пространства. В этом базисе линейное преобразование описывается диагональной матрицей Каждую матрицу А с различными Собственные значения можно представить в виде С^–1LС. Если А — самосопряжённая матрица, то еёСобственные значения действительны, собственные векторы ортогональны, а матрицу С можно выбрать унитарной. Модуль каждого Собственные значения унитарной матрицы равен 1. Сумма Собственные значения матрицы равна сумме её диагональных элементов, т. е. следу её матрицы. Знание Собственные значения матрицы играет важную роль в исследовании сходимости некоторых приближённых методов решения систем линейных уравнений.

Схема Жордана.решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод нахождения решения системы (Ax=y) методом Жордана заключается в преобразовании матрицы к единичному виду (на диагонали единицы, остальные- нули)

Осуществление элементарных преобразований (перестановка строк, умножение матрицы на число- не ноль, прибавление строки к строке) над данной матрицей приводя ее к матрице, эквивалентной данной и приведение в конечном итоге к матрице единичного вида
СЛАУ задаваемая матрицей единичного вида по сути является решением данной системы уравнений a11…..a1nx1y1 10…..00x1y1*

………… … = … ……… … = …

an1……annxnyn00….01xny2*

* означает, что значения изменились относительно первоначальных значений

значит x1=y1*….xn=yn* и эта схема не обладает обратным ходом.

Отводимая память P=n²

ТрудоемкостьТ=1/2 n²

Трудоемкость выше, чем у гаусса
Существует универсальная схема с выбором ведущих элементов
С помощью преобразования Жордана, система из mуравнений сnнеизвестными с матрицей рангаm, может быть приведена к каноническому виду.

Сам по себе метод – основа симплекс-метода для решения задач линейного программирования.

Применение метода:

метод используется, если много правых частей и значение их заранее известны и не требуется обратный ход

Билет № 6.

1). Решение систем линейных алгебраических уравнений методом оптимального исключения.

2). Сведение обобщенной проблемы собственных значений к стандартной.

1). Метод оптимального исключения решения систем линейных алгебраических уравнений.

ОП

а₁₁. . . . . . . а₁_n1 0 а₁₃. . . . . . а₁_n1 0 0 а₁₄. . . . .а₁_n

=> 0 1 а₂₃. . . . . . . а₂_n=> 0 1 0 а₂₄. . . . .а₂_n

а₂₁. . . . . . . а₂_na₃₁. . . . . . . . . . . . .a₃_n0 0 1а₃₄. . . . .а₃_n

Заключается в последовательном отсекании той части матрицы, которая уже приведена к единичному виду с целью снижения затрат памяти. А работа идет уже с оставшейся, не приведенной частью.

Используется тогда, когда система уравнений велика и не помещается в оперативную память.

Смысл в том, что на каждом шаге мы приводим матрицу к нулям и единицам, сокращаем длину строки и одновременно считываем строку, увеличивая количество столбцов.

трудоемкость(затраты памяти) :

2 строки_____ 2n-2²

3 строки_____ 3n-3²

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

mcтрок_____mn-m²=φ(m)dφ/dm=n-2m=0;

m=n/2;

d²φ/dm²= -2 <0 => это точкаmax

m=n/2; φ(m)= m(n-m) = n/2(n-n/2)= n²/4

Для того, чтобы схема стала универсальной нужно производить выбор ведущего элемента по строке.

Сведение обобщенной проблемы собственных значений к стандартной

A+λ+A₀- матрица

приведем такую проблему к стандартной

а) detA₀≠0 (матрица не вырождена) тогда матрица называется регулярной и существует A₀^-1

A₀^-1A₁ λ + A₀^-1A₁ = A₀^-1A₁ λ + E=A -µE;

A= A₀^-1A_1;µ= - λ^-1;

det(A₁ λ+ A₀) пусть A₀невырождена, detA₀≠0

A₁ вырождена, detA₁=0

то существует λ=∞

б) detA₁≠0 тогдасуществует A₁^-1и A₁^-1A₁ λ + A₁^-1A₀₌A-µE;

A= A₁^-1A_0;µ= - λ;

detA₀=0, det(A₁ λ + A₀) = detA₀=0 =>существует λ=0

в) detA₁=0 обе матрицы вырождены

detA₀=0 A₁λ + A₀ – нерегулярная матрица

det(A₁ λ + A₀) ≠0

λ=α+µ , α R¹, µ- число

A₁(α+µ ) + A₀=A₁α + A₀+ A₁µ = /существует (A₁α + A₀)^-1/

E + µ(A₁α + A₀)^-1A₁= A – ξE; ξ = -µ^-1

A₂λ² + A₁λ+ A₀ =>A- λE

методы преобразования надо использовать, если матрица А является плотной и не имеет никаких особенностей.

Билет № 7.

1) Решение систем линейных алгебраических методом группового исключения (для случая блочной трехдиагональной матрицы).

2). Методы вычисления собственных значений, основанные на преобразованиях подобия (метод вращений Якоби).

1.Метод группового исключения относится к методам решения уравнений, который применяется если матрица обладает структурой .

Блочная 3-ёх диаг. матр.

Методы вычисления собственных значений, основанные на преобразованиях подобия (метод вращений Якоби)

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне главной диагонали. Метод Якоби является частным случаем метода Гивенса, для симметрической матрицы А, следовательно вычисление всех собственных значений и собственных векторов вещественной симметрической матрицы можно свести к отысканию такой ортогональной матрицы Т, для которой произведение D=Т^TАT представляет диагональную матрицу, причем столбцы матрицы Т будут являться соответствующими собственными векторами матрицы А. Матрица Т находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращений, каждая из которых имеет вид