ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 218
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
28
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Лабораторная установка (крутильный маятник) представляет из себя брусок, подвешенный на упругой струне, концы которой закреплены (рис.1). На брусок для увеличения момента инерции может быть положено металлическое кольцо.
После отклонения бруска на небольшой угол
от положения равновесия, система будет совершать крутильные колебания.
Сила сопротивления приводит к тому, что амплитуда этих колебаний постепенно уменьшается и брусок совершает
крутильные затухающие
колебания.
ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ
Циклическая частота затухающих колебаний определяется формулой (см. Приложение II)
2 2
0
,
(1) где:
0
- циклическая частота собственных колебаний,
- коэффициент затухания.
Выразим циклическую частоту затухающих колебаний
и циклическую частоту собственных колебаний
0
через соответствующие периоды Т и Т
0
T
2
,
0 0
2
T
Учитывая, что коэффициент затухания
связан с логарифмическим декрементом затухания и периодом отношением
65
Подставляем вместо
0
и
их значения, находим условие возникновения колебаний
L
R
LC
2 1
или
2 2
4 1
L
R
LC
,
C
L
R
2
Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический
C
L
R
кр
2
Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии
W
колебаний системы в произвольный момент времени
t к убыли этой энергии за период
W
W
W
T
t
W
t
W
t
W
Q
2
)
(
)
(
)
(
2
Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях
0
>
энергия меняется по закону
t
e
W
t
W
2 0
)
(
Найдем изменение энергии за один период колебаний
)
2
(
)
1
(
2 0
2 2
0
)
(
2 0
2 0
T
e
W
e
e
W
e
W
e
W
W
t
T
t
T
t
t
, т.к.
2 1
2
T
e
T
, если
1 2
T
Подставим в добротность и учтем что
= Т
T
T
e
W
e
W
W
W
Q
t
t
)
2
(
2 2
2 0
2 0
64
где
А
1
и
А
2
постоянные, так как
>
0
, то
К
1
и
К
2
оба вещественны и положительны.
Значения постоянных определяются начальными условиями задачи
0 2
1 0
q
A
A
q
t
,
0 2
2 1
1 0
0
K
A
K
A
dt
dq
i
t
t
Это дает
2 1
2 0
1
K
K
K
q
A
,
2 1
1 0
2
K
K
K
q
A
После чего решение принимает вид:
t
K
t
K
e
K
e
K
K
K
q
q
1 2
2 1
2 1
0
На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора.
Если сопротивление контура очень велико, так что
>>
0
,
то
К
1
>> К
2
и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе
–К
2
по сравнению с
К
1
. Тогда
t
K
e
q
q
2 0
Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в
RLC
контуре необходимо, чтобы выполнялось условие
0
>
.
29
T
, из формулы (1) следует
2 2
0 2
,
2 2
2 0
2 2
2 4
4
T
T
T
,
2 2
2 0
2 4
1
T
T
(2)
Если сила трения мала и выполняется условие
<< 2
, то можно записать приближенную формулу
0
T
T
(периоды затухающих и собственных колебаний приближенно
равны).
Из выражения для собственной частоты крутильных колебаний
J
k
0
можно выразить период собственных крутильных колебаний
k
J
T
2 2
0 0
Тогда период затухающих колебаний бруска без кольца
k
J
T
2 2
1 4
(3)
Если на брусок положить кольцо, момент инерции системы, а, следовательно, и период колебаний увеличится.
Момент инерции, создаваемый кольцом
2
mr
J
к
, где: m - масса кольца, r - радиус кольца.
Для периода крутильных колебаний бруска с кольцом
k
J
J
T
к
)
(
4 2
2 2
(4)
Возьмем отношение (3) к (2)
30
J
J
J
T
T
к
2 1
2 2
и получим расчетную формулу для момента инерции бруска
1 2
1 2
2
T
T
J
J
к
,
1 2
1 2
T
T
J
J
к
(5)
Определив периоды колебаний Т
1
и Т
2
, и зная момент инерции кольца J
к
, можно определить момент инерции бруска J.
1 2 3 4 5 6 7
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Отводят брусок на угол
0
= 15 0
и отпускают его. Измеряют секундомером время t, в течение которого брусок сделает N колебаний, и измеряют
N
- угол отклонения бруска при последнем колебании.
Чем больше число колебаний N, тем точнее измерения.
Поэтому следует наблюдать большое число колебаний N = 20.
Каждое измерение повторяют n = 5 раз.
Измерения записывают в таблицу № 1.
Таблица № 1
n
0
N
i
<
1
>
1 1
%
t
i
c
T
i
c
<T
1
>
c
T
1
c
1
T
%
1 2
3 4
5 2. Заполнить таблицу № 1, используя формулы
63
)
(
sin
)]
(
sin cos
)
(
cos
{sin
0 0
0 0
0 0
0
t
e
q
t
t
e
q
i
t
t
,
2
cos
0 0
0
t
e
q
i
t
Поскольку cos
> 0
, а sin
> 0
, то
0 <
< /2.
Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на
/2 и менее чем на
(при
R = 0
на
/2
).
График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.5.
Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.
2) Пусть сопротивление контура велико, так что
>
0
. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой
2 0
2 2
2 0
j
, где
1
j
– мнимая единица.
Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет.
В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса
t
K
t
K
e
A
e
A
q
2 1
2 1
,
2 0
2 1
K
,
2 0
2 2
K
,
62 2
2 2
2 0
4 1
2 2
2
L
R
LC
T
Разделив (2) на электроемкость конденсатора С, получим напряжение наконденсаторе
)
cos(
)
cos(
0 0
0 0
t
e
U
t
e
C
q
C
q
U
t
t
C
Чтобы найти силу тока, продифференцируем (2) по времени
v
u
v
u
uv
)
(
,
)]
sin(
)
cos(
[
0 0
0
t
e
t
e
q
q
i
t
t
Умножим и разделим это выражение на
0 2
2
}
sin cos
{
2 2
2 2
0 2
2
t
t
e
q
i
t
Введем угол
, определяемый условиями
(рис.4)
0 2
2
sin
,
0 2
2
cos
Тогда можно записать
31
N
i
N
0
ln
1
,
20
N
;
n
n
i
i
1 1
,
5
n
;
1
i
i
, i = 1, 2, 3, 4, 5;
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 5
2 4
2 3
2 2
2 1
1
n
n
S
;
1
,
1
S
t
n
, где
13
,
2
,
n
t
;
%
100 1
1 1
;
N
t
T
i
i
,
20
N
;
n
T
T
n
i
i
1 1
,
5
n
;
1
T
T
T
i
i
, i = 1, 2, 3, 4, 5;
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 5
2 4
2 3
2 2
2 1
1
n
n
T
T
T
T
T
S
T
;
1
,
1
T
n
S
t
T
, где
13
,
2
,
n
t
;
%
100 1
1 1
T
T
T
2. Проделать измерения п.1 для бруска с кольцом. При наложении кольца нужно возможно точнее обеспечить совпадение его центра с осью вращения системы. Для этого разрез и точка, отмеченная на кольце, должны отстоять на равных расстояниях от струны и располагаться на средней линии бруска. Точность установки проверяют, подставив линейку к кольцу и поворачивая брусок.
Измерения записывают в таблицу № 2
32
Таблица № 2
n
0
N
i
<
2
>
2 2
%
t
i
c
T
c
<T
2
>
c
T
2
c
2
T
%
1 2
3 4
5 4. Заполнить таблицу № 2, используя формулы после таблицы № 1.
5.
После вычисления логарифмических декрементов затухания решают, нужно ли в формуле (2) для периода затухающих колебаний учитывать
. Если
<< 2
, то его учитывать не надо.
6. Вычисляют среднее значение момента инерции бруска
J
и абсолютную J погрешности измерений.
1 2
1 2
T
T
J
J
к
,
2 2
2 1
2 2
2 2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
1
T
T
J
T
T
T
,
100
J
J
J
7. Сравнивают измеренное значение момента инерции бруска с теоретическим значением, которое для однородного прямоугольного бруска равно
2 2
12
b
a
M
J
теор
, где: M - масса бруска, a - его длина, b - ширина.
61
Разделим обе части этого уравнения на L
0
LC
q
q
L
R
q
Введем следующие обозначения
L
R
2
– коэффициент затухания,
LC
1 0
– циклическая частота собственных колебаний контура.
Получили дифференциальное уравнение затухающих
колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре
0 2
2 0
q
q
q
(1)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам.
1) Если
0
>
,
то решением уравнения (1) является
уравнение затухающих колебаний
)
cos(
0 0
t
e
q
q
t
,
(2) где:
q
0
– заряд конденсатора в начальный момент времени,
0
– начальная фаза.
Значения
q
0
и
0
определяются из начальных условий.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает со временем по экспоненциальному закону
t
e
q
t
A
0
)
(
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
2 2
0
Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний
60
2. Затухающие электромагнитные колебания
Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами.
Емкость
С, индуктивность
L и активное сопротивление R образуют (рис.2) последовательный колебательный контур (RLC контур).
Будем считать, что электрические процессы в контуре
квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока
i
одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора
L
R
C
U
U
, где
C
q
U
C
– напряжение на конденсаторе,
iR
U
R
– напряжение на активном сопротивлении,
i
L
dt
di
L
L
– ЭДС самоиндукции в катушке.
Используем определение силы тока
q
dt
dq
i
Закон Кирхгофа примет вид
q
L
q
R
C
q
33
Проверяют соотношение
J
J
J
теор
|
|
8. Результаты вычислений заносят в таблицу № 3.
Таблица № 3
m
кг
r
Н·с
J
к
кг·м
2
1
>
c
2
>
c
кг·м
2
J
%
J
кг·м
2
J
теор
кг·м
2
|J
теор
–
кг·м
2 9. Сделать вывод.
34
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20
Изучение затухающих электромагнитных колебаний
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение затухающих электромагнитных колебаний в последовательном RLC контуре.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Магазин конденсаторов, магазин катушек индуктивности, магазин сопротивлений, генератор электрических импульсов, осциллограф.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Схема (рис.1) и описание лабораторной установки.
2. Порядок выполнения и расчета лабораторной работы.
3. Выведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний в последовательном
RLC контуре
(см.
Приложение II).
4. Запишите и проанализируйте решение дифференциального уравнения затухающих колебаний, т.е. уравнение и график затухающих колебаний.
5. Циклическая частота, период и амплитуда затухающих колебаний.
6. При каком условии колебания становятся апериодическими?
Какое сопротивление называется критическим?
7. Уравнение и графики апериодических процессов.
8. Физический смысл коэффициента затухания.
9. Какая величина называется логарифмическим декрементом затухания? Каков его физический смысл?
10. Дайте определение добротности. Каков ее физический смысл?
11. Получите функции зависимости от времени заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в контуре.
12. Приведите примеры аналогий между электрическими и механическими затухающими колебаниями.
59
T
T
T
t
A
t
A
T
t
A
t
A
)]
ln[exp(
)]
(
exp[
]
exp[
ln ln
0 0
Выясним физический смысл коэффициента затухания.
Обозначим через
время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз. Тогда
]
exp[
]
exp[
)]
(
exp[
1 0
0
t
A
t
A
e
, следовательно
1
Физический
смысл
коэффициента
затухания
.
Коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в
e
раз
1
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
e
N
T
T
T
1 1
1
, где
N
e
– число колебаний, происходящих за время
Физический
смысл
логарифмического
декремента
затухания
.
Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний
N
e
,
по завершению которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз
e
N
1
Добротность (см. Приложение II. п.2)