Файл: А.В. Бирюков Методы анализа и обработки наблюдений.pdf

15

Однофакторный анализ

Пусть основным фактором является лишь один фактор А, который варьируется, например, на трех уровнях А1, А2, А3. Проводя на каждом уровне по три параллельных наблюдения за выходным параметром, получим следующую матрицу эксперимента:

Дисперсию случайности S02 можно найти как среднее значение дис-

персий элементов в каждом столбце матрицы. Она будет иметь 6 степеней свободы. Общая дисперсия всех элементов матрицы

S2= S12 +S02 имеет 8 степеней свободы.

Влияние фактора А на выходной параметр признается значимым, если F = S 2 / S02 превосходит критическое значение статистики Фишера.

В этом случае факторную дисперсию находим как разность

S12 = S 2 −S02 .

Двухфакторный анализ

Основные факторы – А и В. Каждый из них варьируется на трех уровнях. Матрица эксперимента имеет вид:

Здесь уже параллельные наблюдения отсутствуют. Каждому сочетанию уровней факторов отвечает единственное значение выходного параметра.

Обозначим сумму элементов i-го столбца матрицы через ui,а сумму элементов i-й строки – через Vi. Схему вычислений для анализа результатов эксперимента представим следующим образом. Найдем величины

где i,j=(1, 2, 3). Введем в рассмотрение вспомогательные дисперсии:

16

у которых по две степени свободы. При этом дисперсия случайности

S02 = 14 (E +G −F1 −F2 )

имеет четыре степени свободы.

Для того, чтобы влияние факторов А и В на выходной параметр можно было признать значимым, нужно, чтобы дисперсии S A2 и SB2 зна-

n 2

чимо превосходили дисперсию случайности Q=∑(yi−кi−xв) (при их сравнении по

i=1

какому-либо критерию). В этом случае факторные дисперсии оцениваются как

Трехфакторный анализ

Основные факторы – А, В, С. Прежде всего возникает вопрос, можно ли сохранить число опытов (в наше случае равное 9) при изучении влияния третьего фактора.

Этого можно достигнуть таким расположением уровней третьего фактора С1, С2, С3, чтобы в каждой строке и каждом столбце матрицы присутствовали все уровни фактора С. Такой план эксперимента имеет вид:

Например, значение выходного параметра Х32 получено при усло-

вии: А=А3, В=В2, С=С1.

Схема вычислений по сравнению с предыдущей преобразуется следующим образом. Величины Е, F1, F2, G остаются неизменными. Дополнительно к ним находим:

F3 = 12 ∑wi2 ,

где wi – сумма значений выходного параметра на i-м уровне фактора С. Находим также вспомогательную дисперсию

SC2 = 12 (F3 −E)

17

с двумя степенями свободы. Дисперсия случайности

S02 = 12 (E +2G −F1 −F2 −F3 )

имеет две степени свободы.

Влияние фактора С признается значимым, если дисперсия SC2 значимо превосходит дисперсию случайности S02 . При этом факторная

дисперсия находится как

S32 = 12 (SC2 −S02 )

Четырехфакторный анализ

Факторы А, В, С, Д варьируются на четырех уровнях, а число всех опытов равно 16. План эксперимента имеет вид:

Например, значение выходного параметра Х43 получено при условии А=А4, В=В3, С=С2, D=D1. За счет увеличения числа опытов схема вычислений несколько преобразуется. Величина Е равна сумме квадратов всех 16 элементов матрицы. Остальные величины имеют вид:

где i,j=(1, 2, 3, 4). К ним добавляется величина

F4 = 13 ∑zi2 ,

где zi – сумма значений выходного параметра на i-м уровне фактора D. Вспомогательные дисперсии

имеют по три степени свободы, а дисперсия случайности

18

S02 = 13 (E +3G −F1 −F 2−F3 −F4 )

также имеет три степени свободы. Структура анализа такая же, как и прежде. Влияние фактора D признается значимым, если дисперсия SD2 значимо превосходит дисперсию случайности S02 . При этом факторная дисперсия находится как

S42 = 13 (SD2 −S02 )

Найденные таким образом дисперсии S12 , S22 , S32 , S42 , S02 могут служить ранжировкой факторов по силе влияния на выходной параметр.

7.2. Планирование эксперимента при построении многофакторной регрессионной модели

Рассмотрим конкретный случай, когда на выходной параметр у влияют три количественных фактора Х1, Х2, Х3. Требуется найти регрессионную модель y=f(X1, X2, X3), называемую функцией отклика.

Каждый фактор принимает значения на некотором отрезке xi [ai, вi], i=1, 2, 3, охватывающие весь рабочий диапазон. Поэтому областью эксперимента является трехмерный параллелепипед.

При планировании эксперимента натуральные значения факторов X1, X2, X3 переводятся в кодированные значения Z1, Z2, Z3 по формулам

zi=(2Xi-вi-ai)/(вi-ai).

При этом значениям xi=ai, xi=вi соответствуют значения zi=-1, zi=+1, называемые нижним и верхним уровнями фактора. Совокупность опытов, проведенных при всевозможных сочетаниях уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Для полного трехфакторного эксперимента число опытов равно 8.

При составлении плана эксперимента верхний уровень факторов обозначается знаком (+), а нижний – знаком (-). План полного трехфакторного эксперимента имеет вид:

Например, значение выходного параметра y3 получено при условии: факторы x1 и x3 находятся на верхнем уровне, а фактор x3 – на нижнем.

Приведенная матрица эксперимента называется основной. Перемножение ее столбцов дает следующую дополнительную матрицу:

Проведенный таким образом эксперимент позволяет построить следующую регрессионную модель:

y=H0+H1z1+H2z2+H3z3+H12z1z2+H13z1z3+H23z2z3.

Свободный член этого уравнения Н0 является значением выходного параметра в центре эксперимента и определяется как среднее значение

Н0=(у1+у2+…+у8)/8

Коэффициенты уравнения Н1, Н2, Н3 называются линейными эффектами и равны средним значениям выходного параметра с учетом знаков столбцов основной матрицы планирования, т.е.

Н1=(у1-у2+у3-у4+у5-у6-у7-у8)/8 , Н2=(у1+у2-у3-у4+у5+у6-у7-у8)/8 , Н3=(у1+у2+у3+у4-у5-у6-у7-у8)/8

Коэффициенты модели Н12, Н13, Н23 называются эффектами парных взаимодействий факторов и вычисляются как средние значения выходного параметра с учетом знаков в столбцах дополнительной матрицы планирования, т.е.

Н12=(у1-у2-у3+у4+у5-у6-у7+у8)/8 , Н13=(у1-у2+у3-у4-у5+у6-у7+у8)/8 , Н23=(у1+у2-у3-у4-у5-у6+у7+у8)/8