ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2024
Просмотров: 489
Скачиваний: 4
ТЕОРИЯ СИСТЕМ
В практикуме изложены теоретические, методические и практические вопросы решения задач с помощью общего системного подхода и методов системного анализа.
Предназначено для студентов специальностей 351400 «Прикладная информатика (по областям)», 061800 «Математические методы в экономике», 653300 «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования» и 230600 «Домоведение» всех форм обучения.
2
ВВЕДЕНИЕ
Успех в современном бизнесе и менеджменте во многом опирается на оперативный анализ экономической ситуации и выбор оптимального решения из возможных альтернатив, возникающих в результате неполноты данных и неопределенности ситуаций.
Данный практикум предназначен для самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов, обучающихся на специальностях «Прикладная информатика (по областям)», «Математические методы в экономике», «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования», «Домоведение», и может быть использован при изучении таких дисциплин, как «Теория систем и системный анализ», «Системный анализ в сфере сервиса», «Системный анализ в экономике» и др.
В данный практикум включены 144 задания.
Число вариантов заданий по каждой рассматриваемой теме составлено таким образом, чтобы обеспечить индивидуализацию работы студента. Это позволяет преподавателю организовать работу как в малых, так и в больших группах студентов, обучающихся на социально-эконо- мических и технических специальностях при очном, заочном и дистанционном видах обучения.
3
Лабораторная работа № 1 РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Цель работы: ознакомиться с основными функциями алгебры логики, освоить навыки решения логических задач.
Краткие теоретические сведения
Для решения логических задач применяется алгебра логики или Булева алгебра.
В ее основу положено элементарное логическое высказывание, которое может быть только истинным или ложным.
Для упрощения действий элементарные высказывания обозначаются буквами, а истину и ложь логическими единицами и нулем соответственно. Тогда простые элементарные высказывания можно связать между собой с помощью логических функций и, зная, как они работают, рассчитывать их.
Основные функции (логические операции) алгебры логики следующие:
Конъюнкция (логическое умножение): в естественном языке соответствует союзу «и», обозначается &.
Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходные высказывания истинны.
Дизъюнкция – (логическое сложение): в естественном языке соответствует союзу «или», обозначается V.
Дизъюнкция – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно, и ложным.
Инверсия (отрицание): в естественном языке соответствует словам «неверно, что…» и частице не, обозначается Ā.
Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
Контрольный пример
Задача 1. «Пять офицеров»
В одной из горячих точек служили 5 офицеров: генерал, полковник, майор, капитан и лейтенант. Один из них сапер, другой – пехотинец, третий – танкист, четвертый – связист, пятый – артиллерист. У каждого
4
из них есть сестра. И каждый из них женат на сестре своего однополчанина. Вот что еще известно об этих офицерах:
По меньшей мере, один из родственников связиста старше его по званию.
Капитан никогда не служил в Хабаровске.
Оба родственника-пехотинца и оба родственника-танкиста служили раньше в Мурманске. Ни один родственник генерала в Мурманске не был.
Танкист служил в Твери вместе с обоими своими родственниками, а лейтенант там не служил.
Полковник служил в Махачкале вместе со своими родственниками. Танкист не служил в Махачкале. Там служил только один из его
родственников.
Генерал служил с обоими своими родственниками в Хабаровске, а в Махачкале он не бывал.
Артиллерист не служил ни в Хабаровске, ни в Твери. Определите, кто из офицеров какое звание имеет?
Решение задачи
Ясно, что каждый офицер имеет двух родственников. Один из них – брат жены, а другой – муж сестры. Обозначим для удобства каждого офицера буквой и расположим их так, чтобы соседом каждого были его родственники (рис. 1.1).
А
Д |
|
Б |
|
|
|
Г В
Рис. 1.1. Расположение по порядку
Пусть пехотинец будет обозначен буквой А. Поскольку трое из офицеров служили в Мурманске, а двое там не были, то танкисту должна соответствовать либо буква В, либо Г. Допустим, что танкист – В. Отсюда следует (с учетом условия задачи), что А и В не служили в Мурманске и что Б – генерал. Продолжая рассуждать, приходим к выводу, что Б, В и Г служили в Твери. Поэтому лейтенантом должен быть А или Д и букве Д должен соответствовать артиллерист. Далее, либо В и Г, либо В и Б не служили в Махачкале. Следовательно, А, Д и Б либо А, Д и Г служили в Махачкале. А поскольку мы знаем, что Б не служил
5
в Махачкале, это значит, что там служили А, Д и Г и что Д – полковник. Таким образом, А – лейтенант.
Переходим к следующему этапу решения. A, Б и В служили в Хабаровске, а Д там не служил. Нам известно, что капитан в Хабаровске не служил. Поскольку капитал не может быть Д, следовательно, ему соответствует буква Г. Далее приходим к заключению, что В – майор. Известно, что по меньшей мере один офицер должен быть старше по званию, чем связист. Следовательно, связист не может быть Б и должен быть Г, а саперу соответствует буква Б.
Таким образом, в итоге получается, что лейтенант – пехотинец, генерал – сапер, майор – танкист, капитан – связист, полковник – артиллерист.
Задача 2. «Финальный забег»
Каждый второй пассажир в автобусе с увлечением читал спортивный раздел газеты, а остальные оживленно обсуждали последние спортивные новости. Иван Михайлович не успел купить газету, и ему не оставалось ничего другого, как заглядывать в газеты, развернутые другими пассажирами, и ловить доносившиеся до него обрывки разговоров.
Главной новостью дня был состоявшийся накануне финал эстафеты 4 100 м для мужчин. В финал после упорной борьбы вышли команды шести стран: европейские команды А и B, африканские команды C и D и 2 команды-представительницы американского континента E и F.
Иван Михайлович охотно узнал бы, как распределились места среди участников финала, но сделать это оказалось непросто. В тот день Иван Михайловичу особенно не везло: стоило ему пристроиться к кому-ни- будь, чтобы заглянуть через плечо, как счастливый обладатель спортивной газеты тотчас переворачивал страницу, а доносившиеся со всех сторон реплики знатоков и ценителей спроса были маловразумительными.
Выйдя из автобуса, Иван Михайлович смог восстановить в памяти лишь следующие крохи информации:
1.Команда А одержала победу над командой В.
2.Африканская команда получила золотые медали.
3.Команда В одержала победу над командой D.
4.По всему было видно, что первое и второе места достанутся американским командам, и вдруг в последний момент между ними вклинилась европейская команда.
5.Африканская команда отстала от всех остальных участников финала.
6.Первыми финишировали 3 африканских бегуна.
7.Команда F одержала победу над командой В.
8.Команда Е одержала победу над командой F.
9.В составе европейских команд не было африканских спортсменов. Располагая этими отрывочными сведениями, Иван Михайлович по-
пытался восстановить, как распределились места между шестью командами, участвовавшими в финале эстафетного бега, но тщетно.
6
Наконец, после тщательного анализа Иван Михайлович понял, что одна из девяти перечисленных выше посылок ложная. Он что-либо не так понял, либо плохо разглядел, либо неправильно вспомнил.
Все остальные посылки истинны.
Как распределились места между шестью командами, принимавшими участие в финальном забеге?
Решение задачи
Для того чтобы решить задачу, необходимо, прежде всего, выяснить, какое из девяти приведенных утверждений ложно.
Итак, проанализируем данные утверждения. Если утверждение (9) заведомо верно (по условию задачи), то нетрудно установить, что утверждения (4), (5), и (6) не могут быть истинными одновременно.
Действительно, если истинно утверждение (6), то 3 первые места разделили между собой 2 африканские и 1 американская команды либо 1 африканская и 2 американские команды. Но по утверждению (5) 2 африканские команды не могли быть среди тех, кто вышел на первые три места, а по утверждению (4) 2 американские команды могли занять лишь первое и третье места. Кроме того, из этого же утверждения (4) следует, что на второе место вышла европейская команда и, следовательно, среди обладателей трех первых мест не было ни одной африканской команды.
Таким образом, ложные сведения должны содержаться в каком-то из утверждений (4), (5) и (6), а остальные утверждения истинны, т.к. по условию задачи ложным является только одно утверждение. Воспользуемся сначала заведомо истинными утверждениями.
Объединим утверждения (1), (3) и (7) в одно, т. к. они взаимосвязаны между собой. Прочитав их в последовательности (1)-(7)-(3), приходим к следующему выводу: если исключить команды С и Е, то представители остальных команд могли прийти к финишу лишь в последовательности A, F, В, D. Следовательно, среди команд, занявших 3 первые места, заведомо должна быть европейская команда А. В худшем случае, она могла выйти на третье место, но оказалась среди призеров. Это означает, что утверждение (6) ложно. Чтобы определить, какое место заняла каждая из шести команд, расположим истинные утверждения в следующем порядке: (2), (4), (5), (8), (1)-(7)-(3), (9).
Как видно из утверждений (2) и (1)-(7)-(3), первое место могла занять лишь команда С, поскольку команда D заведомо не вышла на первое место. По утверждению (5), команда D могла занять лишь последнее, шестое, место.
Утверждения (8) и (1)-(7)-(3) позволяют схематически изобразить распределение мест между четырьмя остальными командами так, как показано на рис. 1.2 (острие стрелки направлено к команде, показавшей лучшее время, конец – к команде, занявшей последнее место).
7
Е |
|
|
F |
|
|
В |
|
|
|
||||
А |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2. Распределение мест между четырьмя явно не лидирующими командами
Остается невыясненным, какая из команд – Е или А – показала лучший результат. Эту неопределенность помогает разрешить утверждение (4). Согласно схеме, между двумя американскими командами Е и F могла "вклиниться" только европейская команда А.
Следовательно, представители четырех команд, о которых идет речь, могли пересечь линию финиша лишь в следующей последовательности: Е, А, F, В. Это означает, что команда С заняла первое место, Е – второе, А – третье, F – четвертое, В – пятое и команда D – шестое место.
Индивидуальное задание
Решите задачу согласно вашему варианту. Опишите ход решения задачи, логические рассуждения.
Вариант 1
На острове живут два племени: молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил туземца, спросил его, кто он такой, и, когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в услужение. Они пошли и увидели вдали другого туземца, и путешественник послал своего слугу спросить его, к какому племени он принадлежит. Слуга вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов.
Ответьте, был ли слуга молодцом или же лгуном.
Вариант 2
Четыре юных филателиста – Митя, Толя, Саша и Петя – купили почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны, причем двое из них купили российские марки, один – болгарские, а один – словацкие. Известно, что Митя и Толя купили марки двух разных стран. Марки разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей и Толя с Сашей. Кроме того, известно, что Митя купил не болгарские марки.
Какие марки купил каждый из мальчиков?
Вариант 3
Четыре человека взялись выполнять работу маляра, слесаря, кузнеца и штукатура – каждый будет делать что-то одно. Выяснилось, что
8
Антон не будет маляром и не будет слесарем, Алексей не будет кузнецом и не будет маляром, Евгений не будет слесарем и не будет маляром, Дмитрий не будет кузнецом и не будет слесарем. Известно также, что если Антон не будет кузнецом, то Дмитрий не будет маляром.
Кто и какую работу будет выполнять?
Вариант 4
Пятеро девушек поехали в отпуск каждая на своей машине. Все машины были разного цвета. Первой ехала на белой машине американка. За ней на «Тойоте» русская. За француженкой на синей машине ехал желтый «Ситроен». Замыкала колонну англичанка на фиолетовом «Форде». «Плимут» был новее «Бьюика», но менее мощный, поэтому он ехал в середине колонны, а полька восхитительно выглядела в своем брючном костюме. Одна из машин была зеленого цвета.
Кто и на какой машине ехал (указать цвет и марку)?
Вариант 5
Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр. Говорит Мегре. Есть новости?
Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жульен считает, что или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян, и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем позвонила…
Все. Спасибо. Этого достаточно.
Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все.
Опишите, что знает Мегре?
Вариант 6
Семья состоит из пяти человек: Алексея, Веры, Даши, Глеба и Евгении. Когда семья смотрит телевизор, то соблюдаются следующие условия:
Смотрят либо Даша, либо Евгения, либо обе вместе. Смотрят либо Глеб, либо Вера, но не вместе.
Даша и Глеб либо смотрят вместе, либо вместе не смотрят. Если телевизор смотрит Алексей, то смотрит и Вера.
Если телевизор смотрит Евгения, то смотрят Алексей и Даша. Кто смотрит телевизор?
Вариант 7
Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На след-
9
ствии Браун показал, что преступники скрылись на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был «Форд-мустанг» и ни в коем случае не синий. Смит заявил, что это была не синяя «Тойота».
Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет.
Какого цвета и какой марки был автомобиль?
Вариант 8
Николай хотел пригласить в гости Андрея, Виктора, Сергея, Дмитрия, Евгения, Федора, Георгия и Олега. При этом он столкнулся со следующими трудностями:
Андрей никогда не придет, если пригласить Виктора или Сергея, или если одновременно придут Дмитрий и Евгений;
Дмитрий придет только в том случае, если будет приглашен и Евгений;
Евгений не примет приглашения, если придет Виктор; Федор наносит визиты только в сопровождении Георгия;
Олег не будет возражать против присутствия Федора только в том случае, если будет приглашен и Андрей;
Если не будет приглашен Федор, то Олег будет против приглашения Евгения;
Чтобы пришел Георгий, необходимо пригласить Дмитрия или Олега; Георгий откажется от приглашения, если пригласят Евгения без
Андрея, а также в случае приглашения Виктора или Сергея. Кого мог пригласить Николай?
Вариант 9
В составе экспедиции должно быть шесть специалистов: биолог, врач, синоптик, гидролог, механик и радист. Имеется восемь кандидатов, из которых нужно выбрать шесть участников экспедиции. Имена претендентов: Андрей, Виктор, Сергей, Дмитрий, Евгений, Федор, Григорий, Николай.
Обязанности биолога могут выполнять Евгений и Григорий, врача – Андрей и Дмитрий, синоптика – Федор и Григорий, гидролога – Виктор и Федор, радиста – Сергей и Дмитрий, механика – Сергей и Николай. Предусмотрено, что в экспедиции каждый выполняет только одну обязанность.
Кого и в какой должности следует включить в экспедицию, если Федор не может ехать без Виктора, Дмитрий – без Николая и без Сергея, Сергей не может ехать вместе с Григорием, Андрей вместе с Виктором?
10