Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Эта опция содержит несколько окон. При моделировании зададим в окне Solver (решатель) значение параметра Stop time (время окончания), равное Т, а в окне Workspace I/O (ввод-вывод в рабочую область) зададим значения параметров Time (время) и States (состояния) - t и х соответственно. Это дает возможность выводить массив моментов времени и состояний системы в рабочую область MATLAB для последующей обработки, а не только отображать индикатором Scope. 5-модель может быть запущена командой Start из меню Simulation. При этом должны быть заданы (содержаться в рабочей области MATLAB) численные значения всех параметров, обозначенных в модели идентификаторами. Представляется более удобным запускать SIMULINK на выполнение из MATLAB-программы. Эта программа должна содержать установку параметров модели, оператор моделирования, операторы обработки результатов. С этой целью используем приведенную выше головную программу интегрирования уравнений, заменив в ней только строчку обращения к процедуре ode45:

[t,x]=ode45('fpl _ 2',[0; T],x0);

на оператор sim запуска 5-модели. В рассматриваемом примере эта модель хранится в файле sl_2.mdl, поэтому соответствующий оператор имеет вид sim( ' s l _ 2 ' ) . В результате выполнения программы получаем относительную погрешность не более 2"13 % (т.е. близко к "машинному - е"), а время вычислений - порядка 0.06 с.1 При вычислении выполнено пх = 59 шагов; наименьший шаг имеет длину 1.5 • 10"14 с и соответствует моменту времени t\ а наибольший - длину 0.074 с. Как видно из полученных результатов, система SIMULINK является не только удобным, но и эффективным в вычислительном отношении инструментом моделирования.

1 Лля оценки времени вычислений использованы операторы tic и toe.

С чем рифмуется слово "истина" - Не узнать ни поэтам, ни гражданам!

Александр Галич

ГЛАВА 3. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ М О Д Е Л И

3.1.Классификация моделей

Этап построения математической модели (ММ) системы разбивается на две части: выбор структуры и выбор параметров. Как было сказано в п. 1.2, структура сложной системы определяется типами моделей каждой ее подсистемы и характером связей (отношений) между ними. Все многообразие имеющихся типов ММ можно классифицировать по нескольким основным признакам, см. табл. 3.1.

Т а б л и ц а З . 1 . Математические модели систем

Кроме того, структура модели определяется также набором размерностей - количеством переменных (входа, выхода, состояния) и параметров. Прежде всего следует дать краткую характеристику основным типам ММ.

1 То есть алгебраические, или трансцендентные .

53

3.1.1.Статические и динамические модели

Математическая модель системы называется статической, если значение выхода y(t) зависит от значения входа в один и тот же момент времени t. Символически это свойство записывается так:

где F - символ некоторого преобразования (оператора). Кроме явных функциональных зависимостей (3.1) статические модели могут задаваться неявно, в виде уравнения или системы

Так обычно записываются уравнения статических режимов радиоэлектронных схем, многих механических, энергетических систем и т.д. Уравнение (3.2) должно быть однозначно разрешимо относительно y(t).

Статическими моделями пользуются, когда в рамках поставленной задачи (с точки зрения достижения выбранной цели) инерционностью и "памятью" реальной системы можно пренебречь. Это возможно при выполнении ряда условий,

вчисло которых входят следующие:

1)система устойчива, т.е. переходные процессы после скачкообразного изменения входов затухают. Конечное время затухания с заданной точностью обозначим через *пер;

2)входы меняются медленно, т.е. Д£вх > fnep, где Д*вх - время между изменениями входных воздействий;

3)выходы изменяются редко, т.е. Д*вых > £пер, где Д£вых =

=h+i — tk ~ промежутки между измерениями входных вели-

чин.

В динамических моделях значение y(t) может зависеть от всего прошлого (предыстории) входного процесса:

Динамические модели позволяют учесть наличие "памяти", инерционности системы. Математическим аппаратом описания динамических систем являются дифференциальные, разностные уравнения, конечные автоматы, случайные процессы. Некоторые классы динамических моделей рассмотрены в п. 3.3.

54

3.1.2.Дискретные и непрерывные модели

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества С/, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное 1 множество. Под непрерывным (континуальным) будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью является отрезок, луч или прямая линия, т.е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества {/, Т лежат в многомерных пространствах, т.е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики)

(х < у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, 2 например линейные: х + у, х • у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (3.1)—(3.3) быть согласованными с этими операциями и сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: у = аи + Ь, dy/dt = ay + Ьи и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.

1 Строго говоря, счетное множество представляет собой некоторую идеализацию, которую невозможно реализовать практически из-за конечности размеров технических систем и пределов человеческого восприятия. Такие идеализированные модели (например, множество натуральных чисел N = {1,2,...} ) имеет смысл вводить для множеств с конечным,

но заранее не ограниченным (или неизвестным) числом элементов.

2 Формально понятие операции является частным случаем понятия отношения между элементами множеств. Например, операция сложения двух чисел задает трехместное (тернарное) отношение R: тройка чисел (х,у, z) принадлежит отношению R (пишем (х,у, г) € R)} если z = х + у.

55

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность У. Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем (табл. 3.1.2) по признакам "статические - динамические", "дискретные - непрерывные" включает шесть основных групп; для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Пример 3.1.1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, грубом, приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (ui) и человек без жетона (и2), т.е. U = {^i, i^}- После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (-гг0), т.е. U = {u0, Множество значений выхода содержит элементы "открыто" (у0) и "закрыто" (yi). Таким образом, У = {yo,2/i} и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

При необходимости хранить ММ системы в памяти компью-

П р и м е р 3.1.2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание жетона и прохождение человека. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения("есть" или "нет"). Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и0 - "нет

57