Файл: шпоры по высшей математике 1 семестр 1 курс.docx

1. Матрица

Это прямоугольная таблица, состоящая из m×n элементов и содержащая m строк и n столбцов.

Числовая матрица – все элементы матрицы числа.

Квадратная матрица – m=n.

Операции над матрицами

Сложение – складываются все элементы, стоящие на одинаковых местах (только у равноразмерных).

Произведение – каждый элемент матрицы умножается на число (с).

2 Транспонирование

Транспонированная матрица – это матрица, полученная из матрицы А заменой строк столбцами.

Умножение матриц

Вводится только для согласованных матриц (число столбцов м-цы А должно совпадать со строками м-цы В).

При умножении матриц появляется новая матрица, элементы которой вычисляются по формуле: c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+…(1 элемент 1 строки умножаем на 1 э-т 1 столбца + 2 э-т 1 с-ки на 2 э-т 2 с-ца, и т.д.)

3. Определители 2 и 3 порядков

Определители вводятся только для квадратных матриц. Определителем (Δ) или детерминалом матрицы А называется число det A.

Для 2-го порядка Δ вычисляется по формуле: a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁ (крест накрест).

Для 3-го порядка по правилу треугольников.

Свойства: 1) Δ единичной матрицы =1. 2) Δ треугольной матрицы = произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 3) det(A*B)=detA*detB. 4) если строка или столбец = 0, то Δ=0.

4.Определитель n-го порядка

Определитель n-го порядка находится либо разложением по элементам строки (столбца), либо приведением определителя к треугольному виду.

Миноры и алгебраические дополнения

Минор матрицы А соответствующей элементу A_ij – это Δ (n-1) порядка, получаемый путём вычёркивания i-ой строки или j-го столбца. A_ij=(-1)­^i+jM_ij называется алгебраическим дополнением к элементу a_ij.

Разложение определителя

Δ раскладывается по элементам i-ой строки или j-го столбца по формуле: Δ = a_i1A_i1+ a_i2A_i2+…+ a_inA_in

5. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы

Обратная матрица существует только для квадратных матриц.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Матрица А^-1 обратная А, если выполняется условие: А^-1А=А А^-1=Е (единичная матрица).

Для того чтобы матрица А была обратной, необходимо чтобы она была невырожденной (Δ не должен =0).

Матрица, состоящая из алгебр. дополнений, полученная путём транспонирования называется союзной (А^с).

Вычисление обратной матрицы: 1) Находим Δ0, 2) Вычислем алгебр. доп., 3) Строим А^с и вычисляем:

А^-1=* А^с , 4) Делаем проверку А^-1А=Е

6. Ранг матрицы

Ранг матрицы – это максимальный порядок минора, отличный от нуля. Способы вычисления: 1)Если существует минор M_k0 (k - какой-то порядок минора) и все M_k+1=0, то ранг М=k. 2) Метод элементарных преобразований (матрицу приводят к треугольной и трапециевидной форме).

Элементарные преобразования

1) сложение 2-х любых строк матрицы. 2) Умножение элементов строки на число.

Теорема о базисном миноре

Базисный минор – это минор, не равный 0, порядок которого равен рангу матрицы.

7. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)

Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b₁, b_2, b₃) – столбец свободных членов. (x₁, x_2, x₃) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Решение систем по формулам Крамера

Сначала находим Δ и убеждаемся, что он не равен 0. Затем по формулам Крамера находим определители уже как бы новых матриц с заменой определённого столбца на столбец свободных членов. Находим переменные (x, y, z) по формулам Δx\ Δ и т.д. Делаем проверку.

8. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)

Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b₁, b_2, b₃) – столбец свободных членов. (x₁, x_2, x₃) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Матричный метод

Сначала находим Δ и убеждаемся, что он не равен 0. Находим союзную матрицу, а затем обратную по формуле А^-1=* А^с. Затем находим переменные (x, y, z) и делаем проверку.

9. Решение произвольных СЛАУ

Берём обычную систему уравнений, где А – матрица системы, а добавление к матрице А столбец свободных членов даёт нам расширенную матрицу .

Теорема Кренекера-Капелли

Для того, чтобы система уравнений была совместна, необходимо чтобы ранг А = рангу .

Если: 1) r_A==n, то система имеет единственное решение. n – последний член элемента (a_1n)

2) r_A=, то система имеет бесконечное кол-во решений.

10. Векторы в пространстве

Вектор – это направленный отрезок. – свободный; – имеющий точку приложения. Длина вектора – модуль.

Линейные операции над векторами

1) сложение (по правилу треугольника и параллелограмма). Суммой 2 векторов и явл. , начало которого совпадает с началом 1 вектора (), а конец - с концом 2 вектора.

2) вычитание (. Разностью и явл. , конец которого совпадает с концом , а начало - с концом .

3) умножение на число (Условия: 1) существует ; 2) и направлены одинаково если с0.

11. Координаты вектора в пространстве.

3 вектора () образую базис в пространстве если они взаимно ⊥ и имеют единичную длину. =a_x+a_y+a_z

= (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). = – длина вектора

Направляющие косинусы вектора

a_x = Пр_Ox = *cosα; a_y = Пр_Oy = cosβ; a_z = Пр_Oz = cosγ; cosα=

Проекции вектора на ось

образованный с помощью осей Ox, Oy, Oz, образует углы α, β, γ.

12. Скалярное произведение 2 векторов

Это число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. * = *cosφ

Свойство: 1) * = *

2) (*) = **)

3) Скалярное произведение на число = произведение числа на один из векторов и * на 2 вектор.

4) *=0, если вектора и явл. Ортогональными ( ⊥ ).

13. Векторное произведение 2 векторов

Векторным произведением 2 векторов и явл. , который удовлетворяет условиям: 1) ⊥ , ;

2) , , – правая тройка векторов. 3) = *sinφ (модуль произв. 2 векторов – площадь параллелограмма)

Свойство:

1) = -

2) = +

3) = 0 если //

14. Смешанное произведение 3 векторов

Это число = скалярному произведению 3-го вектора на векторное произведение 2-х первых векторов.

** = ()

- объём параллелепипеда.

Свойство:

1) От перемены мест множителей произведение не меняется. = =

2) Если умножить на число, то оно умножается с одним из членов произведения.

3) (α- β)( = α(+ β (

15. Базис в пространстве

Компланарные векторы лежат в одной плоскости.

3 любых некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Разложение вектора по базису

Любой вектор можно разложить по базису таким способом: допустим B (,) – базис, а (α, β, γ) координаты определённого вектора, например . Тогда разложение по базису имеет вид: = α+ β+ γ

16. Прямая на плоскости

Вектором нормали называется вектор перпендикулярный плоскости. Пусть вектор = (????, ????) является вектором нормали к прямой ????. Произвольная точка плоскости ????(????, ????) принадлежит прямой ???? тогда и только тогда, когда ⊥ , т.е. скалярное произведение этих векторов * = 0

Её уравнения

1) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали ????(????–????₀)+????(????−????₀)=0

2) Общее уравнение прямой: ???????? + ???????? + ???? = 0

17. Различные уравнения плоскости

а) Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

б) Уравнение проходящее через точку M₀(x₀,y₀,z₀) и ⊥ вектору нормали (A,B,C): A(x-x₀) + B(y-y₀) +C(z-z₀)=0

в) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

г) Уравнение плоскости в отрезках:

18. Угол между плоскостями

Допустим, мы имеем 2 уравнения плоскости (α: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и β: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0) и нам нужно вычислить угол между 2 плоскостями – двугранный угол. Он вычисляется по формуле: cos= (отношение произведения ₁*₂ к произведению модулей векторов нормали).

Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.

α₁//α₂ – коллинеарные ⇒ == – условие параллельности.

α₁⊥α₂ ⇒ ⊥ ⇒ *=0. =0 – условие ⊥.

19. Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой в пространстве

1) Параметрическое уравнение: x=x₀+mt, y=y₀+nt, z=z₀+pt

(m,n,p) – направляющий вектор прямой (l), который параллелен этой прямой. M₀(x₀, y₀, z₀) ∈l.

2) Каноническое уравнение: = =

3) Уравнение прямой проходящей через 2 точки: = =

4) Общее уравнение прямой в пространстве:

20. Угол между прямыми и их взаимное расположение

Допустим, мы имеем 2 (канонических) уравнения прямых, а также их направляющие векторы ₁ и ₂. Тогда угол между 2 прямыми можно найти по формуле: cos=

Условие //-ти: ₁ //₂ ⇒ ==

Условие ⊥-ти:

Расстояние от точки до прямой в пространстве

У нас есть уравнение прямой = = , её направляющий вектор (m,n,p) и точка не принадлежащая этой прямой M(x₁,y₁,z₁). Расстояние от точки до прямой определяется по формуле:

21. Угол между прямой и плоскостью.

Допустим, у нас есть каноническое уравнение прямой = = и уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Тогда угол между прямой и плоскостью можно найти по формуле: Sin =

22. Взаимное расположение прямой и плоскости

Условие //-ти: Am+Bn+Cp = 0

Условие ⊥-ти:

Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

23. Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, расстоянием от которых до 2 заданных точек называется фокусами есть величина постоянная.

Вывод канонического уравнения

+ = 1

Геометрические свойства

1) Эллипс является кривой 2-го порядка.

2) Является ограниченной фигурой.

3) Является симметричной фигурой, оси симметрии Ox, Oy.

4) a – большая ось; b – малая ось; Вершины: А₁(а,0); А₂(-а,0); В₁(0, b); В₂(0, -b);

5) = – эксцентриситет эллипса; 0 1.

6) Прямые x = – директриса эллипса. При =1 ⇒ а=с; а=b – уравнение окружности. +=

24. Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний для 2 заданных точек называется фокусами есть величина постоянная.

Вывод канонического уравнения

- = 1

Геометрические свойства

1) Является кривой 2-го порядка.

2) Является неограниченной кривой.

3) Является симметричной фигурой.

4) Пересекает Ox в 2 точках, не пересекает ось Oy. a – действительная полуось; b – мнимая полуось;

5) = – эксцентриситет эллипса; 1.

6) x = – директриса. 1

7) y = x – асимптоты

25. Парабола

Парабола – геометрическое место точек плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки называется фокусом и до определённой прямой L, называемой директрисой. (F∉L)

Вывод канонического уравнения

p- (параметр) расстояние от F до L. F(;0) – фокус параболы. x=. Уравнение: y²=2px

Геометрические свойства

1) Является кривой 2-го порядка.

2) Симметричная фигура, ось симметрии – Ox.

3) Неограниченная фигура

4) = 1 – эксцентриситет

26. Числовая последовательность

Если каждому натуральному числу из множества N поставлено в соответствие некоторое число или величина, то множество последних образует последовательность. xⁿ – числовая последовательность.

Предел

Число a называется пределом числовой последовательности, если для любого положительного числа существует N-число, такое, что для всех номеров N последующий больше, чем это число по модулю.

Теорема о сходимости

Если xⁿ имеет предел, то он единственный. xⁿ наз. ограниченной, если существует n и все члены удовлетворяют M, nN

27. Предел функции

Если к каждому числу из множества x поставлено в соответствие одно число и множество y, то на множестве x задана функция y=f(x)

Число b называется пределом функции f(x) при x→a, если для любого положительного существует положительная дельта, зависящая от

Теорема о существовании предела функции

Для того, чтобы f(x) имела предел в точке a, необходимо чтобы левый и правый пределы были равны.

28. Односторонние пределы функции

Левый и правый пределы называют односторонними пределами.

1) Число b называется правым пределом функции при x→a справа если для всех 0 существует дельта от , такой что 0следовательно модуль f(x)-b , следовательно x

2) Число b называется левым пределом функции при x→a слева если для всех 0 существует дельта от , такой что -b следовательно модуль f(x)-b , следовательно x

Теорема о существовании предела функции

Для того, чтобы f(x) имела предел в точке a, необходимо чтобы левый и правый пределы были равны.

29. Бесконечно-малые и их свойства.

Бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Функция α(x) – бесконечно-малая при x→a, если lim α(x) = 0.

При x→a lim = предел не существует.

Основные свойства

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция , обратная к б.м функции α(x) 0, есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

30. Бесконечно-большие функции.

Бесконечно большая функция – это функция, предел которой стремится к .

Теорема о связи бесконечно-большой и бесконечно-малой функции

Теорема. Функция обратная бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот. Доказательство: Пусть предел функции равен 0, а сама функция не = 0, при x→a, т.е. задаём бесконечно-малую функцию . Тогда для любого числа  существует такое число дельта , что для всех x, удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство , т.е.  . А из этого следует, что функция  - бесконечно большая.

31. Бесконечно-малые функции.

Бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция α(x) – бесконечно-малая при x→a, если lim α(x) = 0.

Терема об отношении 2 бесконечно-малых функций

Предел отношения 2 бесконечно-малых функций = пределу отношения 2 других бесконечно-малых функций, соотв. им пропорционально.

α₁(x) α₂(x) и β ₁(x) β ₂(x)

=

32. Замечательные пределы.

1) =1 2)

Раскрытие неопределённостей

, можно раскрыть используя правило Лапиталя; разделяя каждый элемент на x в большей степени.

) можно раскрыть используя 2 замечательный предел.

( сначала при помощи различных преобразований приводим к , , и раскрываем.

33. Непрерывность функции в точке

Функция называется непрерывной в точке, если: функция определена в точке и ее окрестности; существует конечный предел функции в точке; этот предел равен значению функции в точке.

Свойства непрерывных функций

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Если функция непрерывна и справа и слева, то она непрерывна в этой точке. 

Если функция y=f(x) находится на отрезке непрерывна в точке a справа.

Если функция y=f(x) находится на отрезке непрерывна в точке a слева.

34. Непрерывность фун. на интервале

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Основные теоремы непрерывных функций

1) Пусть заданы две функции f(x) и g(x) , непрерывные на некотором множестве X. Сумма, произведение и частное (при условии, что g(x) ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

2) Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

3) Пусть функция z=(x) непрерывна в точке x₀, а функция y=f(x) непрерывна в точке z₀, где z₀=(x₀), тогда сложная функция y=f((x)) является непрерывной в точке x₀.

35. Производная функции

Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если функция имеет производную в точке x₀, то в этой точке она непрерывна. Производная в точке 0 не существует.

Геометрический и механический смысл производной

1) Геометрический смысл: производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀.

2) Механический смысл: скорость – это производная координаты по времени:

36. Основные правила дифференцирования

1) Пусть u(x) и v(x) – дифференциальные функции в точке x, тогда их произведение и частное также дифференцируемы в точке x.

2) Пусть сложная функция y=f(z), где z=(x) дифф-мы в точке z, тогда y=f((x)) дифф-ма в точке x.

3) Постоянный множитель c можно выносить за знак производной.

4) Производная от суммы (разности) функции = сумме (разности) производных.

37. Производная сложной и обратной функции

1) Пусть сложная функция y=f(z), где z=(x) дифф-мы в точке z, тогда y=f((x)) дифф-ма в точке x. Производную сложной функции можно найти по формуле: y'=y'_z*z'_x.

2) Если функции y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции находится по формуле: g'(x)=1/f '(x).

38. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически

1) Чтобы найти производную функции, заданной неявно (когда слева и справа есть переменная y) каким-либо уравнением необходимо взять производную из обоих частей уравнения, затем переносим все y' влево и подставляем вместо y исходное выражение.

2) Пусть y=y(x) задана параметрически:

, тогда чтобы продифференцировать эту функцию необходимо воспользоваться формулой: y'_x=

39. Дифференциал функции и её геометрический смысл

1) Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда превращение можно представить в виде

y=f '(x₀)*x+0(x)

y f '(x₀)*x при x→0

f '(x₀)*x в разложении y называется главной линейной относительно х частью превращения функции.

Главная линейная относительно х функция наз. дифф-ой функцией и обозначается dy. dy=y'*dx. y'=

2) Дифференциал функции y=f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение х.

40. Производные высших порядков

Производная от производной 1-го порядка называется производной 2-го порядка. y'=f '(x); y''=(y')'; yⁿ=(y^n-1)'

Дифференцируемость функции

Пусть функция y=f(x) дифф-ма в точке x₀, тогда превращение можно представить в виде y=f '(x₀)*x+0(x)

y f '(x₀)*x при x→0

f '(x₀)*x в разложении y называется главной линейной относительно х частью превращения функции.

Главная линейная относительно х функция наз. дифф-ой функцией и обозначается dy.

1 порядка) dy=y'*dx. y'=

высших порядков) d²y=y''dx²; d³y=y'''dx³

41. Теорема Ролля и Лагранжа

1) Пусть f(x) удовлетворяет условиям: определена и непрерывна на отрезке [a,b]; дифф-ма на (a,b,); Значения функции на концах отрезков совпадают f(a)=f(b). Тогда существует точка c=(a,b) такая что f'(x)=0

2) Пусть f(x) удовлетворяет условиям: определена и непрерывна на отрезке [a,b]; дифф-ма на (a,b,). Тогда существует точка c такая, что =f '(c)

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется при вычислении предела функции и относится только для раскрытия неопределённостей: , Такие пределы вычисляются по формуле: =

42. Условие монотонности функции.

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда если: 1) f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – не убывает; 2) f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – не возрастает;

Следовательно: если f(x)0, для всех x принадлежащих (a,b), то f(x) – возрастает; а f(x)0 - убывает

Необходимое условие экстремума

Пусть x₀ – точка локального экстремума функции f(x), тогда f '(x) обращается в 0 или не существует.

Критические точки - те, которые не входят в обл. определения (чаще всего это точки разрыва).
Стационарные-точки в которых значение производной равно нулю (точки экстремума)

43. Экстремум фун. одной переменной

Пусть у нас есть функция y=f(x) и точка x₀ – точка локального max (min) если существует x принадлежащий дельта-окрестности x₀, то f(x₀)f(x) max; f(x₀)f(x) min

Локальные max и min – локальные экстремумы. x₀ – точка локального максимума если f(x₀)= максимальному значению f(x).

Достаточные условия экстремума

1) Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ и имеет конечную производную f'(x). Если же при переходе через точку x₀ производная не меняет знак, то в точке x₀ нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке x₀, причем

df(x₀) = 0, а   d²f(x₀) > 0     (d²f(x₀) < 0 ).

Тогда точка x₀ есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x).

3)  Пусть функция f(x) имеет в точке х0 производные f '(x₀) и f''(x₀), причем f'(x₀) = 0, а   f''(x₀) > 0     (f''(x₀) < 0 ).

Тогда точка x₀ есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x).

44. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График функции y=f(x) называется вогнутым на (a,b) если он расположен ниже касательной, проведённой к графику функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на (a,b) если он расположен выше касательной, проведённой к графику функции.

Точка перегиба функции – это точка, в которой функция непрерывна и её график имеет касательную (которая может быть параллельна оси) и при переходе через (x) функция меняет направление выпуклости.

45. Асимптоты графика функции.

Асимптота – значение, к которому стремится функция. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой, если 1 из односторонних пределов в этой точке = .

Прямая называется горизонтальной асимптотой функции, если предел этой функции при x→ = числу.

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы.

Схема исследования функции

1) Находим область определения функции.

2) Определяем чётность\нечётность функции и её периодичность.

3) Находим точки пересечения с осями Ox и Oy (приравниваем x=0 и y=0)

4) Исследуем функцию на наличие асимптот

5) Определяем y' и её критические точки (y'=0)

6) Находим y'' и её критические точки.

7) Результаты заносим в таблицу.

8) С помощью таблицы строим график функции.