Файл: Задание к лабораторной работе 2 экспериментальное определение частотных.pdf

Задание к лабораторной работе №2
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ЗВЕНЬЕВ САУ
1. Задать передаточную функцию исследуемого устройства со знаменателем не ниже второго порядка.
2. Собрать в Simulink схему, обеспечивающую возможность подачи гармонического сигнала с заданными характеристиками на модель исследуемого устройства, а также измерения характеристик входного и выходного сигнала модели исследуемого устройства.
3. Измерить характеристики выходного сигнала модели исследуемого устройства для ряда значений частоты входного сигнала, результаты измерений свести в таблицу.
4. Рассчитать значения коэффициента усиления исследуемого устройства и фазового сдвига на основе полученных данных.
5. Построить АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуемого устройства на основе полученных данных; сравнить с аналогичными характеристиками, полученными на основе заранее заданной передаточной функции исследуемого устройства.
6. Оформить отчет.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА
1 Частотные характеристики звеньев САУ
Частотные характеристики звена САУ строятся на основе его частотной передаточной функции
)
(

j
W
, получаемой заменой

j
s 
. На основе частотной передаточной функции звена можно получить амплитудно- фазовую частотную характеристику (АФЧХ), амплитудную частотную характеристику (АЧХ), фазовую частотную характеристику (ФЧХ) и логарифмические их варианты: логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ).
АФЧХ строится на комплексной плоскости путем вычисления комплексного коэффициента передачи звена на частотах от нуля до плюс бесконечности. Для нескольких частот из этого диапазона на комплексной плоскости наносятся точки, соответствующие значению комплексного коэффициента передачи. Затем такие точки соединяются кривой. В итоге
АФЧХ является геометрическим местом концов векторов комплексного коэффициента передачи.
Вместо АФЧХ для некоторых задач достаточно построить АФХ
)
(

A
или ФЧХ
)
(


по отдельности. Исходя из их определений, АЧХ представляет собой модуль комплексной передаточной функции
(
)
(
)
(


j
W
A

), ФЧХ – ее аргумент (


)
(
arg
)
(



j
W

). Для оценки запасов устойчивости удобнее использовать логарифмический вариант этих характеристик. ЛАЧХ строится по выражению


)
(
lg
20
)
(


A
L


, затем для той же оси абсцисс откладываются значения сдвига по фазе на оси ординат.
ХОД РАБОТЫ
1 Экспериментальное определение частотных характеристик
Часто необходимо решить задачу анализа свойств системы, не имея в распоряжении ее передаточной функции. Чтобы решить такую задачу,

необходимо провести серию экспериментов с исследуемым устройством и определить необходимые частотные характеристики экспериментально. Для этого необходимо подать на исследуемое устройство гармонический сигнал постоянной амплитуды и, меняя частоту сигнала, измерять амплитуду выходного сигнала и его сдвиг по фазе относительно входного сигнала.
1.1
Использование
Matlab
Simulink для моделирования экспериментального определения частотных характеристик
Такие измерения можно смоделировать в Matlab Simulink с помощью схемы, представленной на рисунке 1.
Рисунок 1 – Схема для имитации экспериментального определения частотных характеристик устройства
В схеме использованы следующие блоки:
– блок генератора сигналов синусоидальной формы Sine Wave;
– блок осциллографа Scope;
– блок передаточной функции Transfer Fcn.
Блоки соединены таким образом, чтобы на один вход осциллографа попадал сигнал с генератора Sine Wave, а на второй вход – выходной сигнал с блока Transfer Fcn, имитирующего исследуемое устройство. Для получения указанных сигналов необходимо настроить блок генератора сигналов, выбрав амплитуду входного сигнала (параметр Amplitude блока Sine Wave, см. рисунок 2) и его частоту (параметр Frequency блока Sine Wave, см. рисунок
2), и запустить моделирование.

Рисунок 2 – Параметры блока Sine Wave
В результате моделирования с помощью блока осциллографа Scope получим графики входного и выходного сигналов исследуемого устройства
(см. рисунок 3).
Рисунок 3 – Пример результатов моделирования

Графики на рисунке 3 получены для входного синусоидального сигнала с амплитудой
1
in
A 
и частотой
15 рад/с


. Стоит обратить внимание, что в начале моделирования выходной сигнал исследуемого устройства имеет апериодические составляющие. Измеряя характеристики сигналов в том участке временной оси, когда апериодические составляющие выходного сигнала затухли, можно выяснить, что амплитуда гармонической составляющей выходного сигнала
out
A
составила 0.069 (параметр Value курсора №2 в блоке Measurements), а время между соседними пиками входного и выходного сигнала
t

примерно равно 0.200 c (параметр
T
 блока Measurements). Для проведения измерений необходимо сначала установить один из курсоров на один из пиков входного сигнала, затем установить второй курсор на пик выходного сигнала, следующий за первым курсором.
Результаты измерений удобно организовать в виде таблицы 1.
Таблица 1. Результаты измерений
№
ω, рад/с
out
A
t

, с
…
15 0.069 0.200
Повторим описанные измерения для нескольких значений частоты входного сигнала и сведем их результаты в таблицу ниже.
Таблица 2. Результаты серии измерений характеристик входного и выходного сигнала исследуемого устройства
№
ω, рад/с
out
A
t

, с
1 0.100 7.452 1.364 2
0.150 7.396 1.488 3
0.300 7.104 1.488 4
0.600 6.159 1.426 5
1.000 4.743 1.302 6
1.500 3.327 1.054 7
2.000 2.368 0.991 8
2.500 1.735 0.806

9 3.000 1.316 0.744 10 5.000 0.546 0.511 11 7.000 0.291 0.391 12 10.000 0.146 0.285 13 15.000 0.069 0.200 14 20.000 0.037 0.155 15 23.000 0.028 0.132 16 27.000 0.021 0.108 17 30.000 0.017 0.105
Для нахождения первой точки АФЧХ подадим на вход устройства постоянный сигнал ранее заданной амплитуды. При этом амплитуду выходного сигнала будем измерять аналогично предыдущим случаям, а
t

в этой точке примем равной нулю.
1.2 Обработка результатов измерений с помощью Mathcad
Зная указанные характеристики сигнала, можем вычислить коэффициент усиления и сдвиг сигналов по фазе. Коэффициент усиления исследуемого устройства равен отношению амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала:
out
in
A
K
A

(1)
Сдвиг сигналов по фазе пропорционален отношению
t

и периода колебаний и может быть найден по формуле:
2 2
, где
t
T
T






   

(2)
Зная значение коэффициента усиления и фазового сдвига, можем найти комплексный коэффициент передачи, а значит и значение АФЧХ устройства, на заданной частоте, записав его как комплексное число в показательной форме
j
K e




Например, для исследуемого устройства на частоте входного сигнала
15 рад/с


период колебаний составил 0.419 с; фазовый сдвиг составил
-2.910 рад, а коэффициент усиления составил 0.069.
Для автоматизации расчетов воспользуемся Mathcad. Введем данные из таблицы 2 в Mathcad в виде трех векторов как показано на рисунке 4. Кроме этого также введем в Mathcad значение амплитуды входного сигнала системы
in
A
и установившееся значение
0
out
A
реакции исследуемого устройства на постоянный входной сигнал, совпадающий по амплитуде с ранее используемым входным гармоническим сигналом.
Рисунок 4 – Ввод результатов измерения в Mathcad
Затем, воспользовавшись формулами (1) и (2), рассчитаем коэффициент усиления устройства и фазовый сдвиг для каждого значения частоты как показано на рисунке 5.

Рисунок 5 – Расчет значений комплексного коэффициента передачи с помощью Mathcad
Для проверки корректности вычислений введем в Mathcad передаточную функцию исследуемого устройства, использованную при моделировании, и построим на ее основе АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуемого устройства.
Рисунок 6 – Ввод передаточной функции исследуемого устройства и нахождение выражений ЛАЧХ и ЛФЧХ в Mathcad
Построим графики АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуемого устройства на основе результатов экспериментов и сравним их с аналогичными графиками, построенными на основе передаточной функции устройства.

а) б)

в)
Рисунок 7 – Частотные характеристики исследуемого устройства: а) АФЧХ, б) ЛАЧХ, в) ЛФЧХ
На рисунках 7а, 7б и 7в частотные характеристики, построенные на основе экспериментальных данных, показаны непрерывными линиями с точками.
Пунктирные линии показывают частотные характеристики, построенные на основе передаточной функции устройства. Очевидно, что экспериментальные характеристики в значительной степени совпадают с теоретическими.
Следовательно, измерения и вычисления на основе их результатов проведены верно.