Этим же объясняется установка демпфирующих пружин и рессор, деформация которых сильно увеличивает статическое перемещение, и в результате уменьшается динамический коэффициент и динамические напряжения.

Величину динамического коэффициента при падении груза на невесомую балку можно выразить через скорость падения груза в момент подлета к балке. Для этого необходимо вместо величины подставить величину , так как скорость падения груза в момент, предшествующий удару, связана с высотой падения равенством . Следовательно:

. (15.51)

Когда высота падения равна нулю, динамический коэффициент равен двум. Такое загружение называется внезапным. Физически эту задачу можно представить так: если на нити подвесить груз, укрепив его над балкой таким образом, чтобы он касался верха балки, но не давил на нее, а передавался целиком на нить, и если при этом нить мгновенно рассечь, то груз всей своей величиной передастся на балку. Напряжения и прогибы в этом случае будут в два раза больше, чем при статическом нагружении, при котром предполагается постепенное нарастание величины нагрузки от нуля до конечного значения.

Если высота падения значительно превыщает статичесий прогиб , то единицей по сравнению со вторым членом, стоящим под корнем, можно пренебречь. Тогда

. (15.52)

15.6.Учет собственного веса при ударе

Если груз падает на балку, обладающую значительным весом, которым нельзы пренебречь (Рис.15.11,а), то решение сильно усложняется. В этом случае применяют приближенное решение, которое сводится к замене реальной балки системой с одной степенью свободы. Распределенная по длине балки масса заменяется приведенной массой, сосредоточенной в месте удара (Рис.15.11,б).

Рис.15.11

Буквой обозначен приведенный вес. Приведенным он называется потому, что прогиб от равнодействующей сосредоточенной силы, заменяющей распределенную нагрузку, будет больше. Поэтому весь вес посредине балки прикладывать нельзя. Величину приведенного веса найдем, используя динамическую эквивалентность двух систем: исходной системы (Рис.15.11,а) и динамически эквивалентной (Рис.15.11,б).

Две системы называются динамически эквивалентными, если их кинетические энергии одинаковы. Найдем значения коэффициентов приведения для некоторых частных случаев.

1. Продольный удар. Определим величину коэффициента для случая продольного удара по стержню постоянного сечения, заделанного одним концом (Рис.15.12,а). Вес стержня равномерно распределен по длине стержня в виде интенсивности распределенной нагрузки . Стержень подвергается удару грузом , который в начальный момент времени занимает верхнее положение в месте заделки.

Поместим начало координат в жесткой заделке, ось направим вниз. Выделим на расстоянии от начала координат бесконечно малый элемент длиной . Масса этого элемента . Предположим, что скорость падения груза пропорциональна перемещению рассматриваемого сечения, которое в свою очередь пропорционально координате (Рис.15.12,б). Максимального значения скорость падения груза достигает в нижней точке падения на нижнем конце стержня, где расположен упор. Тогда .

---

Рис.15.12

Кинетическая энергия для исходной системы с распределенной массой имеет вид:

.

Кинетическая энергия динамически эквивалентной системы (Рис.15.11,в) равна:

.

Приравнивая найденные кинетические энергии ( ) на основании принципа динамической эквивалентности двух систем, получим:

.

Откуда: .

2. Поперечный удар. Рассмотрим балку постоянного сечения, шарнирно закрепленную на двух опорах. Масса балки распределена равномерно по ее длине, интенсивность распределенной нагрузки составляет . Для определения кинетической энергии системы предположим, что скорость элемента балки, отстоящего от левой опоры на расстоянии (Рис.15.13,а) пропорциональна перемещению этого сечения от статической нагрузки, приложенной в виде силы в точке удара. Это условие пропорциональности можно выразить следующим равенством:

.

Здесь и  соответственно скорость и прогиб в середине пролета.

Рис.15.13

Приняв, что точка удара расположена в середине балки (Рис.15.13,б), получим следующее уравнение прогибов:

.

Следовательно,

; .

Кинетическую энергию найдем из равенства:

.

Определим теперь кинетическую энергию для балки, у которой посредине пролета прикреплена приведенная масса. Считая, что скорость движения этой массы будет равна , получим:

.

Приравнивая полученные кинетические энергии ( ) на основании принципа динамической эквивалентности двух систем, получаем значение коэффициента :

.

Для случая, изображенного ра рис.15.14, коэффициент .

Рис.15.14

Для других случаев нагружения балок можно брать значение для коэффициента приведения массы в соответсвующих справочниках по сопротивлению материалов.

Таким образом, динамический коэффициент при ударе с учетом распределенной массы приобретает вид:

. (15.53)

Динамический коэффициент при ударе можно также выразить через значения кинетической энергии ударяющего тела и потенциальную энергию ударяемого тела при статической деформации :

. (15.54)

При продольном ударе силой потенциальная энергия стержня имеет вид:

. (15.55)

Для вычисления динамического коэффициента при этом может быть выбрано одно из выражений:

.

При поперечном ударе нагрузки величина статической деформации , представляющей собой статический прогиб балки в месте удара, зависит от схемы нагоужения и условий опирания балки.

Так, например, для балки пролетом , шарнирно закрепленной по концам и испытывающей посредине пролета удар от падающего с высоты груза , получаем:

---

; ; .

Динамический коэффициент при этом принимает вид:

.

Для консоли, испытывающей удар от груза , падающего на свободный конец консоли:

; ; .

Динамический коэффициент для консольной балки имеет вид:

.

Максимальные динамические напряжения для балки на двух опорах принимают вид:

.

Рассмотрим несколько примеров расчета конструкций, испытывающих удар.

Пример 15.12. Определить величину наибольшего нормального напряжения в стальном ступенчатом стержне (Рис.15.15), подвергающемся действию удара при падении груза кН с высоты мм. Площадь поперечного сечения стержня см², длина стержня м. Какое наибольшее напряжение возникнет в стержне, если на кольцевой выступ В для смягчения удара поместить цилиндрическую винтовую пружину, которая при действии статической нагрузки, равной 10Н, сжимается на мм?

Рис.15.15

Решение:

1. Определяем статическое удлинение стержня, вызванное силой :

мм.

2. Вычисляем коэффициент динамичности:

.

3. Определяем наибольшие динамические нормальные напряжения в стержне при осутствии пружины:

МПа.

4. Определяем статическое перемещение с учетом осадки пружины. Жесткость пружины мм/Н. Осадка пружины мм.

мм.

5. Вычисляем динамический коэффициент:

.

6. Определяем наибольшие динамические напряжения в стержне при наличии пружины:

МПа.

Пример 15.13. Стержень, имеющий длину м и площадь поперечного сечения см², подвергается продольному растягивающему удару при падении груза кН. Кинетическая энергия груза к моменту соударения равна Нм. Найти напряжение в стержне при ударе в предположении, что он изготовлен из стали.

Решение:

1. Вычисляем потенциальную энергию, накапливаемую в стержне, при статическом приложении силы :

Нм.

2. Определяем динамический коэффициент по формуле:

.

3. Находим динамические напряжения в стержне:

МПа.

Пример 15.14. На шарнирно опертый по концам деревянный брус прямоугольного поперечного сеченния см² посредине пролета м с высоты см падает груз кН. Определить наибольшее нормальное напряжение и наибольший прогиб бруса при изгибающем моменте в плоскости наибольшей жесткости. Модуль упругости дерева МПа.

Решение:

1. Определяем стрелу прогиба при статическом приложении нагрузки:

м.

2. Находим динамический коэффициент:

.

3. Определяем динамические напряжения в брусе:

МПа.

4. Находим максимальный динамический прогиб в плоскости наибольшей гибкости:

м мм.

Пример 15.15. Двутавровая балка №24 длиной м опирается на шарнирные опоры. Груз кН падает посредине пролета со скоростью м/сек к моменту удара (Рис.15.16,а). Определить наибольшее нормальное напряжение и наибольший прогиб в результате удара, предполагая, что: а) опоры балки абсолютно жесткие; б) опоры балки представляют упругие конструкции; смещение каждой из них на единицу приложенной к ней нагрузки равно м/Н; в) опоры балки абсолютно жесткие, но посредине пролета лежит груз кН. Массой балки во всех случаях пренебречь. Момент инерции двутавра №24 см⁴, момент сопротивления см³.

---

Решение:

1. Опоры абсолютно жесткие. Определяем стрелу прогиба:

м.

Находим коэффициент динамичности:

.

Рис.15.16

Определяем наибольшие динамические напряжения в балке и максимальный прогиб:

МПа;

м мм.

2. Опоры балки – упругие конструкции. Определяем осадку пружины на опоре от статического приложения нагрузки:

м.

Находим перемещение сечения посредине балки с учетом осадки пружин:

м.

Определяем коэффициент динамичности:

.

Вычисляем максимальные динамические напряжения в балке и динамическую стрелу прогиба:

МПа;

м мм.

3. Опоры жесткие, груз падает на груз , расположенный посредине балки. Определяем динамический коэффициент:

.

Находим наибольшие динамические напряжения и динамическую стрелу прогиба:

МПа;

м мм.

Пример 15.16. Льдина, плывущая со скоростью м/с, ударяется о деревянную сваю круглого поперечного сечения (Рис.15.17). Определить наибольшее нормальное напряжение и наибольший прогиб сваи при ударе, если модуль упругости дерева МПа. Сваю в нижнем сечении считать жестко защемленной.

Решение:

1. В момент удара свая испытывает действие динамической силы со стороны льдины. Найдем эту силу. Кинетическая энергия удара равняется потенциальной энергии деформации, накапливаемой в свае от действия динамической силы :

.

Рис.15.17

Потенциальную энергию найдем, выражая ее через динамическую силу:

.

Приравнивая кинетическую и потенциальную энергии, получаем:

,

звідки

Н.

2. Определяем наибольший прогиб сваи:

м см.

3. Вычисляем наибольшее напряжение в свае:

МПа.

Пример 15.17. Деревянная балка круглого поперечного сечения и длиной м, шарнирно оперта на концах, посредине пролета испытывает удар телом, движущимся горизонтально. Тело имеет в начальный момент удара кинетическую энергию Нм. Определить диаметр поперечного сечения балки таким образом, чтобы наибольшее нормальное напряжение в ней не превышало 10МПа, а максимальный прогиб был не больше 1 см.

Решение:

1. Определим величину динамической силы, з которой тело, движущиеся горизонтально, ударяет по балке. Будим исходить из того, что кинетическая энергия удара полностью переходит в потенциальную энергию деформации тела, подверженного удару

.

Откуда

кН.

2. Вычисляем максимальный изгибающий момент в балке:

кНм.

3. Записываем условие прочности при изгибе и определяем диаметр поперечного сечения балки:

,

откуда

м.

---

Пример 15.18. Диск диаметром см и весом кН, насаженный на вал АВ длиной м и диаметром см (Рис.15.19,а), вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующую об/мин. Определить величину наибольших касательных напряжений в вале в тот момент, когда конец вала А внезапно останавливается. Массой вала пренебречь. Модуль сдвига для материала вала принять МПа.

Рис.15.18

Решение:

1. Расчетная схема вала приведена на рис.15.18,б. Вычисляем кинетическую энергию вращающейся системы:

Нм.

2. Определяем площадь поперечного сечения вала:

см².

3. Находим максимальное касательное напряжение в вале:

МПа.

15.8. Тесты к теме №15 “Задачи динамики. Учет сил инерции и ударного действия нагрузки”

Таблица 15.1

№	Вопрос	Время для ответа, секунды
1	2	3
1	Какой принцип применяется при решении задач, в которых учитывается влияние сил инерции?	30
	1. Принцип возможных перемещений.
	2. Принцип Д’Aламбера.
	3. Принцип Сен-Венана.
	4. Принцип суперпозиции.
2	Груз весом 40кН поднимается равноускоренно с помощью стального троса диаметром 4cм с ускорением 2м/с2. Определить наибольшее нормальное напряжение в тросе.	120
3	Наибольшая безопасная окружная скорость для чугунных маховиков равна 25м/с. Пренебрегая влиянием спиц и принимая удельный вес чугуна равный кН/м3, определить наибольшее растягивающее напряжение (в МПа) в ободе маховика при указанной окружной скорости. Результат округлить до целого числа.	240
4	Кожаный ремень шириною 20см и толщиною 5мм перекинут через шкив диаметром 1м и передает мощность 30 л.с. Шкив вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей 480 об/мин. Удельный вес кожи равен кН/м3. Определить напряжение (в МПа) в ремне с учетом сил инерции, возникающих в нем, если отношение усилий в набегающих и сбегающих ветвях ремня равняется трем. Результат округлить до целого числа.	600
5	Груз Р поднимается на тросе, навернутом на шкив. Груз поднимается с ускорением 1м/с2. Определить максимальное напряжение (в МПа) в опасном сечении вала по третьей теории прочности. Результат округлить до ближайшего целого числа.	600
Продолжение таблицы 15.1
1	2	3
6	Стержень АВ поворачивается с постоянной угловой скоростью вокруг осі ОО1. Як выглядит закон распределения сил инерции вдоль стержня?	60
7	Стержень АВ длиной м вращается с постоянной угловой скоростью 1/c вокруг оси ОО1. Удельный вес материала стержня кН/м3. Определить максимальное напряжение, возникающее в стержне (в МПа).	180
8	Какая теория удара рассматривается в сопротивлении материалов?	20
	1. Практическая.
	2. Техническая.
	3. Физическая.
	4. Механическая.
9	Каким является удар в соответствии с теорией, принятой в сопротивлении материалов?	20
	1. Проникающим.
	2. Прилипающим.
	3. Отскакивающим.
	4. Абсолютно упругим.
10	Сколько гипотез содержит в себе теория удара, принятая в сопротивлении материалов?	20
	1. Две.
	2. Четыре.
	3. Три.
	4. Пять.
11	Какой зависимостью звязан коэффициент динамичности при ударе с динамическими и статическими напряжениями?
	1. Линейной.
	2. Кубической.
	3. Квадратной.
	4. Тригонометрической.
12	Какой зависимостью звязан коэффициент динамичности при ударе з потенциальной энергией деформации при динамической и статической нагрузках?	20
	1. Линейной.
	2. Кубической.
	3. Квадратной.
	4. Тригонометрической.
13	Какая из гипотез используется при выводе динамического коэффициента при ударе?	20
	1. Равенство энергий.
	2. Равенство деформаций.
	3. Равенство напряжений.
	4. Равенство усилий.
14	Какое их выражений для динамического коэффициента при ударе написано правильно?	40
	1.
	2.
	3.
	4.
15	Какую величину можно определить с помощью следующего выражения?	30
	1. Амплитуду колебаний.
	2. Динамический коэффициент при ударе.
	3. Динамический коэффициент при колебаниях.
	4. Динамический коэффициент при учете сил инерции.
16	Какой принцип используется при учете влияния распределенной массы при ударе?	30
	1. Принцип возможных перемещений.
	2. Принцип динамической эквивалентности.
	3. Принцип суперпозиции.
	4. Принцип кинетостатики.
17	Какие системы считаются динамически эквивалентными при ударе?	30
	1. Имеющие одинаковые кинетические энергии.
	2.Имеющие одинаковые потенциальные энергии.
	3. Если потенциальная энергия ударяющего тела равняется кинетической энергии ударяемого тела.
	4. Если кинетическая энергия ударяющего тела равняется потенциальной энергии ударяемого тела.
18	В выражении  кинетическая энергия;  модуль сдвига;  длина скручиваемого вала;  площадь поперечного сечения вала. Что можно определить с помощью этого выражения при скручивающем ударе ?	40
	1. Угол закручивания.
	2. Касательное напряжение.
	3. Крутящий момент.
	4. Потенциальную энергию.
19	На балку прямоугольного поперечного сечения (размеры указаны на рисунке) падает груз Р с высоты см. Материал балки – дерево с модулем упругости МПа. Определить максимальное нормальное напряжение (в МПа) в балке при ударе. Результат округлить до целого числа.	480
20	На балку с высоты см падает груз кН посредине пролета. На балке в месте падения груза находится груз кН. Балка представляет собой двутавр №20 с осевым моментом инерции см4 и моментом сопротивления см3. Определить наибольшее динамическое напряжение (в МПа) в балке. Результат решения округлить до ближайшего целого значения.	480

---