Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Это значит, что направления М, Ω и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 5). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости v = [Ωr] всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг соб- ственной оси.

Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М и угол наклона θ оси волчка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Ω3 вектора Ω на эту ось:

Для определения же скорости прецессии Ωпр надо разложить вектор Ω по правилу параллелограмма на составляющие вдоль x3 и вдоль М. Из них

227

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии, Из построения на рис. 5

Уравнения движения твердого тела.

Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в, виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.

Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования уравнений p& = f для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс частицы, а f — действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела

P = å p = μV

и полную действующую на него силу å f = F , получим:

dP = r

dt

F (20)

Хотя мы определили F как сумму всех сил f, действующих на каждую из частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в F входят лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой зам- кнутой системы, должен сохраняться, т. е. должно быть F = 0.

Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила F может быть определена путем дифференцирования ее по координатам центра инерции тела:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

с функцией Лагранжа (6), для которой:

Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего

производную по времени от момента импульса М. Для упрощения вывода удобно выбрать «неподвижную» (инерциальную) систему отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относительно нее.

Имеем:

Поскольку момент М определен относительно центра инерции (см. момент импульса твёрдого тела), он не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Отсюда следует, что уравнение движения (22), полученное здесь при определенном выборе системы отсчета, тем самым, в силу галилеевского принципа относительности, справедливо в любой инерциальной системе.

моментов всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе F , в сумме (23) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль.

Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В (22), (23) моменты определяются относительно центра инерции тела.

При переносе начала координат на расстояние a новые радиус-векторы

229

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от

выбора начала координат, если полная сила F = 0 (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил).

Уравнение (22) можно рассматривать как уравнение Лагранжа:

d ∂L = ∂L dt ¶W ¶ϕ

по отношению к “вращательным координатам”. Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа (6) по компонентам вектора Ω, получим:

При этом выбор а неоднозначен, прибавление к нему любого вектора, параллельного F, не изменит равенства (26), так что условие K ′ = 0 даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную

прямую линию. Таким образом, при K ^ F действие всех приложенных к

нему сил может быть сведено к одной силе F , действующей вдоль опре- деленной прямой линии.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет вид f = eE , где E —

постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует свойства частицы по отношению к данному полю4), В этом случае имеем:

4 Так, в однородном электрическом поле E есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В однородном поле тяжести E есть ускорение силы тяжести g , а е - масса частицы m.

230

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com