ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.06.2021
Просмотров: 82
Скачиваний: 3
1. Пределы.
1.1. Определение. Пусть функция у = (х) определена в окрестности точки х0. Число А называется пределом функции у = (х) в точке х0, если для любого >0 (сколь угодно малого), найдется >0( =()) такое, что для всех хх0 удовлетворяющих неравенству х-х0 выполняется неравенство (х) - А.
Если число А является пределом функции у = (х) при х стремящемуся к х0, то пишут: .
1.2. Основные свойства пределов.
Покажем наиболее важные для практики пределы:
1. Если функция у = (х) определена в точке х=х0, то ;
2.Функция (х) называется бесконечно малой при хх0, если ;
3.Функция (х) называется бесконечно большой при хх0, если
4.Если (х) бесконечно малая величина, т с/(х) бесконечно большая величина, если (х) бесконечно большая величина, то с/ (х) бесконечно малая величина (с – любое действительное число);
5. - первый замечательный предел;
6. - второй замечательный предел.
При нахождении предела функции могут получаться неопределенности вида( ), , ( ), (0 ) ,( ).Чтобы устранить неопределённость 1-ого вида разделите числитель и знаменатель дроби на степень с наивысшим показателем, найти полученный предел.
№ |
Алгоритмы |
Выполнение соответствующего алгоритма |
1 |
Подставить предельное значение n в выражение |
|
2 |
Определить вид неопределённости |
|
3 |
Находим степень с наивысшим показателем |
Х3 |
4 |
Делим числитель и знаменатель дроби на n3 |
|
Чтобы устранить неопределённость 2-ого вида надо умножить и разделить разность на сопряжённое выражение, выполнить преобразования и найти предел.
№ |
Алгоритмы |
Выполнение соответствующего алгоритма |
1 |
Подставить предельное значение n в выражение |
|
2 |
Определить вид неопределённости |
|
3 |
Умножаем и делим на сопряжённое выражение |
|
4 |
Найти предел полученного выражения |
|
Чтобы устранить неопределённость 3-его вида можно разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.
Найти предел:
№ |
Алгоритмы |
Выполнение соответствующего алгоритма |
1 |
Подставить предельное значение х в выражение |
= |
2 |
Определить вид неопределённости |
|
3 |
Разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители |
= =
|
4 |
Сократить дробь |
= |
5 |
Подставить предельное значение х в сокращенную дробь |
|
№ |
Алгоритмы |
Выполнение соответствующего алгоритма |
1 |
Подставить предельное значение х в выражение |
= =
|
2 |
Определить вид неопределённости |
|
3 |
Умножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженные выражения |
= |
4 |
Выполнить преобразования |
|
5 |
Подставить предельное значение х в сокращенную дробь |
|
Применение первого замечательного предела:
1-ый замечательный предел:
Найти пределы:1) ; 2) ; 3) ;
4)
Решение: 1) Сделаем замену y=ax; тогда y0 при х0 и =
2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х и воспользуемся предыдущим пределом:
= .
2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференциал функции двух переменных.
2.1. Производная функции и ее геометрический смысл.
Рассмотрим функцию у = (х) непрерывную в точке х0. Дадим х приращение х, тогда у получит приращение у.
Предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х в точке х при стремлении х к нулю, называется производной функции у = (х) в этой точке, если этот предел существует.
.
Если указанный предел существует, то функцию у = (х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной – дифференцированием.
Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции у = (х) в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М(х0;у0) к графику функции у = (х): , то есть угловому коэффициенту касательной.
Уравнение касательной к графику функции у = (х) в точке М(х0;у0) имеет вид .
Уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) к графику функции у = (х) в точке М(х0;у0) имеет вид .
2.2.Правила дифференцирования. Дифференциал функции.
Пусть с – const, u=u(x), v=v(x) некоторые дифференцируемые функции. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования:
5. Если у=((х)) – сложная функция, тогда её производная равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции, то есть .
2.3. Таблица производных основных элементарных функций:
(С)=0
(х)=1
(u)=u-1u
(au)= au lna u , (eu)= eu u
(loga u)= ,
(sin u)=cosu ·u
(cos u)=-sinu ·u
(tgu)= ; (ctgu)=
(arcsinu)= ; (arccosu)=
(arctgu)= ; (arcctgu)=
Примеры:
1. Найти производные заданных функций
а)
Воспользуемся правилами и формулами нахождения производной:
- производная частного 2-х функций
- производная сложной функции
-формулами
б)
Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:
- производная сложной функции
- производная суммы 2-х функций
- производная произведения 2-х функций
- формулами
в)
Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:
- производная сложной функции
-производная суммы 2-х функций
- производная произведения 2-х функций
- формулами ; ; ;
;
г)
Имеем показательно- степенную функцию. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е.Затем найдём производную от обеих частей равенства.
д)
Функция задана в неявном виде. Для нахождения производной функции нужно продифференцировать обе части уравнения F(x,y)=0 по х, считая, что
у есть функция от х. При дифференцировании воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:
- производная сложной функции
-производная суммы 2-х функций
- производная произведения 2-х функций
- формулой
2. Найти приближенное значение функции:
Вычислить приближенное значение 1,035
Для нахождения приближенного значения 1,035 воспользуемся формулой
Рассмотрим функцию f(x)=x5 , x=1 , Dx=0.03.
f(1)=15=1
1,035»1+5*0.03=1.15
2.4. Дифференциал функции двух переменных:
Найти полный дифференциал функции Z=3ln(2x+)
Дифференциалом функции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение независимых переменных т.е.
Найдём
;
Получим
2.5. Исследование функции и построение графиков.
Провести полное исследование функции и построить её график.
-
Находим область определения функции Þ
D(f)=(-¥;-2)È(-2;2)È(2;+¥)
2)Исследуем функцию на четность, нечетность:
Þ функция нечетная, график её симметричен относительно начала координат.
3)Исследуем функцию на непрерывность, рассмотрим поведение функции в т. х=2 и х=-2. Найдем предел функции в них:
Þ
х=2 и х=-2 точки разрыва второго рода.
4) Найдем асимптоты графика функции:
-прямые х=2 и х=-2 вертикальные асимптоты;
-выясним наличие наклонных асимптот
Þ у=-х наклонная асимптота
-горизонтальных асимптот график не имеет.
5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:
5.1 Найдем производную функции
5.2 Найдем критические точки функции
5.3Отметим критические точки на числовой прямой с учетом области определения и найдём знак производной на каждом из полученных промежутков
5.4 Найдем промежутки возрастания и убывания, определим точки экстремума
хÎ(-¥;-2Ö3]È[2Ö3;+¥) функция убывает
хÎ[-2Ö3;-2)È(-2;2)È(2;+¥) функция возрастает
х=-2Ö3-точка минимума f(-2Ö3 )=3Ö3
x=2Ö3- точка максимума f(2Ö3 )=-3Ö3
6)Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:
6.1 Найдем вторую производную функции
6.2 Найдем точки в которых вторая производная функции равна 0 и
найдём знак 2-ой производной на каждом из полученных промежутков
6.3 хÎ(-¥;2)È[0;2) график функции выпуклый вниз
хÎ(-2;0]È(2;+¥) график функции выпуклый вверх
х=0- точка перегиба
7) Построим график функции
3. Интегральное исчисление.
3.1 Неопределенный интеграл.
Пусть на некотором множестве Х определена функция (х).
Функция F(x) называется первообразной для функции (х) на множестве Х, если на этом множестве выполняется условие F(х)= (х).
Если функция F(x) является первообразной для функции (х),то и функция
F(x) + С также является первообразной для функции (х).
Множество F(x) + С всех первообразных для функции (х) называется неопределенным интегралом для функции (х) и обозначается (х)dx.
(х) – подынтегральная функция;
(х)dx – подынтегральное выражение.
По определению
Свойства неопределенного интеграла:
Табличные интегралы:
Метод непосредственного интегрирования.
Пример.
При нахождении интеграла проинтегрировали каждое слагаемое, вынеся постоянный множитель за знак интеграла, и воспользовались табличным интегралом
При вычислении данного интеграла были использованы табличные интегралы и свойства неопределенного интеграла. Однако при вычислении интеграла можно воспользоваться следующими методами интегрирования:
Метод подстановки.
Пусть требуется вычислить интеграл ,где выражение , стоящее под интегралом является непрерывной функцией. Обозначим и интеграл преобразуется к виду . Вычислив этот интеграл, а затем, вернувшись к переменной х, мы получим значение исходного интеграла. Таким образом, справедливо равенство: , где после интегрирования правой части в полученное выражение, вместо и нужно подставить g(x).
Пример:
Подынтегральное выражение содержит сложную функцию , поэтому можно сделать подстановку Таким образом,
Метод интегрирования по частям.
Пусть и(х) и (х) две дифференцируемые в некоторой области функции. Тогда справедлива следующая формула: , которая называется формулой интегрирования по частям, и которая позволяет вычислить один из двух симметричных по форме интегралов, через другой.
Пример:
Для нахождения интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям
В данном интеграле обозначим , тогда
Получим:
3.2.Определенный интеграл.
Пусть на отрезке а;b задана функция у=(х). Разобьем отрезок а;b произвольным образом на п произвольных частей х0 =а, х1, х2…хп= b. Обозначим х - х=х (=1,2 …п). Произвольным образом возьмем точки сх, Вычислим функцию ( с) и составим сумму .
Если функция у=(х) непрерывна на отрезке а;b, то существует предел данной суммы при х 0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка а;b на части х ,ни от выбора точек с внутри хi. Этот предел называется определенным интегралом для функции (х) и обозначается . Таким образом, .
Вычисляются определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница:
.
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он определяет (при(х) 0 ) площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=(х), отрезком а;b оси ОХ и двумя прямыми х=а и х= b. .
Если некоторая область в плоскости ХОУ ограничена двумя кривыми у=1(х) и у=2(х), причем для всех ха;b выполняется условие 2(х)1(х) и двумя прямыми х=а и х= b, то её площадь находится по формуле: .
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у=х2-5х+3, у= - х + 3.
1. Построим схематический рисунок:
Графиком первого уравнения является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины параболы х0= - b/2 а = 5/2=2,5,
у0=(2,5)2 - 52,5+3 = - 3,25. Вершины параболы имеет координаты (2,5; - 3,25). Графиком второго уравнения является прямая, проходящая через точки с координатами (0; 3) и (3;0).
2. Найдем точки пересечения параболы и прямой: х2-5х+3=- х + 3
х2 – 4х =0 х1=0 и х2=4.
3. Найдем площадь полученной фигуры: