Файл: Контрольная работа По дисциплине Информационные технологии в корпоративных сетях.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, элемент yij≥ 0 которой отражает объем работ j-го типа, выполняемый i-ым АЭ. Обозначим 
– вектор объемов работ, выполняемых i-ым АЭ,
,
– вектор распределения работ по АЭ.
Если
– функция затрат i-го АЭ, то задача распределения работ может быть сформулирована в виде:
(1)
(2)
Отметим, что в задаче (1)-(2) не учитываются ограничения на объемы работ, выполняемые АЭ.
Если функции затрат выпуклые по соответствующим переменным, то (1)-(2) – задача выпуклого программирования. Оптимальное значение целевой функции (1) обозначим C0(v).
Например, если
то
, где
Содержательно задача (1)-(2) соответствует определению структуры взаимосвязей между АЭ и центрами (напомним, что каждый центр «отвечает» за некоторую работу). В общем случае каждый АЭ оказывается связан с каждым центром, так как первый выполняет в оптимальном распределении работ работы нескольких (быть может, даже всех) типов. Можно условно считать, что подобным связям соответствует матричная структура управления (описываемая матрицей
, являющейся решением задачи (1)-(2) и называемой иногда матрицей ответственности), эффективность которой зависит от рассматриваемого проекта v и равна C0(v). Поэтому задачу (1)-(2) можно условно назвать задачей синтеза оптимальной матричной структуры.
Альтернативой является использование функциональной структуры, в которой каждый АЭ закреплен за одним и только одним центром (типом работ). Для того, чтобы найти оптимальную функциональную структуру, следует решить задачу назначения исполнителей. Сформулируем эту задачу.
Пусть функции затрат АЭ сепарабельны:
(3)
Тогда задача поиска оптимальной функциональной структуры заключается в нахождении такого разбиения S множества АЭ I на m непустых подмножеств
(между элементами которых работа соответствующего типа распределяется по аналогии с задачей (1)-(2)), что суммарные затраты по выполнению всего объема работ в рассматриваемом проекте минимальны.
Задача распределения объемов j-ой работы между элементами множества
имеет вид:
(4)
(5)
Где
– вектор действий АЭ из множества 
.
Обозначим Cj(Sj , vj) – оптимальное значение целевой функции (4). Тогда задача синтеза функциональной структуры заключается в нахождении разбиения S минимизирующего сумму затрат, полученных из решения задач (4)-(5) для всех
:
(6)
Обозначим C(v) – оптимальное значение целевой функции в задаче (6).
Утверждение 10.
.
Доказательство утверждения 10. При сепарабельных функциях затрат АЭ
То есть целевые функции (1) и (6) (с учетом (4)) в задачах синтеза оптимальной матричной и функциональной структур совпадают. В последней задаче допустимое множество не шире, следовательно, и значение целевой функции не меньше. Утверждение 10 доказано.
Эффективности C(v) и C0(v), соответственно, функциональной и матричной структур являются косвенными оценками максимальных дополнительных затрат на управление, возникающих при переходе от линейной (функциональной) к матричной структуре управления. Поясним последнее утверждение. Функциональная структура, как известно [19, 40, 47, 48], требует минимальных затрат на управление (собственное функционирование). Но, она приводит к неэффективному распределению работ между АЭ – см. утверждение 10. С другой стороны, матричная структура приводит к более эффективному распределению работ, но требует больших затрат на управление. Поэтому при решении вопроса о выборе структуры (или переходе от одной структуры к другой) следует принимать во внимание оба фактора: затраты на управление и эффективность распределения работ (эффективность структуры). Если последняя может быть оценена количественно (см. задачи (1)-(2) и (4)-(6)), то определение затрат на управление является сложной задачей, решаемой на практике, зачастую, интуитивно. Исходя из этого, можно сказать, что если затраты на управление при использовании матричной структуры превышают затраты на управление при использовании линейной структуры не более, чем на
C(v) – C0(v), то предпочтительно использование матричной структуры, в противном случае – линейной.
Кроме того, во многих реальных организациях одна подструктура является матричной, а другая – линейной. Определение рационального баланса (между ними двумя одновременно) может производиться по аналогии с формулировкой и решением задачи (4)-(6).
Урок 2.
Если задача (4)-(5) является стандартной задачей математического программирования, то задача (6) принадлежит к задачам дискретной оптимизации. Решение ее в случае больших значений m и n может оказаться чрезвычайно трудоемким. Поэтому для того, чтобы сделать хоть какие-то качественные выводы, введем ряд упрощающих предположений.
Рассмотрим частный случай, когда число АЭ равно числу работ, затраты АЭ сепарабельны и удельные затраты cij i-го АЭ по выполнению j-ой работы постоянны,
.
Тогда элементы разбиения S – одноэлементные множества и задача (1)-(2) принимает вид:
(7)
(8)
а задача (4)-(6) превращается в следующую стандартную задачу о назначении:
(9)
(10)
(11)
В силу линейности целевой функции (7), решение задачи (7)- (8) тривиально:
, если 
, и 
, если 
, то есть следует поручать весь объем работ j-го типа поручать тому АЭ, который выполняет его с наименьшими удельными затратами. При этом может оказаться, что все работы выполняет один АЭ. Это распределение работ будет оптимально по критерию суммарных затрат, но может быть нереализуемым на практике.
Для того чтобы уйти от тривиального (и иногда нереализуемого) решения, введем ограничения Yi на максимальный суммарный объем работ, которые может выполнять i-ый АЭ, .
С этими ограничениями задача (7)-(8) превращается в следующую стандартную транспортную задачу:
(12)
(13)
(14)
которая разрешима при условии
Урок 3.
Задачи «назначения» (1)-(2), (4)-(6), (7)-(8), (9)-(11) и (12)-(14) формулировались для случая одного проекта. Аналогично ставятся и решаются задачи синтеза оптимальных (матричных и линейных) структур и для случая, когда система реализует последовательно набор проектов с заданными характеристиками (или характеристиками, относительно которых имеется статистическая информация). Матричной структуре при этом соответствуют изменяющиеся во времени (в зависимости от реализуемого проекта) распределения работ по АЭ (с этой точки зрения матричная структура управления, определяемая в результате решения задач «назначения» на каждом шаге, близка к сетевой структуре [40]), линейной – постоянное закрепление АЭ за определенными центрами (типами работ). Эффективность той или иной структуры в динамике может оцениваться как сумма (или математическое ожидание, если характеристики потока достоверно неизвестны) затрат на реализацию всего набора проектов за рассматриваемый период времени. Вывод утверждения 10 о том, что матричная структура характеризуется не большими суммарными затратами АЭ, чем линейная, в динамике также остается в силе.
Приведем пример. Пусть имеются два типа работ и два АЭ, удельные затраты которых представлены матрицей
, ограничения объемов работ АЭ: Y1 = Y2 = 1, рассматривался поток из 60 проектов объемами (v1, v2), которые равномерно распределены на v1 + v2≤ 2. Численное моделирование заключалось в нахождении для каждого проекта:
Средние (по всем 60 проектам) значения затрат приведены в таблице 1.
На рисунке 14 приведены графики отношений (c1 / c – 1) и (c1 / c – 1), характеризующий потери в эффективности из-за использования постоянной (не зависящей от специфики реализуемого проекта) линейной структуры.
Рис. 14. Эффективность постоянной линейной структуры
На рисунке 15 приведены графики затрат c – оптимального решения задачи (9)-(11) – прерывистая линия – и c00 – оптимального решения задачи (7)-(8) – непрерывная линия, которые позволяют оценить потери в эффективности от использования линейной структуры по сравнению с матричной (см. также утверждение 10).
Рис. 15. Эффективности линейной и матричной структур
Таким образом, постановка и решение задач «назначения» позволяет оценивать сравнительную эффективность различных структур и закономерностей их трансформации, осуществлять выбор оптимальной или рациональной структуры управляющей компании в зависимости от набора проектов, реализуемых в рамках корпоративной программы.
Урок 4.
Модель распределенного контроля. Результаты анализа систем с распределенным контролем, в которых один и тот же активный элемент одновременно подчинен нескольким центрам, свидетельствуют, что существуют два режима взаимодействия центров – режим сотрудничества и режим конкуренции (см. первый раздел).
В режиме сотрудничества АЭ выбирает действие, выгодное (в определенном смысле) всем центрам одновременно, и центры осуществляют совместное управление данным АЭ. Такая ситуация соответствует матричной структуре управления.
В режиме конкуренции управление АЭ осуществляется одним центром, который определяется по результатам анализа аукционного равновесия игры центров. Такая ситуация соответствует линейной (веерной) структуре управления.
Условием реализации режима сотрудничества (и, следовательно, матричной структуры) является непустота области компромисса. Для непустоты области компромисса, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы максимальное (по действиям АЭ) значение суммы целевых функции всех участников системы (всех центров и АЭ) было не меньше, чем сумма максимумов значений целевых функций центров, каждый из которых вычисляется в предположении, что он осуществляет единоличное управление АЭ.
– вектор объемов работ, выполняемых i-ым АЭ, , – вектор распределения работ по АЭ.Если
– функция затрат i-го АЭ, то задача распределения работ может быть сформулирована в виде:(1)
(2)
Отметим, что в задаче (1)-(2) не учитываются ограничения на объемы работ, выполняемые АЭ.
Если функции затрат выпуклые по соответствующим переменным, то (1)-(2) – задача выпуклого программирования. Оптимальное значение целевой функции (1) обозначим C0(v).
Например, если
то
, где Содержательно задача (1)-(2) соответствует определению структуры взаимосвязей между АЭ и центрами (напомним, что каждый центр «отвечает» за некоторую работу). В общем случае каждый АЭ оказывается связан с каждым центром, так как первый выполняет в оптимальном распределении работ работы нескольких (быть может, даже всех) типов. Можно условно считать, что подобным связям соответствует матричная структура управления (описываемая матрицей
, являющейся решением задачи (1)-(2) и называемой иногда матрицей ответственности), эффективность которой зависит от рассматриваемого проекта v и равна C0(v). Поэтому задачу (1)-(2) можно условно назвать задачей синтеза оптимальной матричной структуры.Альтернативой является использование функциональной структуры, в которой каждый АЭ закреплен за одним и только одним центром (типом работ). Для того, чтобы найти оптимальную функциональную структуру, следует решить задачу назначения исполнителей. Сформулируем эту задачу.
Пусть функции затрат АЭ сепарабельны:
(3)
Тогда задача поиска оптимальной функциональной структуры заключается в нахождении такого разбиения S множества АЭ I на m непустых подмножеств
(между элементами которых работа соответствующего типа распределяется по аналогии с задачей (1)-(2)), что суммарные затраты по выполнению всего объема работ в рассматриваемом проекте минимальны.Задача распределения объемов j-ой работы между элементами множества
имеет вид:(4)
(5)
Где
– вектор действий АЭ из множества .Обозначим Cj(Sj , vj) – оптимальное значение целевой функции (4). Тогда задача синтеза функциональной структуры заключается в нахождении разбиения S минимизирующего сумму затрат, полученных из решения задач (4)-(5) для всех
:(6)
Обозначим C(v) – оптимальное значение целевой функции в задаче (6).
Утверждение 10.
.Доказательство утверждения 10. При сепарабельных функциях затрат АЭ
То есть целевые функции (1) и (6) (с учетом (4)) в задачах синтеза оптимальной матричной и функциональной структур совпадают. В последней задаче допустимое множество не шире, следовательно, и значение целевой функции не меньше. Утверждение 10 доказано.
Эффективности C(v) и C0(v), соответственно, функциональной и матричной структур являются косвенными оценками максимальных дополнительных затрат на управление, возникающих при переходе от линейной (функциональной) к матричной структуре управления. Поясним последнее утверждение. Функциональная структура, как известно [19, 40, 47, 48], требует минимальных затрат на управление (собственное функционирование). Но, она приводит к неэффективному распределению работ между АЭ – см. утверждение 10. С другой стороны, матричная структура приводит к более эффективному распределению работ, но требует больших затрат на управление. Поэтому при решении вопроса о выборе структуры (или переходе от одной структуры к другой) следует принимать во внимание оба фактора: затраты на управление и эффективность распределения работ (эффективность структуры). Если последняя может быть оценена количественно (см. задачи (1)-(2) и (4)-(6)), то определение затрат на управление является сложной задачей, решаемой на практике, зачастую, интуитивно. Исходя из этого, можно сказать, что если затраты на управление при использовании матричной структуры превышают затраты на управление при использовании линейной структуры не более, чем на
C(v) – C0(v), то предпочтительно использование матричной структуры, в противном случае – линейной.
Кроме того, во многих реальных организациях одна подструктура является матричной, а другая – линейной. Определение рационального баланса (между ними двумя одновременно) может производиться по аналогии с формулировкой и решением задачи (4)-(6).
Урок 2.
Если задача (4)-(5) является стандартной задачей математического программирования, то задача (6) принадлежит к задачам дискретной оптимизации. Решение ее в случае больших значений m и n может оказаться чрезвычайно трудоемким. Поэтому для того, чтобы сделать хоть какие-то качественные выводы, введем ряд упрощающих предположений.
Рассмотрим частный случай, когда число АЭ равно числу работ, затраты АЭ сепарабельны и удельные затраты cij i-го АЭ по выполнению j-ой работы постоянны,
.Тогда элементы разбиения S – одноэлементные множества и задача (1)-(2) принимает вид:
(7)
(8)
а задача (4)-(6) превращается в следующую стандартную задачу о назначении:
(9)
(10)
(11)
В силу линейности целевой функции (7), решение задачи (7)- (8) тривиально:
, если , и , если , то есть следует поручать весь объем работ j-го типа поручать тому АЭ, который выполняет его с наименьшими удельными затратами. При этом может оказаться, что все работы выполняет один АЭ. Это распределение работ будет оптимально по критерию суммарных затрат, но может быть нереализуемым на практике.Для того чтобы уйти от тривиального (и иногда нереализуемого) решения, введем ограничения Yi на максимальный суммарный объем работ, которые может выполнять i-ый АЭ,
.С этими ограничениями задача (7)-(8) превращается в следующую стандартную транспортную задачу:
(12)
(13)
(14)
которая разрешима при условии
Урок 3.
Задачи «назначения» (1)-(2), (4)-(6), (7)-(8), (9)-(11) и (12)-(14) формулировались для случая одного проекта. Аналогично ставятся и решаются задачи синтеза оптимальных (матричных и линейных) структур и для случая, когда система реализует последовательно набор проектов с заданными характеристиками (или характеристиками, относительно которых имеется статистическая информация). Матричной структуре при этом соответствуют изменяющиеся во времени (в зависимости от реализуемого проекта) распределения работ по АЭ (с этой точки зрения матричная структура управления, определяемая в результате решения задач «назначения» на каждом шаге, близка к сетевой структуре [40]), линейной – постоянное закрепление АЭ за определенными центрами (типами работ). Эффективность той или иной структуры в динамике может оцениваться как сумма (или математическое ожидание, если характеристики потока достоверно неизвестны) затрат на реализацию всего набора проектов за рассматриваемый период времени. Вывод утверждения 10 о том, что матричная структура характеризуется не большими суммарными затратами АЭ, чем линейная, в динамике также остается в силе.
Приведем пример. Пусть имеются два типа работ и два АЭ, удельные затраты которых представлены матрицей
, ограничения объемов работ АЭ: Y1 = Y2 = 1, рассматривался поток из 60 проектов объемами (v1, v2), которые равномерно распределены на v1 + v2≤ 2. Численное моделирование заключалось в нахождении для каждого проекта:-
затрат c1 (решение задачи (9)-(11)) при назначении
- один из вариантов постоянной (не изменяющейся во времени) линейной структуры; -
затрат c2(решение задачи (9)-(11)) при назначении
- один из вариантов постоянной (не изменяющейся во времени) линейной структуры; -
затрат c – оптимальное решение задачи (9)-(11) – оптимальная на каждом шаге линейная структура без ограничений на индивидуальные объемы работ АЭ; -
затрат c00 – оптимальное решение задачи (7)-(8) – оптимальная на каждом шаге матричная структура без ограничений на индивидуальные объемы работ АЭ; -
затрат c0 – оптимальное решение задачи (12)-(14) – оптимальная на каждом шаге матричная структура c ограничениями на индивидуальные объемы работ АЭ.
Средние (по всем 60 проектам) значения затрат приведены в таблице 1.
На рисунке 14 приведены графики отношений (c1 / c – 1) и (c1 / c – 1), характеризующий потери в эффективности из-за использования постоянной (не зависящей от специфики реализуемого проекта) линейной структуры.
Рис. 14. Эффективность постоянной линейной структуры
На рисунке 15 приведены графики затрат c – оптимального решения задачи (9)-(11) – прерывистая линия – и c00 – оптимального решения задачи (7)-(8) – непрерывная линия, которые позволяют оценить потери в эффективности от использования линейной структуры по сравнению с матричной (см. также утверждение 10).
Рис. 15. Эффективности линейной и матричной структур
Таким образом, постановка и решение задач «назначения» позволяет оценивать сравнительную эффективность различных структур и закономерностей их трансформации, осуществлять выбор оптимальной или рациональной структуры управляющей компании в зависимости от набора проектов, реализуемых в рамках корпоративной программы.
Урок 4.
Модель распределенного контроля. Результаты анализа систем с распределенным контролем, в которых один и тот же активный элемент одновременно подчинен нескольким центрам, свидетельствуют, что существуют два режима взаимодействия центров – режим сотрудничества и режим конкуренции (см. первый раздел).
В режиме сотрудничества АЭ выбирает действие, выгодное (в определенном смысле) всем центрам одновременно, и центры осуществляют совместное управление данным АЭ. Такая ситуация соответствует матричной структуре управления.
В режиме конкуренции управление АЭ осуществляется одним центром, который определяется по результатам анализа аукционного равновесия игры центров. Такая ситуация соответствует линейной (веерной) структуре управления.
Условием реализации режима сотрудничества (и, следовательно, матричной структуры) является непустота области компромисса. Для непустоты области компромисса, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы максимальное (по действиям АЭ) значение суммы целевых функции всех участников системы (всех центров и АЭ) было не меньше, чем сумма максимумов значений целевых функций центров, каждый из которых вычисляется в предположении, что он осуществляет единоличное управление АЭ.