ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2019
Просмотров: 220
Скачиваний: 1
Элементарные функции комплексного переменного
Функции комплексной переменной определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:
(1.4)
(1.5)(1.6)(1.7)
(1.8)
Из определения функций (10.4)-(10.8) следуют формулы, связывающие их:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Элементарные функции (1.4) – (1.8) являются однозначными и непрерывными на всей комплексной области Z.
2. Показательная функция совпадает с обычной функцией для нее справедлива теорема сложения
Функция периодическая с чисто мнимым основным периодом
Тригонометрические функции для действительных совпадает с обычным синусом и косинусом, периодичны с действительным периодом - нечетная, - четная функция; подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:
и т.п.
Функция называется гиперболическим синусом; функция называется гиперболическим конусом. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции формулами (1.15,1.16).
С помощью функций (1.4) - (1.8) вводятся другие элементарные функции. 3 Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:
если:
Для нее справедливо свойство логарифмов:
|
В частности, полагая , получаем
(1.17)
В формуле (1.17) символ может обозначать любое значение аргумента, поэтому каждое комплексное число имеет бесчисленное множество логарифмов.
Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается, как Многозначная логарифмическая функция обозначается
(1.18)
4. Общая показательная функция:
(1.19)
Эта функция представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функции, отличающихся множителями где k- целое число. Главное значение этой многозначной функции равно
где - произвольное комплексное число.
Полагая, , получаем
(1.20)
где - произвольное комплексное число.
Полагая , получаем
(1.21)
где k – целое число. При функция всегда имеет бесконечно много значений.
Если , то получаем многозначную функцию - корень n-й степени
При имеем частный случай однозначной степенной функции
К основным элементарным функциям комплексной переменной относится также дробно-рациональная функция и её частные случаи.
Дробно-рациональная функция:
(1.22)
Частные случаи этой функции:
а)линейная функция - комплексные числа
б)степенная функция
в)дробно-линейная функция
Производные функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Пусть функция =u(x,y)+iv(x,y) определена в окрестности точки z = x+iy. Если переменной z придать приращение z=x+iy, то функция получит приращение
= (z+z)–=u(x+x, y+y)+
+ iv(x+x, y+y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+x, y+y) –
– u(x,y)] + i [v(x+x, y+y) - v(x,y)] =
=u(x,y) + iv(x,y).
Определение. Если существует предел
= ,
то этот предел называется производной от функции в точке zи обозначается черезf(z) или. Таким образом, по определению,
==. (1.37)
Если функция имеет производную в точке z, то говорят, что функция дифференцируема в точкеz. Очевидно, для дифференцируемости функции необходимо, чтобы функцииu(x,y) иv(x,y) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производнойf(z). Например, для функцииw==x–iyфункцииu(x,y)=x
и v(x,y)=–yдифференцируемы во всех точках M(x,y), но предел отношенияприx0,y0 не существует, так как, еслиy = 0,x0, тоw/z = 1,
если же x= 0,y0, тоw/z= -1.
Единого предела не существует. Это означает, что функция
w= не имеет производную ни в одной точкеz. Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема.Пусть функцииu(x,y) иv(x,y) дифферен-цируемы в точке M(x,y). Тогда для того, чтобы функция
= u(x,y) + iv(x,y)
имела производную в точке z=x+iy, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
. (1.38)
Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.
Степенные ряды. Ряды Тейлора. Ряды Лорана.
степенным рядом называется ряд вида
где аСz и {an} Cz.
Известно, что областью сходимости степенного ряда является круг {z: |z-a|<R}, радиус R которого можно определить по формуле
или по формуле
если существует (конечный или равный + ). Во всех внутренних точках круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно, во внешних точках круга сходимости он расходится.
Степенной ряд может сходиться или расходиться во всех или в некоторых точках окружности {z: |z–a|=R}.
Замечание. Степенной ряд может сходиться только в точке z=a, которую в этом случае считают кругом сходимости с радиусом R=0. Степенной ряд может сходится во всех точках плоскости Cz, которую в этом случае считают кругом сходимости с радиусом R=+
Внутри круга сходимости сумма степенного ряда является аналитической и однозначной функцией, причем на границе круга сходимости есть по крайней мере одна точка, в которой сумма ряда не является аналитической. Поэтому иногда радиус сходимости степенного ряда
легче найти как расстояние от точки z=a до ближайшей к ней точки, в которой функция f (z) не является аналитической.
Степенной ряд
в круге сходимости радиуса R можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать, т. е.
и
При этом радиусы сходимости полученных рядов будут также равны R.
Если функция w=f (z) является аналитической и однозначной в круге {z: |z-a|<R}, то она разлагается в этом круге в степенной ряд
который называется рядом Тейлора для функции f (z).
При нахождении ряда Тейлора для функции f (z), как правило, затруднительно вычислить производные f (n)(а), поэтому рекомендуется пользоваться следующими стандартными разложениями функций в окрестностях точки z=0:
при zCz;
при zCz;
при zCz;;
при zCz;;
при zCz;;
при |z|<1.
Если функция w=f (z) является аналитической и однозначной в кольце {z: r<|z-a|<R}, где аСz; 0£ r<Rто в указанном кольце справедливо разложение в ряд
,
где при n=0; ± 1; ± 2;... и r<r <R.
Этот ряд называется рядом Лорана для функции f (z), а ряды
и с
оответственно главной и правильной частями ряда Лорана.
На практике при нахождении ряда Лорана для функции f (z) используют приведенные ранее стандартные разложения элементарных функций в ряд Тейлора, применяя специальные приемы: известные формулы, дифференцирование и интегрирование стандартных разложений, представление рациональных функций в виде суммы простейших дробей.
Интеграл по комплексному переменному. Теорема Коши. Формула Коши.
Вычеты и их применение.
Вычеты
и их применение
- вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z0:
(в круге нет других особых точек).
Если то
Вычисление
вычетов
1. z0 - устранимая особая точка:
2. z0 - полюс:
а) z0 - простой полюс:
В частности, если то
б) z0 - полюс порядка m:
(формула также верна, если z0 - полюс порядка не выше m).
3. z0 - существенно особая точка. Вычет находится по разложению в ряд Лорана.