5 РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

5.1 Общие сведения по СРП

Система с распределенными параметрами - это система, в которой практически все сигналы, особенно входные и выходные, зависят от пространственных координат и времени.

Система с распределенными параметрами может описывать следующие среды: электромагнитные поля, электростатические поля, течение жидкости, пневмогидравлические, тепловые поля, гравитационное поле.

Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП, и вводятся для упрощения понятия и решения задач на первом нулевом этапе.

Все природные явления описываются 7 дифференциальными уравнениями в частных производных:

- уравнение теплопроводности;

- уравнение Пуассона;

- уравнение колебаний стержня (продольные, поперечные, уравнения колебаний струны);

- функции Грина;

- нормирующая функция;

- собственная функция;

- собственные числа;

- континуальные передаточные функции.

Основной характеристикой системы с распределенными параметрами является континуальная передаточная функция, которая представляет собой отношение выходной величины к входной по Лапласу в привязке к конкретной точке.

В задаче выходная функция обозначается Q(x,t),

где x – трехмерная перемененная в декартовых, цилиндрических, сферических координатах.

f(x,t) - входная координата, описывающая среду и зависящая от трех переменных и t.

Основное уравнение задачи записывается в виде:

l (Q( x,t ))=f( x,t ); x  D; t  t_0, (27)

где l - оператор дифференциального уравнения.

Данная формула - формула, преобразовывающая выходные величины Q (порядок производных, их количество в координатах).

Каждой задаче придаются краевые и граничные условия:

Г(Q(x,t))=g(x,t); x  D; t > t_0, (28)

где Г - оператор граничных краевых условий.

Для того чтобы решить задачу, необходимо знать значение t в каждой точке на границе краевых условий.

g - входное воздействие на границе в каждый момент времени t.

Начальные условия для задачи записываются в виде:

N(Q(x,t))=Q₀(x); x  D, t = t₀, (29)

где N - определяет начальные условия;

Q₀ - значение искомой функции в заданный момент времени t₀.

В указанном виде система дифференциальных уравнений, включающая уравнение (27) и условия (28) - (29), не разрешима.

Рассмотрим стандартную форму записи (27) (нулевые граничные и начальные условия):

(30)

где при нулевых начальных условиях (x,t) - стандартная функция.

(x,t)=f(x,t), при Г=0 и N=0.

Стандартная функция есть выходное воздействие на среду при нулевых начальных и граничных условиях.

Функция Грина - функция источника, которая равна выходному сигналу.

G(x,t)=Q(x,t) при f(x,t)=(x-), (t-), (31)

где (x-) - пространственная -функция;

(t-) - функция по времени;

x - координата входного возмущения, куда ударила -функция по времени и по пространству;

 - координата точки отклика от удара.

---

С учетом этого выражение (30) можно записать:

L(G(x,,t,))=(x-)^(t-)

Г(G(x,,t,))=0 (32)

N (G(x,,t,))=0

Функция Грина G(x,t) является второй основной характеристикой искомого уравнения.

Зная две характеристики, можно найти выходную функцию по выражению:

(33)

Данное выражение представляет собой четырехкратный интеграл.

Если задача статическая, то есть в уравнении отсутствует время t, то ее можно записать в виде:

l(Q(x,t))=f(x), xD (34)

Г(Q(x))=g(x), xD (35)

Начальное условие: N=0.

Стандартная форма записи будет выглядеть в виде:

l(Q(x))=(x), xD

Г(Q(x))=0, xD

при однородных (нулевых) граничных условиях.

Функция Грина такой задачи удовлетворяет системе уравнений:

l(G(x,))=(x-), xD, D

Г(G(x,))=0,

где x - координаты возмущения (входные);

 - координаты отклика (выходные).

Решение задачи в этом случае выглядит следующим образом:

(36)

Данный интеграл - трехмерный интеграл.

Бывают задачи, в которых отсутствуют пространственные координаты, но есть процесс по времени. В этом случае задача записывается следующим образом:

l(Q(t))=f(t), t>t₀

N(Q(t))=Q₀

Стандартная форма записи:

l(Q(t))=(t), tt₀

N(Q(t))=0

Функция Грина:

l(G(t,))=(t-)

N(G(t,))=0

Решение записывается в виде:

(37)

Для целей управления и синтеза систем управления исходя из теории автоматических систем практически всегда необходимо знание передаточной функции.

В теории СРП вводится понятие, так называемой, континуальной передаточной функции (точечной передаточной функции), то есть передаточной функции в предельных областях D, когда возмущение подается на среду в точке x, а реакция регистрируется в точке .

Континуальная передаточная функция выражается следующим образом:

(38)

По сути дела континуальная передаточная функция - это преобразование Лапласа функции Грина, то есть континуальная передаточная функция является производной и определяется по функции Грина, то есть достаточно знать для решения любой задачи по СРП две функции: нормировочную функцию и функцию Грина.

Теория систем с распределенными параметрами включает в себя так называемый структурный метод ТАУ, который подразумевает операции с распределенными блоками:

- блоки соединяются последовательно;

- блоки соединяются параллельно;

- блоки соединяются обратной связью.

В связи с этим вводится понятие операторного изображения выходной величины. В теории распределенных блоков выходная величина:

(39)

где - изображение по Лапласу выходной величины решаемой задачи;

- континуальная передаточная функция (из справочников);

- изображение по Лапласу нормировочной функции

Если из нормировочной функции можно выделить в явном виде компоненту входной координаты:

(40)

то уравнение перепишется в следующем виде:

---

(41)

Последний интеграл с помощью известных способов (коэффициент разложения и коэффициент приближения) по возможности позволяет вынести входное возмущение (по Лапласу) за знак интеграла. В этом случае получим:

(42)

Такое соотношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины, как интеграл по области D от континуальных передаточных функций называется интегральной передаточной функцией среды или формулой Власова.

5.2 Порядок расчета интегральной передаточной функции

По заданному дифференциальному уравнению получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражения для выходной величины, для оценочной передаточной функции для наилучших условий управления. Построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее с погрешностью 5% инерционно-форсированными звеньями и записать выражение передаточной функции через типовые звенья.

---

Смотрите также файлы

• ВВУ1(С.Е.А).doc

• vvu_plak1.doc

• ВВУ2(С.Е.А).doc

• ВВУ1(С.Е.А).doc

• vvu_copy.doc