Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Этап формализации тесно связан с научно-инженерной дисциплиной, именуемой системным анализом [76].

На этапе анализа решаются так называемые прямые задачи, т.е. по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Лля этапа синтеза характерны обратные задачи, а именно определение входов системы по заданным (желаемым) значениям ее выходов. Использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования, исследования, проектирования, управления.

Весь опыт человечества показывает, что одни и те же математические модели и методы могут одинаково применяться в различных областях и для различных целей. Это обстоятельство определяет внутреннее единство математического моделирования и его место в системе подготовки специалистов (об этом см. также [13, 17, 18, 67, 94, 107]). Изучение математического моделирования должно идти вслед за изучением основных теоретических курсов и компьютерных технологий, но предшествовать выполнению основных курсовых и дипломных проектов.

в задачах управления синтез решения (выбор управляющего воздействия) осуществляется в процессе работы системы на основе текущей информации о ее поведении (так.называемый совмещенный, или управляемый, синтез). Управляемый синтез решения требует больше текущей, но меньше априорной информации, предоставляя новые возможности исследователю, проектировщику или конструктору системы.

Значительная часть книги является переработкой учебных пособий [74, 107] и посвящена вопросам построения математической модели, выбора ее структуры и параметров. Почти не затрагиваются вопросы анализа дискретных моделей, с которыми можно познакомиться, например, по книгам [26, 94, 77, 89, 88], а также вопросы синтеза решения, которым посвящена обширная литература по методам оптимизации и принятия решений (см.например, [9, 22, 48, 72, 76, 80, 92, 95, 98]).

На рубеже XXI в. применение математического моделирования и изучение его приемов уже немыслимы без компьюте-

8

ров и программного обеспечения, как специализированного, так и универсального. Поэтому целесообразно не разделять математическое моделирование и его программную поддержку, а говорить о математическом моделировании в той или иной программной среде, предоставляющей набор функциональных (расчетных) и сервисных возможностей и допускающей расширение с учетом специфики решаемых задач. В книге описывается одна из наиболее популярных программных сред MATLAB7*, разработанная фирмой "The MathWorks, Inc." (www.mathworks.com) и ставшая фактически международным стандартом учебного программного обеспечения в областях линейной алгебры, теории систем, теории управления, обработки сигналов и ряда других. Приводятся примеры решения задач в среде MATLAB 5я . Приводятся также примеры, показывающие опасность бездумного, поверхностного подхода к применению численных методов и пакетов программ, и возникающие при этом ошибки.

Читателя может заинтересовать похожая на MATLAB, но в отличие от нее свободно распространяемая система Scilab71, разработанная во Франции в институте INRIA (www-rocq. inria.fr/scilab, [128]). Краткие сведения о системе Scilab72 приведены в Приложении А.

Ограниченность объема книги диктует обзорный стиль изложения. В то же время важной ее частью являются примеры: ведь овладеть математическим моделированием - это значит научиться решать задачи, а чтобы научиться решать задачи, надо решать их. Материал книги основан на лекциях и практических занятиях, проводившихся авторами в течение ряда лет со студентами, аспирантами и слушателями ФПК преподавателей по информатике Балтийского государственного технического университета.

Замеченные опечатки и дополнительный материал по теме книги будут помещаться в Интернет на странице лаборатории "Управление сложными системами" ИПМАШ РАН

(www.ipme.ru/ipme/labs/ccs/ccs.html). Там можно найти и другие полезные сведения о публикациях, конференциях, программных продуктах, а также ссылки на другие источники информации по теории автоматического управления и смежным вопросам. В частности, рекомендуем посетить РУСИКОН - Российский архив по системам и управлению

9

Доверься мне в главном, Не верь во всем остальном.

Борис Гребенщиков

ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МО Д Е Л И Р О В А Н И Я

1.1.Понятие математической модели

Как уже было сказано в Предисловии, центральным понятием математического моделирования является понятие математической модели - совокупности математических объектов и отношений, которые отображают объекты и отношения некоторой области реального мира (предметной области).

Рассмотрим в качестве примера один из простейших видов математических моделей - линейное соотношение между двумя числовыми переменными. Если обозначить входную (независимую) переменную через и, а выходную (зависимую) через у, то такая модель имеет вид

где к - некоторый числовой параметр (коэффициент), выражающий свойства модели. Соотношение (1.1) является формальным выражением того факта, что между величинами и и у существует прямая пропорциональная зависимость. Подобными зависимостями описываются многие процессы в физических, биологических и других реальных (естественных или искусственных) объектах. Соотношение (1.1) (или другое аналогичное соотношение) может описывать как связь между конкретными переменными конкретного объекта, так и целый класс зависимостей, одинаковых для различных объектов. Наиболее общие и универсальные зависимости в естественных науках называются законами. Например, закон Ньютона в механике выражает тот факт, что ускорение тела прямо пропорционально приложенной к телу силе. Закон Ома в физике говорит, что сила тока, протекающего через участок электрической цепи, прямо пропорциональна падению напряжения на этом участке и т.д.

С точки зрения математического моделирования и закон Ньютона, и закон Ома являются примерами линейных статических математических моделей (1.1). В случае закона Ньютона и = F(t) - это сила, приложенная к телу в момент t,

11

лее общее понятие, чем закон, поскольку оно носит междисциплинарный характер. Успехи прикладной математики и математического моделирования основаны на том, что одними и теми же математическими моделями могут описываться совершенно различные по природе процессы, т.е. одни и те же приемы и методы построения и исследования математических моделей пригодны для различных объектов (задач).

С другой стороны, законы естественных наук часто являются "кирпичиками" для построения математической модели

является основным в теоретической и прикладной механике, а также в теоретической и прикладной физике, где модели конкретных процессов и объектов выводятся из общих вариационных принципов - законов (подробнее см., например, [90]). Однако готовых "кирпичиков" может оказаться недостаточно и тогда при построении математической модели добавляются дополнительные соотношения - связи. В частности, такал ситуация возникает, когда реальный объект состоит из нескольких частей (элементов, компонентов) или требуется описать взаимодействие нескольких различных по природе процессов, протекающих в объекте. Правила соединения отдельных частей в единую математическую модель, отражающие структуру взаимодействия этих частей, часто называются структурно-топологическими уравнениями (связями). Такие правила могут основываться на законах естественных наук, например на законе Д'Аламбера для механических систем и аналогичном (в силу электромеханической аналогии) законе Кирхгофа для электрических цепей. В общем случае для составления моделей целого из моделей отдельных частей используется аппарат теории графов и теории матриц [72, 97].

Однако, даже если уравнения отдельных частей и уравнения связей построены, задачу построения математической модели рано считать решенной, поскольку модель может со-

12

держать ряд параметров, которые недоступны или трудно определяемы в реальной системе. Их определение может потребовать дополнительных экспериментов с реальной системой с целью определения (идентификации) параметров математической модели. Например, в линейной модели (1.1) требуется оценить коэффициент к по результатам экспериментов.

Хотя методы оценки параметров достаточно хорошо разработаны (см. ниже гл. 4), их применение имеет принципиальные ограничения в силу невозможности построения абсолютно точной модели реальной системы. Наличие неустранимых погрешностей и помех создает ситуацию неопределенности, когда выходные переменные не определяются однозначно входными переменными и параметрами модели. Наличие неопределенности приводит к тому, что для одного и того же объекта или процесса может существовать несколько или даже бесконечно много математических моделей. Этот факт был отмечен еще Р. Лекартом в XVII в. Различные методы описания неопределенностей рассмотрены в гл. 3.

1.2.Математическое моделирование и теория систем

Важным понятием математического моделирования являет-

рассматриваем математическую теорию абстрактных систем как такую теорию математических моделей реально существующих систем, в рамках которой основные свойства этих систем исследуются с помощью весьма простых математических структур (согласующихся с интуитивной интерпретацией этих свойств)". Система в абстрактном смысле - эквивалент понятия математической модели и задается парой множеств U, Y (U - множество входов, Y-множество выходов) и отношением 1 на множестве U х Y, формализующим связь (зависимость) между входами и выходами.

1 Напомним, что отношением R на множестве X х Y (или отношение между X и У) называется подмножество множества X х У, т.е. некоторый набор пар R = {(х,у)}, где х € X, у £ Y. Например, функция у = х2 может быть представлена как отношение между множествами X = (-00,00), Y = = [0,оо), включающее те пары (х, у), для которых у = х2.

13