Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Имеем:

Tвр = 12 å m{Ωi2xi2-ΩixiΩk xk}=12å m{ΩiΩkδik xl2-ΩiΩk xixk}= 12 ΩiΩk å m(xl2δik -xixk ).

Здесь использовано тождество Wi =δikWk , где δik – единичный тензор,

известный как символ Кронекера (компоненты которого равны единице при i = k и нулю при i ¹ k ). Введя тензор

Iik = åm(xl2δik -xi xk ),

(4

)

получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде

T = μV2 2 + 12 IikWiWk .

(5

)

Функция Лагранжа твердого тела получается из (5) вычитанием

потенциальной энергии

частицы в этом поле, а mv2 2 - кинетическая энергия этой частицы.

Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.

Тензор Iik называется тензором моментов инерции или просто

тензором инерции тела. Из определения (4) следует, что он симметричен, т. е.

подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; так, AiBi = AB, Al2 = Al Al = A2и т. д.

Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно

не совпало с обозначением других фигурирующих в данном выражении тензорных индексов).

218

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице:

относительно соответствующих осей.

Тензор инерции, очевидно, аддитивен – моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей,

Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении (4) сумма заменяется интегралом по объему тела (поскольку число точек тела бесконечно):

Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции

может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей x1 , x2 , x3 . Эти направления называют главными осями

инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главными моментами инерции. Обозначим их как I1, I2, I3. При таком выборе осей x1 , x2 , x3 кинетическая энергия вращательного движения тела выражается очень просто:

Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так,

Тело, у которого все три главных момента инерции I1, I2, I3 различны,

называют асимметрическим волчком.

Если два главных момента инерции равны друг другу, т.е. I1 =I2 ¹I3 ,

то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости x1 x2 произволен.

Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции; в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси.

219

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией; ясно, что положение центра

инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией.

Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных в одной плоскости. В этом случае

существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции. Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости x1 x2 , то поскольку для всех частиц x3 = 0 , имеем:

инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. При этом если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каждую главную ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180°, и тогда выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка.

Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси x3, то для всех

Такую систему называют ротатором. Характерной особенностью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей x1 и x2 , говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла.

Теорема Штейнера.

Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отношению к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула (5)), но для его вычисления может иногда

оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор

220

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

По этой формуле, зная Iik′ , легко вычислить искомый тензор Iik .

Отсюда, в частности, вытекает очень важное следствие, известное как теорема Штейнера: если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции, равен Io , то момент инерции этого тела относительно

оси, параллельной первой и отстоящей от неё на расстояние a , равен

I = Io + ma 2 .

Это непосредственно видно из формулы (14): две компоненты вектора a равны нулю (относительно данной системы координат с началом в центре

инерции), а значит в формуле остаются лишь величины Iik и ma 2 .

Вычисление моментов инерции тел.

Молекулы.

Определим главные моменты инерции для молекул, рассматриваемых как системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга,

вследующих случаях:

1)Молекулы из атомов, расположенных на одной прямой.

Ответ:

I1 = I2 = μ1 å mamblab2 a¹b

где ma — массы атомов, lab — расстояние между атомами a и b, суммирование производится по всем парам атомов в молекуле (причем каждая пара значений а, b входит в сумму по одному разу).

Для двухатомной молекулы сумма сводится к одному члену, давая заранее очевидный результат — произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними:

I1 = I2 = m1m2 l2 m1+m2

221

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com