Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

сНачало

1Определение системы (выделение системы из среды)

1г

2Определение входов

ивыходов системы

1г

3Определение цели

1г

Построение ММ системы 4 (выбор структуры, параметров,

проверка адекватности)

Да

Конец

Рис. 1.2. Методика математического моделирования.

21

Этап 4• Построение ММ начинается с обозначения всех величин (переменных и постоянных), существенных для задачи. Введем следующие обозначения:

u(t) - сила тяги в момент времени t (входная переменная); y(t) - путь, пройденный к моменту t (выходная перемен-

ная); ут - расстояние от автомобиля до гаража (параметр).

Затем выписываются все уравнения и соотношения, существующие между введенными величинами, как в школьных задачках на составление уравнений. Если возможных урав-

22

Этап 5. Модель (1.4),(1.5) достаточно хорошо изучена и в детальном анализе не нуждается. Укажем лишь, что она адекватна, если можно пренебречь размерами автомобиля, ограничением на его мощность, силами трения и сопротивления и другими более второстепенными факторами.

Этап 6. Простейший вариант формализации цели

где t„ - момент остановки, который оказывается неудовлетворительным, поскольку в (1.6) не формализовано само требование остановки = 0, и, значит, не ясно, как система будет вести себя при t > Правильнее задать цель соотношением

из которого следует, в частности, что y(t) = 0 при t > tm. На первый взгляд, задача поставлена и можно, пропуская этап 7 (см. рис. 1.2), переходить к ее решению, т.е. к этапу 8. Но, оказывается, однозначного решения так поставленная задача не имеет: здравый смысл подсказывает, что существует бесконечно много способов достичь цели (1.7). Значит, нужно дополнить цель правилом отбора способов, позволяющим ответить на вопрос, какой способ лучше. Зададимся следующим разумным правилом: тот способ считается лучшим, который позволяет быстрее достичь цели. Формально новую цель можно записать так:

Но теперь физические соображения показывают, что решение поставленной задачи тривиально: искомый минимум в (1.8) равен нулю! Действительно, выбрав достаточно большую силу тяги, можно придать автомобилю как математическому объекту, описываемому ММ (1.4), (1.5), сколь угодно большое ускорение и сколь угодно быстро 1 переместить его

1 Математик здесь, конечно, заметит, что минимум в (1.8), строго говоря, может не достигаться и в формулировке (1.8) нужно заменить min на inf ("инфимум" - точная нижняя грань множества). Однако ситуация от этого не изменится: формализация в данном случае не отражает существа задачи, т.е. проведена неверно. В дальнейшем, чтобы не "пугать" инженера, мы будем пользоваться обозначениями min, шах, имея в виду, что при необходимости их следует заменить на более общие inf, sup.

23

на любое заданное расстояние. Видимо, требуется ввести какие-то ограничения, исключающие бессмысленные решения. Можно было бы усложнить ММ системы: учесть ограниченную мощность двигателя, его инерционность, силы трения и т.д. Однако разумнее попытаться остаться в рамках ММ (1.4), (1.5), (1.8), введя дополнительно лишь ограничения на силу тяги:

Таким образом, чтобы придать задаче смысл, нам пришлось возвратиться на этап 7.

Этап 8. Лля решения задачи можно было бы применить мощный и хорошо разработанный аппарат теории оптимального управления (вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и др., см., например, [95, 75]). Однако сначала надо попытаться решить задачу элементарными средствами. Лля этого часто бывает полезно перейти к геометрической интерпретации задачи, чтобы привлечь нашу геометрическую интуицию. Естественная интерпретация, в координатах "время - пройденный путь"(рис. 1.3, б), не дает ключа к решению, так как не позволяет в удобной форме представить ограничения на допустимые траектории движения автомобиля. Дело меняется коренным образом, если пе-

а ограничения (1.9) превратятся в ограничения на скорость изменения новой переменной:

Итак, мы изменили выход системы, из-за чего пришлось за-

24