Файл: Задача 1 Случайная величина x имеет плотность распределения вероятностей.docx
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 15
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема 2.4. Нормальное распределение
Задача 9.1
Случайная величина X имеет плотность распределения вероятностей f(x).
Найти:
а) M(X) и D(X);
б) вероятность того, что X примет значение меньше ;
в) вероятность того, что X примет значение больше ;
г) вероятность того, что X примет значение в интервале (; );
д) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания не превысит .
=1,5, =3,5, =2,5, f(x)= 1/√8π e^(-(x-2)2/8)
Решение:
Для данной случайной величины X с плотностью распределения вероятностей f(x) = 1/√8π e^(-(x-2)2/8) можно применить нормальное распределение, так как она имеет нормальное распределение N(μ, σ2), где μ - математическое ожидание, а σ2 - дисперсия.
а) Математическое ожидание M(X) равно μ = E(X) = ∫xf(x)dx, где интегрирование проводится от -бесконечности до +бесконечности. Дисперсия D(X) равна σ2 = E((X-μ)2) = ∫(x-μ)2f(x)dx.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию:
μ = E(X) = ∫xf(x)dx = ∫x * 1/√8π e^(-(x-2)2/8)dx = 2
σ2 = E((X-μ)2) = ∫(x-2)2 * 1/√8π e^(-(x-2)2/8)dx = 2
Ответ: M(X) = 2, D(X) = 2.
б) Вероятность того, что X примет значение меньше α, равна P(X<α) = P(Z<(α-μ)/σ), где Z - стандартная нормальная случайная величина.
P(X<1.5) = P(Z<(1.5-2)/√2) = P(Z<-0.354) = 0.363
Ответ: P(X<α) = 0.363.
в) Вероятность того, что X примет значение больше β, равна P(X>β) = P(Z>(β-μ)/σ), где Z - стандартная нормальная случайная величина.
P(X>3.5) = P(Z>(3.5-2)/√2) = P(Z>0.854) = 0.197
Ответ: P(X>β) = 0.197.
г) Вероятность того, что X примет значение в интервале (α,β), равна P(α
P(1.5
Ответ: P(α
д) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания не превысит δ, равна P(|X-μ|≤δ) = P(|Z|≤δ/σ), где Z - стандартная нормальная случайная величина.
P(|X-2|≤2.5) = P(|Z|≤2.5/√2) = P(|Z|≤1.768) = 0.928
Ответ: P(|X-μ|≤δ) = 0.928.
Задача 9.2
Рост девочек в возрасте от 15 до 20 лет есть нормально распределённая случайная величина X с параметрами a см и σ. Какую долю платьев для девочек, имеющих рост от до см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы. a=159, σ=2, =158, =162
Решение:
Рост девочек имеет нормальное распределение N(μ, σ
2), где μ = a и σ = 2, а α и β - границы интервала роста. Нам нужно найти вероятность P(α ≤ X ≤ β), т.е. вероятность того, что рост девочек будет в интервале от α до β.
P(α ≤ X ≤ β) = P((α - μ)/σ ≤ (X - μ)/σ ≤ (β - μ)/σ) = P((-0.5) ≤ Z ≤ 1.5), где Z - стандартная нормальная случайная величина.
Вычислим эту вероятность по таблице значений функции Лапласа или с помощью калькулятора:
P(-0.5 ≤ Z ≤ 1.5) ≈ 0.7745 - 0.3085 = 0.466
Ответ: Доля платьев для девочек, имеющих рост от α до β см, равна 0.466 или 46.6%.