Файл: 1. модели и моделировани моделирование как метод научного познания.pdf

14 функции и служащих для поиска наилучших (оптимальных) решений кон- кретной экономической задачи. Эти модели относятся к классу экстремаль- ных задач и описывают условия функционирования экономической системы.
Классификация экономико-математических моделей может быть раз- личной и условной. Это зависит от того, на базе каких признаков строится модель.
По функциональному признаку модели подразделены на модели плани- рования, модели бухгалтерского учета, модели экономического анализа, мо- дели информационных процессов.
По признаку размерности модели классифицируются на макромодели, локальные модели и микромодели.
Макроэкономические модели строятся для изучения народного хо- зяйства в целом на базе укрупненных показателей.
К локальным экономическим моделям можно отнести модели, с помо- щью которых анализируются и прогнозируются некоторые показатели раз- вития отрасли. Например, модель прогноза производительности труда.
Микромодели на предприятиях разрабатываются для углубленного анализа структуры производства. При построении микромоделей широко используются методы математической статистики - корреляционный и ре- грессионный, индексный и выборочный.
Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стоха- стический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных данных. В стохастических вероятностных моделях определенный набор входных данных может дать, а может и не дать соответствующего результата.
Для понимания структуры курса учебной дисциплины важное значение имеет схема, представленная на рис. 1.3. В правой части рисунка показаны основные классы экономико-математических методов (классификация по ис- пользуемому математическому аппарату), а в левой части - важнейшие направления применения методов.
Следует заметить, что каждый из методов может быть применен для ре- шения различных по специфике задач. И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами.
На схеме экономико-математические методы представлены в виде неко- торых укрупненных группировок.
1. Линейное программирование - линейное преобразование переменных в системах линейных уравнений. Сюда можно отнести: симплекс-метод, рас- пределительный метод, статический матричный метод решения материаль- ных балансов.
2. Дискретное программирование представлено двумя классами мето- дов: локализационными и комбинаторными. К локализационным относятся

15 методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным относят метод ветвей и границ.
Рис. 1.3. Важнейшие области применения основных классов ЭММ
3. Математическая статистика используется для корреляционного, ре- грессионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явле- ний. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явле- ниями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величи- ны от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зави- симости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.
4. Динамическое программирование используется для планирования и анализа экономических процессов во времени. Динамическое программиро- вание представляется в виде многошагового вычислительного процесса с по- следовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят сюда же имитационное моделирование.
5. Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для определения стратегии поведения конфликтующих сторон.

16 6. Теория массового обслуживания - большой класс методов, где на ос- нове теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, харак- теризуемых как системы массового обслуживания.
7. Теория управления запасами объединяет в себе методы решения за- дач, в общей формулировке сводящихся к определению рационального раз- мера запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.
8. Стохастическое программирование. Здесь исследуемые параметры яв- ляются случайными величинами.
9. Нелинейное программирование относится к наименее изученному,
применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому направлению.
10. Теория графов - направление математики, где на основе определен- ной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.).
До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики.
1.4. Классификация задач
математического программирования
Все модели могут быть классифицированы в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов [1,3].
Прежде всего необходимо выделить большой класс оптимизационных моделей. Такие модели нужны при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономическими систе- мами. Оптимизационную задачу можно сформулировать следующим обра- зом: найти значения переменных x
1
,x
2
,…,x
n
,
которые при заданных условиях
a
1
,a
2
,…,a
m
, удовлетворяют системе неравенств (уравнений)
(
)
(1.1) и обращают в экстремум (минимум или максимум) целевую функцию, т.е. критерий эффективности:
( ) (
)
(1.2)
Если имеются условия неотрицательности значений переменных
x
1
,
x
2
,..., x
n
, то они так же входят в ограничение (1.1). В тех случаях, когда функ- ции f и g
i
дважды дифференцируемы, для поиска условного экстремума

17
(максимума или минимума) функции f можно использовать классические ме-
тоды оптимизации. Однако их применение в исследовании операций весьма ограничено или вообще невозможно, если множество допустимых значений аргументов дискретно или же функция f представлена в табличном виде. В этих случаях для решения задачи, представленной отношениями (1.1) и (1.2), используются методы математического программирования.
В основе классификации задач математического программирования ле- жит вид функций, задающих критерий эффективности и ограничения, зави- симость их от такого параметра, как время, стохастический характер поведе- ния и т.п.
Если критерий эффективности F(X) представляет собой линейную функцию, а функции g
i
(x) в системе ограничений также линейны, то такая за- дача является задачей линейного программирования(ЗЛП).
Если, исходя из содержательного смысла ЗЛП, её решения должны быть целыми числами, то это - задача целочисленного программирования.
Если критерий эффективности F(X) и (или) система ограничений g
i
(x) задаются нелинейными функциями, то это – задача нелинейного программи-
рования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпук- лости, то это задача выпуклого программирования. В свою очередь среди за- дач выпуклого программирования выделяют наиболее простые задачи квад-
ратичного программирования, в которых целевая функция представляет со- бой полином второй степени (квадратичную форму) относительно перемен- ных x
1
, x
2
,..., x
n
, а область допустимых значений решений задается линейны- ми ограничениями.
Если в задаче имеется переменная времени и критерий эффективности
F(X) выражается не в явном виде, как функция переменных, а косвенно – че- рез уравнения, описывающие протекание операций во времени, то это задача
динамического программирования.
Если критерий эффективности F(X) и система ограничений g
i
(x) задают- ся функциями вида то имеет место задача геометрическо-
го программирования.
Если функции F(X) и / или g
i
(x) зависят от параметров, то получается задача параметрического программирования.
Если эти функции носят случайный, точнее вероятностный, характер, то это - задача стохастического программирования.
Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа вариантов решений, прибегают к методам эври-
стического программирования, которые позволяют существенно сократить просматриваемое число вариантов и получить, если не оптимальное, то вполне удовлетворительное с точки зрения практики, решение.

18
1.5. Принципы построения
экономико-математических моделей
В основе построения ЭММ и процесса моделирования принято считать важными следующие принципы.
1. Принцип достаточности исходной информации. В каждой модели должна использоваться только та информация, которая известна с точностью, требуемой для получения результатов моделирования.
2. Принцип инвариантности (однозначности) информации требует, что- бы входная информация, используемая в модели, была независима от тех па- раметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии исследования.
3. Принцип преемственности. Сводится к тому, что каждая последую- щая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отра- женных в предыдущих моделях.
4. Принцип эффективной реализуемости. Необходимо, чтобы модель могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.
Некоторые исследователи при построении ЭММ и моделировании ис- пользуют следующие правила:
● необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тex исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во- вторых, с теми результатами, которые требуется получить;
● ЭММ должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать;
● ЭММ не может быть полностью адекватна реальному явлению, по- этому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для по- строения которых применены разные математические методы, если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается, если ре- зультаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи;
● любая сложная экономическая система всегда подвергается внешним и внутренним воздействиям, следовательно, экономико-математическая модель должна быть устойчивой (сохранять свойства и структуру при этих воздействи- ях).
1.6. Этапы экономико-математического
моделирования
Основные этапы процесса моделирования были рассмотрены выше (см. рис. 1.2). В различных отраслях знаний они приобретают свои специфиче-

19 ские черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одно- го цикла экономико-математического моделирования (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Этапы экономико-математического моделирования
Первый этап. Постановка проблемы (задачи) и её качественный анализ.
Главное на этом этапе - чётко сформулировать сущность проблемы, опреде- лить принимаемые допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ.
Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта, основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь же про- исходит формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих по- ведение объекта.
Второй этап. Построение математической модели. Это этап формали- зации задачи, т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и от- ношений (функций, уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали.
Неправильно полагать, что, чем больше факторов учитывает модель, тем лучше она работает и дает лучшие результаты. Излишняя сложность модели затрудняет процесс исследования. При этом нужно учитывать не только ре- альные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при воз- растании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эф- фекта).
Третий этап. Математический анализ модели. Цель - выявление общих свойств и характеристик модели. Применяются чисто математические приё- мы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удастся доказать, что задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по данному вариан- ту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

20
Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда не удается выяснить общие свойства модели аналитическими методами, а упрощение модели приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным ме- тодам исследования.
Четвертый этап. Подготовка исходной информации. Численное моде- лирование предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время реальные возможности получения информации существенно ограни- чивают выбор используемых моделей. При этом принимается во внимание не только возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти за- траты не должны превышать эффекта от использования данной информации.
Пятый этап. Численное решение. Это составление алгоритмов, разра- ботка программ и непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.
Шестой заключительный этап. Анализ результатов и их применение: проверяются правильность, полнота и степень практической применимости полученных результатов.
Естественно, что после каждого из этапов возможен возврат к одному из предыдущих в случае необходимости уточнения информации, пересмотра результатов выполнения отдельных этапов. Например, если на этапе 2 фор- мализовать задачу не удается, то необходимо вернуться к постановке про- блемы (этап 1). Соответствующие связи на рис. 1.4 не показаны, чтобы не за- громождать схему.