Файл: Тема 15.doc

ТЕМА 15

ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ. УЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ И УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ НАГРУЗКИ

15.1. Условия возникновения динамических нагрузок. Три задачи динамики

Во всех рассмотренных выше случаях предполагалось статическое приложение нагрузки, при котором она медленно растет от нуля до своего конечного значения и в дальнейшем остается постоянной либо изменяется редко или так же медленно. При указанных условиях скорости и ускорения смещений отдельных элементов конструкции вследствие деформации весьма малы и можно пренебречь влиянием сил инерции. Однако во многих случаях, особенно в машиностроении, перечисленные условия не соблюдаются. В деталях машин могут иметь место удары, резкие изменения скоростей движения, вибрации и т.п. Все эти обстоятельства влияют на прочность элементов конструкций и деталей машин. В общем случае динамическая нагрузка представляет собой очень сложное воздействие на сооружение, которое не всегда можно учесть.

В курсе сопротивления материалов обычно рассматривают следующие, наиболее часто встречающиеся виды задач:

1. Учет сил инерции.

2. Удар.

3. Колебания.

15.2. Учет сил инерции

Общим приемом решения всех задач, связанных с учетом сил инерции, является принцип Д’Аламбера или принцип кинетостатики. Согласно этому принципу движущуюся систему можно рассматривать как находящуюся в равновесии, если ко всем ее точкам присоединить дополнительно силы инерции. Другими словами, при решении практических задач необходимо ко всем массам, движущимся с ускорением, помимо заданных и реактивных сил, приложить также и силы инерции и после этого определить все силовые факторы в различных сечениях стержней с помощью обычных уравнений равновесия. Таким образом, с помощью принципа Д’Аламбера любая динамическая задача по форме решения сводится к более простой (статической) – составлению уравнений равновесия. Для иллюстрации рассмотрим несколько типичных случаев.

15.2.1.Учет сил инерции при поступательном движении

Рассмотрим расчет троса при подъеме груза с ускорением (Рис.15.1). Вес груза будем измерять в (кН) ускорение в (м/с²). Вес 1 м троса обозначим (кН/м). Если груз неподвижен, то в произвольном сечении троса возникает статическое усилие от веса груза и троса, определяемое из условия равновесия нижней отсеченной части:

.

Рис.15.1

При подъеме груза с ускорением для определения натяжения троса необходимо составлять урвавнение движения груза. Для этой цели воспользуемся принципом Д’Аламбера. Сила инерции численно равна произведению массы на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. Для рассматриваемого случая сила инерции равна:

,

где  ускорение свободного падения.

---

Составим уравнение равновесия всех сил, приложенных к тросу. Для этого спроектируем все силы, действующие на трос, в том числе и силу инерции, на ось . Получим:

.

Откуда полное усилие будет равно:

.

Здесь:  динамический коэффициент.

Динамические напряжения в тросе найдем из выражения:

.

Таким образом, при подъеме груза с ускорением динамическое напряжение может в несколько раз превысить статическое. Так, например, в скоростных лифтах, где большая скорость подъема может быть достигнута только благодаря большим ускорениям, динамическое напряжение бывает очень большим. Расчет тросов в этом случае должен быть проведен с учетом динамического действия нагрузок.

Если груз опускать с ускорением , то в формуле динамического коэффициента нужно поставить знак “минус”. При свободном падении груза ускорение , поэтому натяжение в тросе будет равно нулю. Трос будет следовать за падающим грузом без натяжения.

15.2.2. Учет сил инерции при равномерном вращении

Примером конструкции, в которой при равномерном вращении возникают силы инерции, является обод маховика. В первом приближении обод маховика можно рассматривать как тонкое (в радиальном направлении) кольцо, вращающееся равномерно вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Кольцо вращается в горизонтальной плоскости. На рис 15.2,а проказан вид на вращающееся кольцо сверху.

Рис.15.2

Требуется произвести расчет обода на прочность без учета влияния спиц. Силы тяжести малы, ими пренебрегаем. Основные силы – силы инерции, вызванные равномерным вращением кольца.

Двумя радиальными сечениями, проведенными из центра кольца под взаимным углом вырежем из кольца бесконечно малый элемент длиной и рассмотрим силы и ускорения, которые на него действуют.

При равномерном вращении кольца с постоянной угловой скоростью в бесконечно малом элементе возникнет центростремительное ускорение , направленное вдоль радиуса внутрь кольца. В противоположном направлении, т.е. от центра кольца на вырезанный элемент будет действовать сила инерции (Рис.15.2,а):

, (15.1)

где  площадь поперечного сечения кольца;  плотность материала;  радиус срединной поверхности кольца.

В силу симметрии нагрузки в каждой точке кольца возникнет такая же по величине сила, но направленная в ином направлении – вдоль радиуса от центра кольца. Интенсивность этой нагрузки найдем, разделив силу инерции, приложенную к бесконечно малому элементу на длину дуги, на которой эта сила действует:

. (15.2)

Таким образом, кольцо при равномерном вращении подвергается равномерно распределенной нагрузке в виде сил инерции интенсивностью (Рис.15.2,б).

Очевидно, что кроме сил инерции на бесконечно малый элемент будут действовать еще силы, в частности, направленные в окружном направлении. Найдем эти силы. Для этого рассмотрим кольцо, как некоторый замкнутый крнтур, не имеющий промежуточных шарниров. Как известно, такой контур три раза статически неопределим. Учитывая то, что кольцо тонкое, можно пренебречь неравномерностью распределения напряжений по его толщине. Если напряжения во всех точках поперечного сечения кольца будут одинаковы, то это означает, что в кольце отсутствуют изгибающие моменты . Отсутствие изгибающих моментов исключает наличие деформации изгиба в кольце. Следовательно, поперечная сила также будет отсутствовать в кольце.

---

Получается, что из трех внутренних усилий в кольце ( и ) два ( и ) равны нулю. Остается только одно усилие – продольная сила . Значит, кольцо работает на растяжение.

Найдем значение продольной силы, действующей в кольце. Для этого двумя радиальными сечениями вырежем бесконечно малый элемент длиной из срединной линии кольца и приложим к нему распределенную нагрузку интенсивности и равнодействующие нормальных усилий , распределенных по площади поперечного сечения кольца (Рис.15.3).

Спроектируем силы, действующие на вырезанный элемент, на ось . Получим:

. (15.3)

Рис.15.3

В виду малости угла заменяем его синус углом: и подставляем его в (15.3). Решаем равенство (15.3) относительно продольной силы , получаем:

. (15.4)

Здесь  величина окружной скорости на ободе.

Максимальные напряжения в ободе получим, разделив продольную силу , на площадь поперечного сечения кольца :

. (15.5)

Учитывая, что плотность , где  удельный вес материала и вводя величину допускаемого напряжения, получим условие прочности в виде:

. (15.6)

Из формул (15.5) и (15.6) видно, что напряжения в ободе не зависят от площади поперечного сечения. Поэтому увеличение площади поперечного сечения обода не приводит к снижению напряжения в нем. Очевидно, чтобы уменьшить напряжения в ободе, нужно снижать скорость вращения обода, либо применять более прочные материалы с высоким значением . Предельную скорость на ободе можно определить из условия прочности:

.

Обычно скорость вращения маховиков ограничивают. Для литых маховиков скорость на ободе не должна превышать 25м/сек. Поскольку опасность разрушения маховиков даже при этом остается высокой, маховики ограждают мощной металлической сеткой.

Рассмотрим деформации обода в окружном и радиальном направлениях. Относительное удлинение по окружности кольца в соответствием с законом Гука и с учетом выражения (15.5) равно:

. (15.7)

Нетрудно убедиться в том, что при увеличении радиуса на величину абсолютной деформации , относительная окружное удлинение будет равно относительному радиальному удлинению . Действительно, если радиус кольца после деформации станет равным , то относительную деформацию по окружности можно будет найти по формуле:

. (15.8)

Из выражения (15.8) найдем перемещение точек оси кольца в радиальном направлении:

. (15.9)

15.2.3. Учет сил инерции при расчете стержня, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим стержень длиной , вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси (Рис.15.4,а). Известны площадь поперечного сечения стержня , плотность материала . Требуется определить максимальную величину продольной динамической силы, действующей в стержне и величину максимальных нормальных напряжений в стержне. Кроме этого, требуется получить закон изменения сил инерции по длине стержня.

---

Поместим начало координат на левом конце стержня в точке и вырежем из стержня на расстоянии от начала координат бесконечно малый элемент стержня длиной . На вырезанный элемент будут действовать нормальное ускорение , направленное в сторону начала координат и сила инерции (Рис.15.4,а).

Рис.15.4

Максимальную продольную силу в стержне, вызванную действием сил инерции, найдем из интеграла:

. (15.10)

Максимальные нормальные напряжения в стержне и условие прочности принимают вид:

. (15.11)

Так же, как и в ободе, прочность стержня от размера площади не зависит, а зависит от квадрата окружной скорости на свободном конце стержня .

Интенсивность распределенной нагрузки по длине стержня:

. (15.12)

Выражение (15.12) представляет собой закон распределения интенсивности распределенной нагрузки по длине стержня. Из него видно, что интенсивность распределенных сил инерции является линейной функцией продольной координаты. График этой зависимости приведен на рис.15.4,б.

15.2.4. Учет сил инерции при расчете вращающихся дисков

Вращающийся диск обычно испытывает растяжение под действием центробежных сил, являющихся для него основной нагрузкой, а также изгиб. Обычно силы инерции действуют симметрично относительно оси диска, вследствие чего напряжение является функцией расстояния от оси вращения.

Будем считать, что в тонком плоском диске постоянной толщины , напряжения по толщине распределены равномерно, а напряжения, параллельные оси диска, отсутствуют ( ). Таким образом, во вращающемся диске возникает плоское напряженное состояние.

Рассмотрим диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью [3]. Удельный вес материала диска . Силы инерции, действующие на выделенную часть диска, выразим в виде равнодействующей (Рис.15.5), лежащей в срединной плоскости элемента:

.

Рис.15.5

Спроектируем все силы, действующие на выделенный элемент, на ось и приравняем нулю. После некоторых сокращений и преобразований, получим уравнение равновесия в виде:

. (15.13)

Геометрические и физические уравнения при расчете вращающихся дисков будут такими же, как и в задаче Ламе (13.18)-(13.21). Поэтому дифференциальное уравнение (15.13) в перемещениях с учетом (13.20), (13.21) примет вид:

. (15.14)

Переписав (15.14) в виде

и проинтегрировав его последовательно дважды, найдем:

. (15.15)

Подставив (15.15) в (13.20)-(13.21), получим:

; (15.16)

, (15.17)

где

; .

Постоянные и определяются из граничных условий. Для диска с центральным отверстием имеем следующие условия на внутреннем ( ) и внешнем ( ) контурах:

---

;

.

В соответствии с (15.16) эти условия дают два уравнения:

;

.

Решая совиместно эту систему уравнений, находим:

; (15.18)

. (15.19)

В случае, когда и ,

; (15.20)

. (15.21)

Подставляя последние значения и в формулы (15.16) и (15.17), получим:

; (15.22)

. (15.23)

Введем обозначения:

; ; ; . (15.24)

Перепишем с учетом введенных обозначений уравнения (15.22) и (15.23) для радиальных и окружных напряжений в виде:

; (15.25)

. (15.26)

Напряжение положительно и достигает наибольшей величины при :

. (15.27)

Напряжение тоже положительно при всех значениях и достигает максимума при :

. (15.28)

Сравнивая (15.27) и (15.28) приходим к выводу, что всегда имеет место неравенство . Поэтому, используя третью теорию прочности условие прочности запишем в виде:

. (15.29)

Формулы для напряжений в сплошном диске ( ) на основании (15.16) и (15.17) принимают вид:

; (15.30)

. (15.31)

Если внешняя нагрузка на наружном контуре ( ) отсутствует, т.е. , то согласно (15.30) находим:

. (15.32)

Подставляя (15.32) в (15.30) и (15.31), получим:

; (15.33)

. (15.34)

Оба напряжения положительны и увпеличиваются с приближением к центру. В центре диска при

. (15.35)

В соответствии с (13.19) радиальное перемещение

. (15.36)

Так как

,

то

. (15.37)

Для определения перемещения на наружном контуре диска в формулу (15.37) необходимо подставить значения ; ; .

15.3. Примеры расчета элементов конструкций с учетом влияние сил инерции

Пример 15.1. Груз весом 30кН поднимается равноускоренно с помощью стального троса, причем за первые две секунды он поднимается на высоту м. Площадь поперечного сечения троса см², длина троса м, удельный вес материала кН/м³. Определить наибольшее нормальное напряжение в тросе без учета и с учетом его собственного веса.

Решение:

1. Из формулы для равноускоренного движения найдем величину ускорения движения груза:

м/с².

2. Находим динамический коэффициент при поступательном движении:

.

4. Определяем динамическое напряжение в тросе без учета его веса:

МПа.

5. Определяем динамические напряжения в тросе с учетом его собственного веса:

МПа.

Пример 15.2. На двух балках корытного профиля №20 установлена лебедка весом кН, поднимающая груз кН с помощью стального троса (Рис.15.6,а). Подъем груза происходит с постоянным ускорением м/с². Учитывая вес груза, лебедки и собственный вес балок, определить величину наибольшего нормального напряжения в балках и тросе.

---