Файл: Лекция_1.2.Вероятность события.docx

Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

П.1. Классическое определение вероятности события.

Вероятность является количественной мерой возможности появления рассматриваемого события. Вероятность можно определить как функцию, заданную на подмножествах пространства .

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания:

где – число благоприятствующих событиюисходов;

– общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следует, что, поэтому всегда выполняются неравенства, т.е.вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Если , то событиеневозможное.

Если , то событиедостоверное.

Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то.

Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным исходом для событияи наоборот. В силу формулысправедливо равенство.

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие, то говорят, что из событияследует событие(). Например, для любых двух событийисправедливои.

Теорема. Если , то.

Доказательство. Пусть события ивключены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причеми– число благоприятных элементарных исходов соответственно для событийи, а– общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для событияявляется также элементарным исходом для события, тои, следовательно,.

(дополнение множества A до ) – противоположное событие. Это событие, состоящее в том, что A не происходит (логическое отрицание). Следовательно:

–достоверное событие;
–невозможное событие.

Теорема. Вероятность события , противоположного событиюравна дополнению вероятности данного событиядо 1, т.е..

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых(), благоприятны событию. Тогдаисходов неблагоприятны событию, т.е. благоприятствуют событию. Таким образом:

Классическое определение вероятности предполагает, что:

_{число элементарных
исходов конечно;}
_{эти исходы
равновозможны.}

Однако, на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.

П.2. Статистическое определение вероятности события.

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.

Во многих случаях более удобным оказывается статистическое определение вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.Относительная частота (частость) появления события – это отношение числапоявлений событияв серии изопытов к числу испытаний.

Относительная частота вычисляется по формуле:

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из испытаний, когда числосравнительно мало, относительная частотапринимает значения, которые могут сильно отличаться друг от друга. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. с увеличением числа испытаний в сериях относительная частотаколеблется около некоторого постоянного числа, причем эти отклонения тем меньше, чем дольше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания (выбросы).

Вероятностью события в статистическом смысле называется число , относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частотапри неограниченном увеличении числа опытов.

Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний. Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Поэтому, в практических задачах за вероятность события принимается относительная частотапри достаточно большом числе испытаний.

Легко убедиться, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, в соответствии со сказанным следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Естественно, наступает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было считать невозможным наступление некоторого события в единичном испытании? Ответ на него не однозначен и зависит от тех потерь, которые будут иметь место, если это событие все-таки произойдет. Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают.

П.3. Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Приведем формальное определение вероятностей для испытаний с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть областью , а под событиемможно понимать исходы, входящие в область.