Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4165
Скачиваний: 4
26
1
0
0
0
0
0
0
0
12
12
12
12
12
...
...
...
...
...
...
...
...
C
.
Аналогично для исключения
1
x из третьего уравнения вычисляем
числа
2
31
2
)
1
(
11
)
1
(
11
13
)
(
)
(
a
a
a
и
2
31
2
)
1
(
11
31
13
)
(
)
(
a
a
a
,
такие, что
0
1
1
11
13
31
13
2
13
2
13
)
(
a
a
,
.
Затем
первое уравнение системы (2.6) заменяем линейной
комбинацией первого и третьего уравнений с коэффициентами
13
,
13
, а
третье уравнение системы (2.6) тоже заменяем линейной комбинацией с
13
,–
13
. Это преобразование эквивалентно умножению слева на матрицу
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
13
13
13
13
13
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C
.
Исключая неизвестное х
1
из всех последующих уравнений получим систему
А
(1)
х=В,
где матрица A
(1)
=C
1m
…C
13
C
12
A, , а вектор правых частей
B
C
C
...
C
B
m
)
(
12
13
1
1
.
Здесь и далее через С
kj
обозначена матрица элементарного
преобразования, отличающаяся от единичной матрицы Е только четырьмя
элементами. Действие матрицы С
kj
на вектор x эквивалентно повороту
вектора x вокруг оси перпендикулярной плоскости
k
OX
i
X
на угол
k j
такой,
что
ki
ki
cos
,
ki
ki
sin
.
Операцию умножения на матрицу С
kj
называют плоским вращением
или преобразованием Гивенса.
Первый этап состоит из m-1 шагов, в результате чего получается
система
27
.
b
x
a
...
x
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
x
a
...
x
a
b
x
a
...
x
a
x
a
)
(
m
m
)
(
mm
)
(
m
)
(
m
)
(
m
)
(
)
m
(
m
)
m
(
m
)
m
(
)
m
(
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
22
1
1
1
1
2
1
12
1
1
11
(2.7)
В матричной форме А
(1)
х=В
(1)
.
На втором этапе, состоящем из m-2 шагов, из уравнений системы (2.7) с
номерами 3,4,…,m исключают неизвестное х
2
. B результате получим систему
.
b
x
a
...
x
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
x
a
...
x
a
b
x
a
...
x
a
x
a
b
x
a
...
x
a
x
a
x
a
)
(
m
m
)
(
mm
)
(
m
)
(
m
m
)
(
m
)
(
)
m
(
m
)
m
(
m
)
m
(
)
m
(
)
m
(
m
)
m
(
m
)
m
(
)
m
(
)
m
(
2
2
3
2
3
2
2
3
3
2
33
1
2
1
2
3
1
23
2
1
22
1
1
1
1
3
1
13
2
1
12
1
1
11
В матричной форме получаем
)
(
)
(
B
x
A
2
2
, где
)
(
m
)
(
A
C
...
C
A
1
23
2
2
,
)
(
m
)
(
B
C
...
C
B
1
23
2
2
.
После завершения (m-1)-го шага придем к системе с верхней
треугольной матрицей вида
)
m
(
)
m
(
B
x
A
1
1
,
где
)
m
(
m
,
m
)
m
(
B
C
B
2
1
1
.
Обратный ход метода вращения проводится точно также, как и для
метода Гаусса.
28
3 Решение нелинейных уравнений
Рассмотрим систему нелинейных уравнений с m неизвестными вида
Задача решения такой системы является более сложной, чем
нахождение корней одного нелинейного уравнения, и чем задача решения
линейных алгебраических уравнений. В отличие от систем линейных
уравнений здесь использование прямых методов исключено и решение
находится с использованием итерационных методов, т.е. находится
приближенное решение
x
*
= (x
1
*
, ... , x
m
*
),
удовлетворяющее при заданном > 0 условию
х
х
.
Задача (3.1) совсем может не иметь решения или же число решений
может быть произвольным. Введем векторную запись решения задачи:
Будем считать, что функции f
i
непрерывно дифференцируемы в
некоторой окрестности точки х. Введем матрицу Якоби
m
m
m
m
m
m
x
f
...
x
f
x
f
.
.
.
.
x
f
...
x
f
x
f
x
f
...
x
f
x
f
)
x
(
f
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
.
Как и в случае решения одного уравнения начинаем с этапа
локализации решения (отделения корней).
Пример. Дана система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными
0
0
0
1
1
2
1
1
)
x
,...,
x
(
f
.
.
.
.
.
)
x
,...,
x
(
f
)
x
,...,
x
(
f
m
m
m
m
.
(3.1)
x=(x
1
,…,x
m
)
T
,
f=(f
1
,…,f
m
)
T
,
f(x)=0.
(3.2)
29
1
2
2
1
2
1
3
2
3
1
ln
ln
8
x
x
x
х
х
х
х
х
.
Найдем на плоскости место расположения решения.
Строим графики уравнений этой системы: а) - график 1-го уравнения,
б) – график 2-го уравнения, с) – совмещенные графики.
х
2
а)
х
2
б)
4
е
4 х
1
е х
1
х
2
с)
А В
4
С
4 х
1
Рисунок 3 – Графики уравнений системы
Определяем границы координат пересечения графиков. Данная система
имеет три решения. Координаты точек (B,C,A):
B: x
1
=4, x
2
=4
C: 3.5 < x
1
< 4; 1.5 < x
2
< 2.5.
Точки А и С симметричны относительно прямой х
1
=х
2
. Координаты
точки С определим приближенно: x
1
3.8, x
2
2.
Обусловленность и корректность решения системы (3.1).
Предположим что система (3.1) имеет решение х и в некоторой окрестности
этого решения матрица Якоби не вырождена. Это означает, что в указанной
окрестности нет других решений системы.
В одномерном случае нахождение корня нелинейного уравнения
приводит к определению интервала неопределенности (х
*
- , х
*
+ ).
30
у
х
а в
х
х*-б х*+б
Рисунок 4 – Графическое изображение интервала неопределенности
В этом случае мы не можем определить, какая же точка в интервале
неопределённости является решением.
Если случай многомерный, то получаем некоторую область
неопределённости D, и можем получить оценку радиуса этой области:
).
f
(
*)
r
(
f
x
f
)
f
(
))
x
(
f
(
1
Эта норма играет роль числа обусловленности. Чем оно больше, тем
хуже эта система обусловлена.
3.1 Метод простых итераций
Систему (3.1) преобразуем к следующему эквивалентному виду:
Или в векторной форме
Пусть задано начальное приближение
T
)
)
(
m
,...,х
)
(
(х
)
(
х
0
0
1
0
.
Подставляем его в правую часть системы (3.4) и получаем x
(1)
= (x
(0)
),
)
x
,...,
x
(
x
.
.
.
.
.
.
)
x
,...,
x
(
x
)
x
,...,
x
(
x
m
m
m
m
m
1
1
2
2
1
1
1
.
(3.3)
).
x
(
x
(3.4)