Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf

610

611

— метод случайного поиска;
— метод параллельных касательных.
Методами условной оптимизации функции нескольких 

переменных являются:

•метод неопределенных множителей Лагранжа;

• метод штрафных функций. Этот метод осуществляет 

переход от задачи условной оптимизации к задаче безусловной 
оптимизации, когда к целевой функции добавляется в виде до-
полнительного слагаемого функция штрафа за невыполнение 
связей и ограничений.

Задачи линейного программирования, которые наиболее 

часто встречаются в экономике, решаются с использованием 
симплекс-метода. (Не путать с симплексным методом, методом 
деформированного многогранника, методом многомерных не-
линейных задач безусловной оптимизации).

При решении вариационных задач может использоваться 

принцип максимума Понтрягина.

При решении оптимизационных задач управления многоста-

дийными процессами (задачи дискретного программирования) 
(например, задача сетевого планирования, задача коммивояже-
ра) используются методы динамического программирования на 
основе принципа Беллмана.

Метод решения задачи выбирается в зависимости от клас-

сификации поставленной оптимизационной задачи. Решение 
задачи может сочетать в себе разные методы.

Основные методы оптимизации и их основные особенности 

и возможности приведены в табл. 3.34. 

 Таблица 3.34

Метод

оптимизации

Характер целевой

функции

Учет

ограничений

1. Метод градиентов

Непрерывная

Нелинейная

 - 

2. Метод Гаусса-Зейделя

Непрерывная

Нелинейная

 - 

3. Метод поиска по случайной 
траектории

Любой

>,=,<

Метод

оптимизации

Характер целевой

функции

Учет

ограничений

4. Метод штрафных функций

Нелинейная, в том числе 

и разрыв

>,=,<

5. Метод золотого сечения

Нелинейная

6. Симплекс-метод

Линейная

>,=,<

7. Метод скользящего до-
пуска 

Любой

>,=,<

15.2. Постановка задачи и общий порядок разработки 

оптимизационной модели экономической системы

Оптимизационные модели используются для выработки 

оптимальных вариантов построения систем (синтез систем).

Задача формулируется следующим образом:
Известна совокупность условий сил и средств.
Известна совокупность параметров, характеризующих 

вариант деятельности.

Определить  вариант деятельности, при котором силы и 

средства используются с максимальной отдачей.

Порядок разработки:
1. Руководствуясь общими правилами, разрабатывается 

оценочная модель (базовая часть оптимизационной модели эко-
номического процесса).

2. Выполняется отладка и прогонка модели для всей сово-

купности условий и вариантов применения сил.

3. По результатам расчетов в ходе прогонки строятся гра-

фики, с помощью которых определяются:

а) область осуществления оптимальных значений параме-

тров, характеризующих вариант экономического процесса;

б) наличие и количество начальных и глобальных оптимумов 

различных критериев эффективности;

в) характер изменения критериев во всем диапазоне пара-

метров варианта деятельности;

г) ограничения на параметры, характеризующие вариант 

применения сил и частные критерии.

Окончание табл. 3.34

610

611

— метод случайного поиска;
— метод параллельных касательных.
Методами условной оптимизации функции нескольких 

переменных являются:

•метод неопределенных множителей Лагранжа;

• метод штрафных функций. Этот метод осуществляет 

переход от задачи условной оптимизации к задаче безусловной 
оптимизации, когда к целевой функции добавляется в виде до-
полнительного слагаемого функция штрафа за невыполнение 
связей и ограничений.

Задачи линейного программирования, которые наиболее 

часто встречаются в экономике, решаются с использованием 
симплекс-метода. (Не путать с симплексным методом, методом 
деформированного многогранника, методом многомерных не-
линейных задач безусловной оптимизации).

При решении вариационных задач может использоваться 

принцип максимума Понтрягина.

При решении оптимизационных задач управления многоста-

дийными процессами (задачи дискретного программирования) 
(например, задача сетевого планирования, задача коммивояже-
ра) используются методы динамического программирования на 
основе принципа Беллмана.

Метод решения задачи выбирается в зависимости от клас-

сификации поставленной оптимизационной задачи. Решение 
задачи может сочетать в себе разные методы.

Основные методы оптимизации и их основные особенности 

и возможности приведены в табл. 3.34. 

 Таблица 3.34

Метод

оптимизации

Характер целевой

функции

Учет

ограничений

1. Метод градиентов

Непрерывная

Нелинейная

 - 

2. Метод Гаусса-Зейделя

Непрерывная

Нелинейная

 - 

3. Метод поиска по случайной 
траектории

Любой

>,=,<

Метод

оптимизации

Характер целевой

функции

Учет

ограничений

4. Метод штрафных функций

Нелинейная, в том числе 

и разрыв

>,=,<

5. Метод золотого сечения

Нелинейная

6. Симплекс-метод

Линейная

>,=,<

7. Метод скользящего до-
пуска 

Любой

>,=,<

15.2. Постановка задачи и общий порядок разработки 

оптимизационной модели экономической системы

Оптимизационные модели используются для выработки 

оптимальных вариантов построения систем (синтез систем).

Задача формулируется следующим образом:
Известна совокупность условий сил и средств.
Известна совокупность параметров, характеризующих 

вариант деятельности.

Определить  вариант деятельности, при котором силы и 

средства используются с максимальной отдачей.

Порядок разработки:
1. Руководствуясь общими правилами, разрабатывается 

оценочная модель (базовая часть оптимизационной модели эко-
номического процесса).

2. Выполняется отладка и прогонка модели для всей сово-

купности условий и вариантов применения сил.

3. По результатам расчетов в ходе прогонки строятся гра-

фики, с помощью которых определяются:

а) область осуществления оптимальных значений параме-

тров, характеризующих вариант экономического процесса;

б) наличие и количество начальных и глобальных оптимумов 

различных критериев эффективности;

в) характер изменения критериев во всем диапазоне пара-

метров варианта деятельности;

г) ограничения на параметры, характеризующие вариант 

применения сил и частные критерии.

Окончание табл. 3.34

612

613

4. Выбор критерия оптимальности может осуществляться 

следующим образом:

а) Из всей совокупности частных критериев эффективно-

сти один выбирают главным (целевая функция), все остальные 
переводятся в ограничения.

^ `

K

K

ɷ

ɷ

Ƚ

i

  max

( )

 — главный критерий;

^

K

ɷ

i

>

<

  K

ɷ ɡɚɞ

i

(

)

 — ограничения 

( K

ɷ ɡɚɞ

i

(

)

 — заданное значе-

ние i-го частного критерия.

б) Целевая функция при решении многокритериальной 

оптимизации может формироваться на основе использования 
самых различных методов и приемов. Если это делается с ис-
пользованием метода наименьших квадратов, то целевая функ-
ция имеет вид:

>

@

°¿

°

¾

½

°¯

°

®

­

¦

2

n

1

i

n

1

n

1

)

ɡɚɞ

(

ɷ

ɷ

)

B

...

B

 ;

Ɏ

...

Ɏ

(

f

K

min

K

i

, 

n — количество частных критериев, использующихся в модели 
экономического процесса;

f(Ф

1

…Ф

n; 

;В

1

…В

n

) — значение частного критерия, вычислен-

ное в ходе оптимизации с помощью модели.

в) В качестве целевой функции используют только главный 

критерий, частные в ограничениях не учитываются:

^ `

)

Ƚ

(
ɷ

ɷ

i

K

max

K

. 

г) В качестве целевой функции используют не только глав-

ный критерий, но и частные критерии:

^ `

>

@

°

°
¿

°°

¾

½

°

°
¯

°°

®

­

¦

y

i

i

n

1

i

2

n

1

n

1

)

ɡɚɞ

(

ɷ

)

Ƚ

(
ɷ

ɷ

B

...

B

;

Ɏ

...

Ɏ

f

K

K

max

K

. 

д) Целевая функция включает все частные критерии с уче-

том весовых кооффициентов:

¿

¾

½

¯

®

­

J

¦

n

1

i

max

i

i

i

ɷ

K

K

max

K

, 

где 



i

 — вес частного критерия;

K

i

— значение частного критерия;

К

imax

 — максимально-возможное значение частного кри-

терия.

5. Выбирается метод оптимизации. Существует достаточно 

много методов оптимизации, одномерного и многомерного поиска. 
Выбирается тот или иной метод в зависимости от вида целевой 
функции, требований к точности реше-ния, учета ограничений 
и т. д. 

15.3. Примеры оптимизационных моделей 

экономических систем

Пример 1. Классифицировать дом быта как систему. Опреде-

лить оптимальное количество каналов обслуживания по раз-
личным видам оказываемых услуг для получения максимальной 
прибыли, если известны следующие данные:

— нормативы по площади, количество работников и финан-

совые затраты на создание одного канала обслуживания; 

— ограничения на площадь помещения, количество работ-

ников и финансовые ресурсы; 

— нормативы на прибыль, получаемую от работы одного 

канала обслуживания.

Решение. 
Элементами системы являются рабочие места (подраз-

деления) ремонта техники (бытовой, сельскохозяйственной), 
пошив одежды, ремонт обуви, интернет-кафе. Вход систе-
мы — поток заявок на ремонт. Выход — прибыль дома быта. 
Условия — размещение подразделений. Ограничения: норма-
тивы по площади, количество работников и финансовые за-
траты на создание одного канала обслуживания; ограничения 

612

613

4. Выбор критерия оптимальности может осуществляться 

следующим образом:

а) Из всей совокупности частных критериев эффективно-

сти один выбирают главным (целевая функция), все остальные 
переводятся в ограничения.

^ `

K

K

ɷ

ɷ

Ƚ

i

  max

( )

 — главный критерий;

^

K

ɷ

i

>

<

  K

ɷ ɡɚɞ

i

(

)

 — ограничения 

( K

ɷ ɡɚɞ

i

(

)

 — заданное значе-

ние i-го частного критерия.

б) Целевая функция при решении многокритериальной 

оптимизации может формироваться на основе использования 
самых различных методов и приемов. Если это делается с ис-
пользованием метода наименьших квадратов, то целевая функ-
ция имеет вид:

>

@

°¿

°

¾

½

°¯

°

®

­

¦

2

n

1

i

n

1

n

1

)

ɡɚɞ

(

ɷ

ɷ

)

B

...

B

 ;

Ɏ

...

Ɏ

(

f

K

min

K

i

, 

n — количество частных критериев, использующихся в модели 
экономического процесса;

f(Ф

1

…Ф

n; 

;В

1

…В

n

) — значение частного критерия, вычислен-

ное в ходе оптимизации с помощью модели.

в) В качестве целевой функции используют только главный 

критерий, частные в ограничениях не учитываются:

^ `

)

Ƚ

(
ɷ

ɷ

i

K

max

K

. 

г) В качестве целевой функции используют не только глав-

ный критерий, но и частные критерии:

^ `

>

@

°

°
¿

°°

¾

½

°

°
¯

°°

®

­

¦

y

i

i

n

1

i

2

n

1

n

1

)

ɡɚɞ

(

ɷ

)

Ƚ

(
ɷ

ɷ

B

...

B

;

Ɏ

...

Ɏ

f

K

K

max

K

. 

д) Целевая функция включает все частные критерии с уче-

том весовых кооффициентов:

¿

¾

½

¯

®

­

J

¦

n

1

i

max

i

i

i

ɷ

K

K

max

K

, 

где 



i

 — вес частного критерия;

K

i

— значение частного критерия;

К

imax

 — максимально-возможное значение частного кри-

терия.

5. Выбирается метод оптимизации. Существует достаточно 

много методов оптимизации, одномерного и многомерного поиска. 
Выбирается тот или иной метод в зависимости от вида целевой 
функции, требований к точности реше-ния, учета ограничений 
и т. д. 

15.3. Примеры оптимизационных моделей 

экономических систем

Пример 1. Классифицировать дом быта как систему. Опреде-

лить оптимальное количество каналов обслуживания по раз-
личным видам оказываемых услуг для получения максимальной 
прибыли, если известны следующие данные:

— нормативы по площади, количество работников и финан-

совые затраты на создание одного канала обслуживания; 

— ограничения на площадь помещения, количество работ-

ников и финансовые ресурсы; 

— нормативы на прибыль, получаемую от работы одного 

канала обслуживания.

Решение. 
Элементами системы являются рабочие места (подраз-

деления) ремонта техники (бытовой, сельскохозяйственной), 
пошив одежды, ремонт обуви, интернет-кафе. Вход систе-
мы — поток заявок на ремонт. Выход — прибыль дома быта. 
Условия — размещение подразделений. Ограничения: норма-
тивы по площади, количество работников и финансовые за-
траты на создание одного канала обслуживания; ограничения 

614

615

на площадь помещения, количество работников и финансовые 
ресурсы; нормативы на прибыль, получаемую от работы одного 
канала обслуживания.

На первом этаже дома быта размещаются следующие виды 

услуг: ремонт бытовой и сельскохозяйственной техники.

Площадь первого этажа составляет 100 м

2

. 

Для организации одного рабочего места ремонта быто-

вой техники необходимо иметь: 2 м

2

 площади, 1 работника, 

5 тыс. руб.

Для организации одного рабочего места ремонта сель-

скохозяйственной техники необходимо иметь: 10 м

2

 площади, 

3 работника, 50 тыс. руб.

Дом быта может привлечь не более 20 работников и выде-

лить на создание каналов обслуживания не более 150 тыс. руб.

Известно, что с каждого канала обслуживания для ремонта 

бытовой и сельскохозяйственной техники можно соответственно 
получить прибыль в размере 5 тыс. руб. и 15 тыс. руб.

 Введем следующие обозначения:
 Х1 — количество каналов обслуживания бытовой тех-

ники;

 Х2 — количество каналов обслуживания сельскохозяй-

ственной техники.

Оформим Лист Еxcel с таблицей исходных данных и рас-

четными формулами, как показано на рис. 3.92.

На втором этаже располагаются мастерские по ремонту 

обуви, пошиву одежды и интернет-кафе. По аналогии с задачей, 
изложенной выше (см. рис. 3.92), приведены исходные данные 
и основные расчетные формулы для решения другой задачи 
(рис. 3.93). 

Пошив одежды, ремонт обуви и интернет-кафе. 
Введем следующие обозначения:
Х1 — количество каналов обслуживания по ремонту 

обуви; 

Х2 — количество каналов по пошиву одежды; 
Х3 — количество мест для посетителей в интернет-кафе.

Искомые переменные

Х1

Х2

15,714

1,4286

Нормативы:

 Ресурсы:

площади а

i

 (м

2

 /1 канал) 

2

10

100  м^2 (A)

работники b

i 

(чел/1 канал)

1

3

20

 работни-
ков (B)

финансовые затраты с

i 

(тыс.руб./1 канал)

5

50

150  тыс. руб. 

(C)

прибыль d

i 

(тыс.руб./1 канал)

5

15

 Ограничения

Формулы

Содержание формул

45,71429
20
150
15,71429
1,428571

<=
<=
<=
>=
>=

100

20

150

1
1

a1*Х1+a2*Х2 < =
b1*Х1 + b2*Х2 < =
c1*Х1+c2*X2 <= 
 Х1 > = 
X2 >=

A
B
C
1
1

 Целевая функция

d1*X1+d2*X2 - > max

100

 - найденное значение целевой функции (тыс. руб)

Рис. 3.92. Лист Excel с исходными данными и расчетами 

оптимального количества каналов обслуживания бытовой и 

сельскохозяйственной техники