Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4130
Скачиваний: 4
81
каждое уравнение системы содержит три соседних неизвестных. Для
решения таких систем разработан специальный метод – «метод прогонки».
Для этого систему (6.52) перепишем в виде
h
f
y
n
y
m
y
i
i
i
i
i
i
2
1
1
~
для внутренних точек (i=1,…,n-1),
(6.54
)
где:
2
1
2
2
h
p
h
q
m
i
i
i
;
2
1
2
1
h
p
h
p
n
i
i
i
;
2
1
~
h
p
f
f
i
i
i
.
На концах отрезка x
0
=a и x
n
=b производные заменяем разностными
отношениями
h
y
y
y
0
1
0
и
h
y
y
y
n
n
n
1
.
Учитывая эту замену получим еще два уравнения
.
;
1
1
0
0
1
1
0
0
B
h
y
y
y
A
h
y
y
y
n
n
n
(6.55
)
Обратим внимание на внешний вид записи системы (6.54), (6.55). В
каждом уравнении системы присутствует три ненулевых элемента. В первом
и последнем - по два ненулевых коэффициента.
Разрешая уравнение (6.54) относительно
i
y , получим
1
1
2
1
~
i
i
i
i
i
i
i
i
y
m
n
y
m
h
m
f
y
.
(6.56
)
Предположим, что с помощью полной системы (6.54), (6.55) из
уравнения (6.56) исключена неизвестная
1
i
y
. Тогда это уравнение примет
вид
)
(
1
i
i
i
i
y
d
c
y
,
(6.57
)
где:
i
i
d
c ,
- некоторые коэффициенты; i=1,2,…,n-1. Отсюда
82
)
(
1
1
1
i
i
i
i
y
d
c
y
.
Подставляя это выражение в уравнение (6.54), получим
2
1
1
1
~
)
(
h
f
y
d
c
n
y
m
y
i
i
i
i
i
i
i
i
,
а отсюда
1
1
1
1
2
)
~
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
c
n
m
y
d
c
n
h
f
y
.
(6.58
)
Сравнивая (6.57) и (6.58), получим для определения
i
с и
i
d
рекуррентные формулы
;
1
1
i
i
i
i
c
n
m
c
1
1
2
~
i
i
i
i
i
d
c
n
h
f
d
; i=1,…,n-1.
(6.59
)
Из первого краевого условия (6.55) и из формулы (6.57) при i=0
находим
1
0
1
0
h
c
;
1
0
Ah
d
.
(6.60
)
На основании формул (6.59), (6.60) последовательно определяются
коэффициенты
i
с ,
i
d (i=1,…,n-1) до
1
n
с
и
1
n
d
включительно (прямой ход).
Обратный ход начинается с определения
n
y . Для этого из второго
краевого условия (6.55) и из формулы (6.51) при i=n-1 найдем
)
1
(
1
1
0
1
1
1
0
n
n
n
n
c
h
d
c
h
y
.
(6.61
)
Далее по формуле (6.57) последовательно находим
0
2
1
,...,
,
y
y
y
n
n
.
Заметим, что метод прогонки обладает устойчивым вычислительным
алгоритмом.
83
7 Приближенное решение дифференциальных уравнений в
частных производных
В реальных физических процессах искомая функция зависит от
нескольких переменных, а это приводит к уравнениям в частных
производных от искомой функции. Как и в случае обыкновенных
дифференциальных уравнений(ОДУ), в этом случае для выбора одного
конкретного
решения,
удовлетворяющего
уравнению
в
частных
производных, необходимо задавать дополнительные условия (т.е. краевые
условия ). Чаще всего такие задачи на практике не имеют аналитического
решения и приходится использовать численные методы их решения, в том
числе метод сеток, метод конечных разностей и так далее. Мы будем
рассматривать класс линейных уравнений в частных производных. В общем
виде эти уравнения записываются в виде
x
u
a(x,y)
y
u
C(x,y)
y
x
u
B(x,y)
x
u
A(x,y)
2
2
2
2
2
F(x,y)
c(x,y)u
y
u
b(x,y)
,
(7.1)
где: A, B, C, a, b, c-заданные непрерывные функции двух переменных,
имеющие непрерывные частные производные, u-искомая функция. Для
сокращения записи введем обозначения
x
u
u
xx
2
;
y
x
u
u
xy
2
;
y
u
u
yy
2
2
;
x
u
u
x
;
y
u
u
y
.
Будем рассматривать упрощенную форму записи (7.1) вида
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
F
u
y
x
c
u
y
x
b
u
y
x
a
u
y
x
C
u
y
x
B
u
y
x
A
y
x
yy
xy
xx
(7.2)
и рассмотрим частный случай (7.2), когда a=b=c=F 0, т.е.
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
yy
xy
xx
u
y
x
C
u
y
x
B
u
y
x
A
.
(7.3)
Путем преобразований уравнение (7.3) может быть приведено к
каноническому виду (к одному из трех стандартных канонических форм)
эллиптическому типу, гиперболическому типу, параболическому типу.
Причем тип уравнения будет определяться коэффициентами А, В, С, а
именно – знаком дискриминанта
84
D=B
2
-4 A C.
Если D <0, то имеем уравнение эллиптического типа в точке с
координатами x, y; если D=0, то (7.3)-параболического типа; если D>0, то
(7.3)-гиперболического типа; если D не сохраняет постоянного знака, то
(7.3)-смешанного типа.
Замечание. Если А, В, С - константы, тогда каноническое уравнение
(7.3)
называется
полностью
эллиптического,
параболического,
гиперболического типа.
Введем понятие оператора Лапласа для сокращенной записи
канонических уравнений вида
y
u
x
u
u
2
2
2
.
Используя это определение, запишем сокращенные канонические
уравнения всех трех типов
1.
u=0. Это уравнение эллиптического типа, так называемое
уравнение Лапласа. В механике это уравнение описывает стационарные
тепловые поля, установившееся течение жидкости и т.д.
2. u=-f , где f-заданная непрерывная функция. Это уравнение
Пуассона имеет эллиптический тип и описывает процесс теплопередачи с
внутренним источником тепла.
3.
t
u
u
a
2
, где a-константа. Не во всех уравнениях в качестве
переменных будут выступать стандартные переменные x, y. Может быть
также переменная времени. Это уравнение диффузии описывает процесс
теплопроводности и является уравнением параболического типа.
4.
u
a
t
u
2
2
2
, а-константа. Это уравнение гиперболического типа
- так называемое волновое уравнение и оно описывает процесс
распространения волн.
7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения
параболического типа (уравнения теплопроводности)
Смешанная задача означает, что следует найти искомую функцию,
удовлетворяющую заданному уравнению в частных производных, краевым, а
так же начальным условиям.
Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения
теплопроводности
85
2
2
x
u
k
t
u
, k=const>0.
(7.4)
Задано начальное условие
)
(
)
0
,
(
x
f
x
u
(7.5)
и заданы краевые условия первого рода
).
(
)
,
(
);
(
)
,
0
(
2
1
x
t
a
u
x
t
u
(7.6)
Требуется найти функцию u(x,t), удовлетворяющую в области
D(0<x a, 0<t T) условиям (7.5) и (7.6). Физически это можно представить
как стержень, на концах которого поддерживается требуемый температурный
режим, заданный условиями (7.6).
При проведении замены
k
t
t
получим
2
2
x
u
t
u
, т.е.
k=1. Задача решается методом
сеток: строим в области D
равномерную сетку с шагом h по
оси x и шагом по t (см. рисунок
10).
Приближенное значение
искомой функции в точке
)
,
(
i
i
y
x
-
)
,
(
i
i
y
x
u
обозначим
через
ij
u . Тогда
h
i
x
i
;
h
a
h
; i=0,1,...,n;
j
t
j
;
j=0,1,...,m;
m
T
.
Заменим производные разностными отношениями
)
(
1
,
,
O
u
u
t
u
j
i
j
i
;
)
(
2
2
,
1
,
,
1
2
2
O
h
u
u
u
x
u
j
i
j
i
j
i
.
В результате получим неявную двухслойную схему с погрешностью
O( +h
2
)
Рисунок 10 – Неявная схема