Файл: Shpr.docx

3. Многочлены Теорема Безу Основная теорема алгебры

Т.Безу: Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен 

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел

4.Матрицы и действия над ними

1. Сложение матриц

2. Вычитание матриц

3. Произведение матрицы на число

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

5. Возведение в степень

6. Транспонирование матрицы А.

5.Определители и их св-ва

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7.Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей

6. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие. Алгоритм

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E

Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная

Найти определитель матрицы A и убедиться, что ΔA≠0

Составить алгебраические дополнения Aij каждого элемента матрицы A и записать матрицу A∗n×n=(Aij)из найденных алгебраических дополнений.

A−1=1ΔA⋅A∗T.

7.Ранг

наибольший порядок порожденных ею миноров (определителей), отличных от нуля

Ранг матрицы не изменится, если:

1) строки и столбцы матрицы поменять местами;

2) переставить местами два любых ее столбца (строки);

3) удалить из нее столбец (строку), все элементы которого равны нулю;

4) удалить из нее столбец (строку), являющийся линейной комбинацией остальных ее столбцов (строк);

5) умножить ее произвольный столбец (строку) на любое отличное от нуля число;

6) к любому ее столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию остальных столбцов (строк) этой матрицы.

8.Теорема К-К

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

9.Методы решения СЛАУ

Метод Крамера , Матричный, Гаусса

10.Векторы операции

Вектор – отрезок АВ с начальной точкой А и концом В.
Вектор начало и конец, которого совпадают, а длинна соответственно = 0, называется нулевым вектором 0.
Вектор длинна которого 1 называется единичным.
Длинной или модулем вектора называется длинна отрезка AB.
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых называются комплонарными.
Суммой векторов а и в называется вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец с концом в, если начало в совпадет с концом а.
Произведением в. а на число L называется вектор в = а*L удовлетворяющий условиям:
1)|b|=|a||L|
2)b соноправ a, если L>0
3) b несоноправ a, если L<0

- a + b = b + a
-(a + b) + c = a +(b+ c)
- a + 0 = a
- a +(-a) = 0
- 1*a=a
- L(B*a)=(LB+La)
- L(a+b)=La+Lb
- (L+B)a=La+L

11. Проекция вектора на ось, проекция вектора на вектор.

Точка А, называется проекцией т. А на ось L, т. B,  называется проекцией точки B на ось L назыв. Число равное 
прl AB= скобка объединение |A1B1|,если A1B1 сонопр l
                                                      -|A1B1|,если A1B1 несонопр l 
Св-ва проекций:
1)прAB=|AB|cosl
2)прl (Ba)= B прl a
3)прl(a+b)=прl а + прb
4)пр l a= 0 <= >  a=0 or a перп l

12. Векторный базис. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора.

Базисом на плоскости называются два линейно незав. В-ра этой плоскости, взятых в определенном порядке.
Базисом в пространстве назыв. 3 лин. незав. в-ра взятых в определенном порядке.
Если векторы L1 и L2 образуют базис на плоскоси, то любой в-р с, этой плоскости можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных в-ов.
с =xL1+yL2 – разложение в-ов по базису с, а {L1;L2}-коородинаты в-ра.

13. Направляющие косинусы вектора. Единичный вектор

Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора а необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора. 
Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Единичный вектор - это вектор, абсолютная величина (модуль) которого равен единице

14. Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения.

Скалярным произведением в-ов, называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
A=|F||S|cosl=FS
1)a*b=b*a
2)(la)b=l(ab)
3)(a+b)c=ac+bc
4)ab=|a|прaнаb=|b|прbнaa
5)a*a=|a|
6)a*b=0 <= >  
7)ii=jj=kk=1
Приложения скалярного произведения
1)cosl=ab/(|a||b|)
2)|a|=sqrt(a*a)
3)прbнаa=ab/|b|

15. Векторное произведение его свойства и приложения.

Векторным произведением векторов a и b, называется вектор c=[a;b]=axb
1)axb=-bxa
2)(la)xb=l(axb)
3)(a+b)xc=ac+bc
4)axa=0
5)axb=0 (либо a=0 или b=0 или a||b)

16. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности трех векторов.

Смешанным произведением 3-х в-ов а, б, с. Называется число равное скалярному про-ю в-ов а и б на 3-й вектор
Смешанное пр-е равно матрице
Свойства смешанного произведения:
1)(axb)c=a(bxc)
2)axb*c=-cxb*a
3)(la)xb*c=l(axb*c)
4)(a1+a2)xb*c=a1xb*c+a2xb*c
5)axbc=0 a,b,c комплонарны

17. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Ур-е прямой через условие комплонарности
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Каноническое уравнение прямой
x-x0/m=y-y0/n (S(m;n) a(x0,y0)-точка)
Параметрическое уравнение прямой
x=x0+mt M0=(x0,y0); a(направляющий вектор)=(m,n)
y=y0+nt  M=(x,y)    
Уравнение прямой проходящей через M0(x0,y0)перп n =(A,B)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Общее уравнение прямой на плоскости
Ax+By+c=0
Уравнение прямой в отрезках
x/a+y/b=1 а, b точки пересечения прямой с осями координат
Уравнение прямой ерез y y =kx+b
Уравнение прямой через заданную точку. Y-y0=k(x-x0)

18. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Усл перепенд k1=k2
Усл параллельности k1*k2=1

Пусть две прямые  и  заданы общими уравнениями

и .

.

19. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой =

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y, M_z) до плоскости можно найти

20. Эллипс. Его каноническое уравнение.

Эллипс геометрическое множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек  F₁ и  F₂ , называемых  фокусами эллипса, есть величина постоянная и равна 2*a, больше чем расстояние между фокусами

.      Отрезок  F₁F₂ = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок  AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок  CD = 2 b – малой осью эллипса. Число  e = c / a ,  e < 1 называется эксцентриситетом эллипса

21. Гипербола, ее каноническое уравнение.

Гиперболой называется множество точек пространства разности расстояний которых

до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть

величина постоянная и равна 2*а, меньше чем расстояние между фокусами

Каноническое уравнение: 

Эксцентриситет: 

22. Парабола, ее каноническое уравнение.

Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая  - директрисой параболы

Каноническое уравнение: 

23. Плоскость. Различные виды уравнения плоскости.

называется общим уравнением плоскости

уравнение плоскости в отрезках

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0−A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0−  уравнение плоскости P,P, которая проходит через точку M(x0,y0,z0)

матрица (x-x1 x2-x1 x3-x1в столбец)− уравнение плоскости, которая проходит через три точки

xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0− нормальное уравнение плоскости, где cosα,cosβcos⁡α,cos⁡β и cosγ−cos⁡γ− направляющие косинусы а p>0−p>0− расстояние от начала координат до плоскости.

24. Общее уравнение плоскости, его исследование.

Всякое уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, задает некоторую плоскость в пространстве, и наоборот, всякая плоскость может быть задана уравением A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Исследование:
1)Если D=0, то плоскость проходит через начало координат (0,0,0)
2)D=0, A=0, B=0, C=0   By+Cz=0   (x;0;0) Содержит ось Ох
аналогично если D=0, B=0, A/=0, C/=0 Содержит ось Оу
D=0 C=0 A/=0 B/=0 Содержит ось Оz
3)D/=0 A=0 B/=0 C/=0   ||Ox По усл нарисовать рисунок
4) D/=0 A=0 B=0 C=0   По усл нарисовать рисунок
5) D=0 A=0 B=0 C=0
Ax=0 x=0 –Oyz аналогично y=0 – oxz  z=0 – oxy

25. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

Условие || плоскостей A1/A2=B1/B2=C1/C2
Условие T двух плоскостей   A1A2+B1B2+C1C2=0

26. Различные виды уравнения прямой в пространстве.

1)A1x+B1y+C1z+D1=0
  A2x+B2y+C2z+D2=0
2)M1(x1,y1,z1)  M2(x2,y2,z2)
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1
3)x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p S={m;n;p}
4) Параметрическое уравнение
x=mt+x0
y=nt+y0   M0(x0,y0,z0) – точка прин прямой
z=pt+z0   S(m,n,p) координаты напр вектор

27. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

усл параллельности S1||S2 <= > m1/m2=n1/n2=p1/p2
усл перпендикулярности  S1 T S2 <= > S1S2 <= > m1m2+n1n2+p1p2=0

Пусть в пространстве заданы две прямые:

.

28. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

прямая || плоскости  Am+Bn+Cp=0
прямая T плоскости  A/m=B/n=C/p

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

29. Поверхности второго порядка. Метод сечений.

Типы уравнений: Эллиптический Гиперболический Цилиндрический

Метод сечений: пов-сть рассекают плоскостями и по виду линий пересечения делают вывод о форме

30. Цилиндрические ё.

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M₀

этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит

поверхности S.

Эллиптический цилиндр.

Параболический цилиндр.

Гиперболический цилиндр.

31. Линейные пространства. Примеры

Множество L  называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;

1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

является пространство геометрических радиусов-векторов на плоскости L = R₂ = { x = x₁·i + x₂· j}:

32. линейной зависимости и линейной независимости. Базис и размерность

Оператор f называется линейным если для любых x1,x2,x3 прин L и любого числа l выполняется дваусловия:
1)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) (аддитивности)
2)f(lx)=lf(x)(однородности)}}}
Линейной комбинацией элементов x1,x2…xn прин L числовыми коэфицентами l1,l2…ln называется 
 y=lx1+l2x2…lnxn

Базис – это такая упорядоченная система {e1,e2,..en} элементов этого пр-ва, что 
1.Эл-ты e1,e2,..en – линейно независимы
2. Любой эл-т x из этого пр-ва L может быть представлен в виде линейной комбинации базисных элементов.
Система элементов x1,x2..прин L называется линейно завис, если существуют такие числа l1,l2,l3.. в котором хотя бы
1. Не равно 0, что лин. Комбинация дает l1x1+l2x2+…+lnxn=0
Если равенсто 0 лин комб элементов x1,x2,…xn прин L возможно только в случае, когда все коэф. Лин. Комбинации равны 0, то система называется линейно независимой.
Размерность лин. Пр-ва называют такое число n=dimL, что:
1)в пр-ве L существует n лин незав элементов.
2)Любая система из n-1 эл-та – линейнозависима.
Значит размерность пр-ва – это максимальное число лин. Незав элементов линейного пр-ва.

33. Координаты элемента линейного пространства в заданном базисе. Преобразование координат при изменении базиса.

Преобразование координат в-ра при изменении базиса
Пусть с-ма E={e1,e2,…,en}-баз.лин. пр-ва L
E’={ e1’,e2’,…,en’ }-новый базис.
e1’=t11e1+t21e2+…+tn1en
e2’=t12e1+t22e2+…+tn2en
…
en’=t1ne1+t2ne2+…+tnnen
(t11 t12…t1n)
T=(t21 t22…t2n)
    (tn1 t12…tnn)
Матрица перехода от баз E к E’
det T =/0
    (x1)         (x1’)
X=(x2)   X’=(x2’)
    (xn)         (xn’)
X’=T^(-1)X

34. Подпространства линейного пространства. Операции над подпространствами.

L’, линейных пространств называется линейным подпространством, пространства L, если 
x,y прин L’ и любого числа l x+y прин L’, lx прин L’
Утв-е: Подпространство само является линейным пространством и его размерность dimL’ <= dimL
Пример
1) нулевое пр-во {0} 
2)L
Это подпространства называются тривиальными.

35. Линейные операции и их матрицы

Оператор f называется линейным если для любых x1,x2,x прин L и любого числа l выполняется 2 условия
1)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) (аддитивности)
2)f(lx)=lf(x) (однородности)
      (a11 a12… a1n)
Af=(a21 a22… a2n)
      (am1 am2… amn)
Столбцы которой состоят из координат в-ов f(e1),f(e2)…f(en) называется матрицей линейгого оператора f.
Пусть x и y столбцы коорд вкт x y в базисе E
    (x1)
x=( x2) x в баз E
    (xn)
    (y1)
y=(y2) y=f(x) в баз F, то Y+AfX
    (ym)