Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл (4,32Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 848

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

mv2		Mm		m		2	2 2		Mm
	- G		=		(r¢		+ r ϕ¢	) - G		= const	(2)
2	- G	r	=	2	(r¢		+ r ϕ¢	) - G	r	= const	(2)

Решая систему из двух последних уравнений с двумя неизвестными r(t),ϕ(t) найдем уравнение траектории.

Из (1): ϕ¢ =

. Введем также обозначение: ψ = 1/ r

dr dϕ

(

)

dϕ

= -

dψ

= -

L dψ

m dϕ

dt dϕ dt

dϕ ψ

ψ 2 dt mr2

Следовательно из (2) получаем:

(

dψ

)2 +ψ 2

- G

2m2M

ψ = const

dϕ

Продифференцируем это уравнение:

d 2ψ

+ψ = C,C =

GMm2

dϕ 2

´(cosϕ0 cosϕ + sinϕ0 sinϕ)=

Тогда:

ψ = C + Acosϕ + B sinϕ = C +

A2 + B2

= C(1+

A2 + B2

cos(ϕ -ϕ0 )), p =1/ C Þ

= r =

(3) , где p = 1/ C =

,e =

A2 + B2

1+ ecos(ϕ -ϕ0 )

Gm2 M

Уравнение (3) является уравнением эллипса в полярных координатах (е>1). Если же е<=1 тогда траектория примет вид параболы или гиперболы.

Из (3) видно, что: rmin = 1+pe ,rmax = 1-pe Запишем теперь ЗСЭ для этих двух случаев:

L2 æ

ö2

mM L2 æ

ö2

2E0 L2 ö1/ 2

vr = 0 Þ

- G r

= E0

2m ç r

Þ e = ç1

+ G2 m3 M 2 ÷

min ø

min

max ø

max

Второй закон Кеплера:

= r

´ mv

Þ r

´ dr

cos(r,dr ) = r × dr × cos(α) = r × dh = 2 × dS Þ

dt Þ òdS

= ò

dt Þ DS

Таким образом за равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади.

Третий закон Кеплера:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Из второго закона Кеплера видно, что

S =

T = πab = π

= π

1/C2

- e2

- e2 )3 / 2

1- e2

4m2S2

4m2π 2

4π

4π p3

4π

GMp (1

(1/ p)

)

- e

)

GMp (1- e

)

GM (1- e

Что и требовалось доказать.

Закон сохранения энергии (релятивистский случай). Закон взаимодействия массы и энергии.

Закон сохранения энергии в релятивистском случае.

Рассуждения относительно работы силы, потенциальности сил и потенциальной энергии остаются справедливыми и для движений с большими скоростями. Для получения

закона сохранения в релятивистском случае надо использовать соответствующее уравнение движения.

d			m0v			r
	(					) = F	(1)
dt	(					) = F	(1)
dt		1-		v	2
					2

				c2
				c2

Умножая обе части этого уравнения на v , получим:

= (F

×r )

(2)

dt ç

Продифференцируем левую часть уравнения (2):

d æ v

r ï

d ç

m0 v

r ï1

dv ï

v ×

÷ = m0 v × í

3 ×

ý =

dt è c

dt ï

1 -

ç1 -

æ v2

ö æ

öü

æ v2

v2 öæ r dv

÷ý

+ ç1 -

2 ÷çv

è c

ø è

øè

øþ

2 æ

dt è c

ç1 -

ç1

m0 c2

æ v2

d ç

m0 c2 ÷

÷,

2 æ

è c

dt ç

1 -

ç1

где учтено, что:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

öì ÷÷ív2 øî

æ v2 ö ü

+ç1 - ÷ × c2 ý = ç c2 ÷

è ø þ

1 - v2

m0 c2

(1- v2 c 2 )− 12 = -

(1- v2

c 2 )− 12−1 ×

(- v 2 c2 )=

(1- v2

c 2 )− 32

(v 2

c2 )

1- v

Следовательно, уравнение (2) имеет вид:

m0 c2

r r

(F × v )

(3)

dt ç

1 - v

Поскольку v × dt = dr , то соотношение (3) можно переписать так:

m0 c

dç

= (F

× dr )

(4)

1 - v

æ m		v2	ö	r	r
Сравнивая это уравнение с dç	0		÷	= (F	× dr ), приходим к выводу, что вместо
Сравнивая это уравнение с dç			÷	= (F	× dr ), приходим к выводу, что вместо
ç	2		÷
è	2		ø

кинетической энергии в результате совершенной работы изменится величина:

E = .

Легко убедиться, что справедливо следующее соотношение:

	E 2	= p2 + mo2 c2
	c2	= p2 + mo2 c2
	c2

(5)

(6)

ö 2

æ E ö

m0 c

mo c

v 2

è c

1 - v

ç c

1 -

c 2

ö2

2 v

÷ =

1 -

m2 c2

2 v2

+ mo2 c2

1 -

mo c = mo v + mo c ×

ç1 -

mo2 c2 = mo2 v2 + mo2 c2 - mo2 v2 Þ

0 º 0

E 2

Таким образом, соотношение

= p

+ mo c

справедливо при любых скоростях

движения тел. Выразив отсюда E, получим выражение для функции Гамильтона:

H = c

+ mo2 c2

(7)

При малых скоростях p << mo c :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

+1 » mo c2 ×ç1+

H = c p2 + mo2 c2 = c ×mo c

= mo c2

2mo

è mo c ø

что совпадает с известным классическим выражением функции Гамильтона Между энергией, импульсом и скоростью существует также следующее

соотношение:
r			E	r			E
p		=		v , причём, если v = c , то p =				.
p		=	c2	v , причём, если v = c , то p =			c	.
Предположим теперь, что частица движется в поле потенциальных сил, тогда
получим:
		m c2				+U = Const	(8)
		0

	1- v2			c	2
	1- v2				2

Эта формула выражает закон сохранения энергии в релятивистском случае. Потенциальная энергия U имеет тот же смысл, что и в нерелятивистской теории, а величина:

Е=		m c2			(9)
	0

	1- v2		c	2
	1- v2			2

называется полной энергия движущегося тела. В том случае, если тело покоится
( v = 0 ), то оно обладает энергией:
E	= m c2			(10)
0	0

которая называется энергией покоя.

Т.е. если тело покоится, полная его энергия не равна 0, тело обладает энергией, обусловленной наличием у него массы. Такая величина не фигурировала в нерелятивистской физике.

Из общего выражения для массы тела, движущегося со скоростью v , m =		m0

1- v2 c2

можно сделать важные выводы о закономерной связи между массой и энергией. Масса растет со скоростью, следовательно, можно предполагать связь при малых значениях v c .

m = m (1- v

)

− 1

= m +

m v2

+ ... = m +

1 m v2

2 c2

c2 2

m0 v2

= W

(11)

– кинетическая энергия. При этом полная энергия E движущегося тела равна

m c2

= m c2

+W .

1- v2

m = m0 +

m0 v2

æ 1

(12)

è c2

m0 v2

Второй член и отражает рост массы за счет повышения скорости.

= W –

кинетическая энергия в механике Ньютона.

По принципу относительности, если некоторый закон справедлив относительно одной инерциальной системы, то он должен быть справедлив относительно любой,

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы

Лаб раб Вязкость возд Пуазейль ТРИ ИТОГ.doc

Законы сохраненияЛекция.doc

Законы сохранения.doc

ВсяМехЛАБраб2части.doc

ВсяМехЛАБраб2части.doc

Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно