Файл: А.В. Бирюков Методы анализа и обработки наблюдений.pdf

10

Пусть имеются пары наблюдений (xi, yi), i=1,2,…,n. Значения xi и yi независимо друг от друга расположим по возрастанию и ранжируем, приписывая ранги 1,2,3 и т.д. в порядке возрастания элементов выборок.

Разность рангов у соответствующих друг другу значений xi и yi обозначим через λI (от ранга xi вычитается ранг yi). Тогда статистика Спирмена r0 [-1;1] имеет вид:

n

r0 =1−6∑λi2 / n(n2 −1) (5.2)

i=1

Корреляция признается значимой (неслучайной), если найденное значение статистики (5.2) превосходит критическое (табл.13).

Таблица 13

5.3. Метод наименьших квадратов

При наличии зависимости между случайными величинами х, у естественно искать ее аналитическое выражение у=f(x), называемое уравнением регрессии или регрессионной моделью. Если имеются экспериментальные данные (xi, yi), i=1,2,…, n, т.е. n точек с координатами xi, yi, то через них требуется провести линию так, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений yi от расчетных f(xi) была бы минимальной. Другими словами, требуется найти значения параметров функции y=f(x), при которых величина

11

достигает минимума.

Решение этой задачи осуществляется известными методами поиска минимума функции нескольких переменных. Для этого частные производные от Q по параметрам приравниваются к нулю и решается получившаяся система уравнений относительно параметров.

5.4. Линейная регрессия

Метод наименьших квадратов хорошо иллюстрирует поиск линейной регрессии y=кх+в c двумя параметрами к и в. Для нее величина (5.3) имеет вид:

Разделим обе части этих уравнений на объем выборки n и перейдем к средним значениям:

_

x2 - средний квадрат.

Второе из уравнений (5.6) показывает, что искомая прямая прохо-

_ _

дит через точку с координатами ( x , y ). Исключая из системы уравне-

ний параметр в, окончательно получим:

_ _

y − y = к(x − x) ,

5.5. Адекватность регрессионной модели

Регрессионная модель y=f(x) адекватна, если она пригодна для прогнозирования величины y по значению величины х. Проверка модели на адекватность основывается на сравнении остаточной дисперсии S2 с

дисперсией случайности S02 . Остаточная дисперсия с числом степеней

где n – объем выборки, к – число параметров модели.

Для вычисления дисперсии случайности необходимо иметь параллельные наблюдения, т.е. несколько значений yi при фиксированном значении xi. Пусть m – число параллельных наблюдений, а y0 – среднее значение y в группе параллельных наблюдений. Тогда дисперсия случайности с числом степеней свободы f2=m-1 имеет вид:

Регрессионная модель признается адекватной, если остаточная дисперсия не превосходит дисперсию случайности при их сравнении по какому-либо критерию (например, по критерию Пиллаи). Такое сравне-

ние проводится лишь в случае S 2 > S02. Если же S 2 < S02 , то регрессионная модель адекватна.

6.Временные ряды

6.1.Случайность временного ряда

Временным рядом длины n называется числовая последовательность z1, z2,…, zn, полученная в результате наблюдений за некоторой величиной z через равные промежутки времени. Если значения z подвержены колебаниям, то возникает вопрос, не являются ли эти колебания случайными.

Простейший критерий случайности временного ряда основан на подсчете числа поворотных точек m, т.е. числа пиков и впадин на гра-

13

фическом изображении ряда. Для случайного ряда величина m имеет нормальное распределение с параметрами

_

где m , σ2 – среднее и дисперсия случайной величины m. Следовательно, с надежностью 0,95 временной ряд можно считать случайным, т.е. не зависящим от времени, если

6.2. Временной тренд

Временным трендом называется зависимость величины z от времени t, выраженная некоторой функцией z=z(t). Поскольку любую дифференцируемую функцию можно с желаемой точностью аппроксимировать полиномом, то временной тренд обычно представляют в полиномиальном виде. Чаще всего для этого используются полиномы первой или второй степени.

Если временной ряд содержит полиномиальный тренд с наложенной на него случайной компонентой, то было бы естественно исследовать, нельзя ли исключить тренд путем рассмотрения разностных рядов вида

С увеличением порядка разностного ряда дисперсия (6.4) убывает. Если начиная с некоторого значения порядка К=К0 это убывание становится незначимым (при сравнении дисперсий, например, по критерию Пиллаи), то число К0-1 равно степени полинома, описывающего временной тренд. При этом разностный ряд порядка К0 является случайным (несодержащим тренд), а его дисперсия S2(К0) есть дисперсия случайности, т.е. дисперсия случайной компоненты временного ряда.

На практике, как было отмечено, для описания временного тренда достаточными оказываются полиномы z=at+в и z=at2+вt+c. Их коэффициенты легко найти методом наименьших квадратов.

14

6.3. Автокорреляция

Для временного ряда z1, z2,…, zn естественным является вопрос о коррелированности значений (z1, z2), (z2, z3),…, (zn-1, zn). Ответ на этот вопрос дает вычисление соответствующего коэффициента корреляции r1. Если окажется, что найденное значение r1, меньше критического, то корреляция между членами ряда отсутствует, т.е. ряд является случайным.

В общем случае можно исследовать корреляцию для пар значений

(z1, zк), (z2, zк+1) и т.д., вычисляя коэффициент корреляции rк. Набор значений rк называют коррелограммой временного ряда, которая со-

держит важную информацию о временных рядах.

7. Планирование эксперимента

Спланированный эксперимент позволяет получить во много раз больше информации об изучаемом объекте по сравнению с пассивными наблюдениями. Здесь мы рассмотрим два случая планирования эксперимента: изучение объекта по схеме «черного ящика» методами дисперсионного анализа и планирование с целью построения многофакторной регрессионной модели.

7.1.Дисперсионный анализ

Рассмотрим некоторый объект, изучение которого детерминированными методами невозможно. Пусть Х – выходной параметр, т.е. основная характеристика объекта, подлежащая изучению. Вариация значений выходного параметра обусловлена влиянием многих факторов. Из каких-либо априорных соображений выделим из них группу основных факторов, а остальные отнесем к случайным.

Для конкретизации дальнейшей схемы рассуждений будем считать основными факторы А,В,С,Д. Сила влияния каждого из них на выход-

ной параметр определяется факторными дисперсиями S12 , S22 , S32 , S42 , а совокупное влияние случайных факторов – дисперсией S02 . Задача пла-

нирования эксперимента состоит в разложении общей дисперсии выходного параметра S2 на сумму факторных дисперсий и дисперсии случайности, т.е.