Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.06.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

24

занной из круглого бревна диаметром d, чтобы её сопротивление на изгиб было наибольшим?

116. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает t +t 2 часть

курса, забывает 18t - ю часть. Сколько дней нужно затратить на под-

готовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

117.Полотняный шатёр объёмом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатёр ушло наименьшее количество полотна?

118.Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

119.Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, с наименьшей стрелой прогиба?

120.Найти отношение диаметра цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объёме V наименьшую полную поверхность.

25

№ 121-150. Провести полное исследование данной функции и начертить её график.

121.y = x4 x− 3 .

122.y = x2 + x12 .

123.

y =

 

x3

.

 

3

− x2

 

 

 

 

 

124.

y =

 

x

 

.

 

x

2 −1

 

 

 

 

125.

y =

4x −12

.

 

 

 

(x − 2)2

126.y = xx + 3 .

127.y = x2 8− 4 .

128.y = x2x−2 1.

129.y = (x2 −1)3 .

130.y = x3 + x2 .

3

131.

y =

 

x2

 

.

 

 

x

2 − 2

 

 

 

 

 

 

 

132.

y =

(x −1)2 .

 

 

 

x2 +1

 

 

133.

y =

x

2 + 2x − 3

.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

134.

y = x3 +

x4

.

 

4

 

 

 

 

 

 

 

135.

y = x3 − 3x2 .

 

136. y = (x −1)2 (x + 2).

137. y = 6x2 − x4 .

9 − x

138. y = 9 +4xx2 .

139.

y =

x3

 

.

x −

1

 

 

 

140.y = x2 − x − 6 .

x− 2

141.y = x2 (16x − 4).

142.y = (x2 −1)3 .

143. y =

 

x4

.

(1

+ x)3

 

 

144.y = 3x5 − 5x3 .

145.y = x3 (x − 5).

146.y = x + x1 .

147.

y =

x4

+ x3 .

4

 

 

 

 

 

 

2 −1

 

148.

y =

 

2x

.

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

149.

y =

 

x4

 

− 2x2 .

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150.y = 3 − x2 .

x+ 2

26

Контрольная работа № 4

1-30. Найти область определения функции двух переменных. Сделать схематический чертёж.

1.

z =

1 − x2 − y2 .

16.

z =

xy.

 

 

2.

z = ln(x2 − y).

17.

z =

1

 

.

9 − x2

− y2

 

 

 

 

 

 

 

3.

z = x + arccosy.

18. z = ln(y(x − 3)).

 

4.

z =

y sin x.

19. z =

x2 + y2 − 2.

5.

z = ln(xy).

20.

z = ln(2x + y).

 

6.

z = ln y − ln(cosx).

21.

z = y2 − arccosx.

7.

z =

4 − x2 − y2 .

22.

z =

x cosy .

 

8.

z = ln(x − y).

23.

z =

y ln x.

 

9.

z = 2x + arcsiny.

24.

 

 

1

 

z =

2 − x2 − y2 .

10.z = x sin y .

11.z = x ln y .

12.z = ln(x(y −1)).

13.z = 16 − x2 − y2 .

14.z = ln(x + y).

15.z = arccosy − x.

25.z = x2 + y2 − 4.

26.z = ln(2y − x2 ).

27.z = y + arcsinx.

28.z = y cosx.

29.z = x2 − y .

30.z = ln x − ln(sin y).

31-60. Дана функция z=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

31.

z = exy ; x2 ∂2z

− y2

∂2z

= 0.

 

 

∂y2

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

32.

z = e−cos(ax+y);

a2

∂2z

 

=

∂2z .

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

33.

z = ln(x2 + y2 + 2y +1);

 

 

∂2z +

∂2z

= 0.

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

34.

z = sin2 (y − ax);

a2

∂2z

 

= ∂2z .

 

∂y2

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

35.

z = y

;

x2 ∂2z

+ 2xy

 

∂2z

 

 

+ y2

∂2z

 

= 0.

∂x∂y

∂y2

 

 

x

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36.

z = y

y

;

x2 ∂2z

− y

2 ∂2z

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

37.

z =

 

x ;

 

x2 ∂

2

z − ∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

y2

∂z

 

 

 

 

 

y

 

 

∂x2

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

sin(x − y)

 

 

 

∂

 

 

 

∂z

 

 

 

 

∂2z

 

38.

z =

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

− x2

 

 

 

= 0.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

2

 

 

 

 

∂

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

z = arctg x

;

 

 

z +

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

40.z = e x ;

41.z = xy ;

∂

2

∂z

 

2

∂2z

 

 

x

 

 

− y

 

 

= 0.

 

 

 

∂y2

∂x

 

∂x

 

 

 

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

42.

z = ex (cosy + xsin y);

 

 

 

 

∂2z

 

 

 

=

 

 

∂2z

.

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

43.

z = e2xy2;

 

 

2

 

 

∂2z = 4

∂2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.

z = ex sin y;

∂2z

+

 

 

∂2z

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

∂

2

 

 

 

 

 

 

∂

2

z

 

 

 

 

45.

z = e(x+2)y

;

 

x + 2

 

 

 

 

 

z −

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

z = x3 + xy2 − 5xy3 + y5;

 

 

 

∂2z

=

∂2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x∂y

∂y∂x

47.

z = 4y2

x;

 

 

 

2

 

∂

2

z

 

+ ∂

2

z = 0.

 

 

 

8 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

z = exy

2

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

∂2z

 

 

 

 

 

 

∂2z

 

 

 

 

;

 

2(y2x +1)

 

 

=

∂x2 .

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

49.

z = ln(x + y2 );

2y

 

∂2z

=

 

∂2z

.

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

50.

z =

x

;

 

∂2z

=

∂2z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

∂x∂y

 

∂y∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

51.

z = esin(x+2y);

4

∂2z

=

∂2z

.

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

52.

z = cos2 (y + 3x);

 

∂2z

 

=

 

∂2z

.

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

53.

z = 2x3 5y +1;

 

∂2z

=

 

∂2z .

 

 

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

54.

z = e3y cosx;

9 ∂2z +

 

∂2z

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55.

z = x3y2 − 3xy3 − xy +1;

 

 

∂2z

 

=

∂2z

.

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

56.z = 3axy − x3 − y3;

57.z = x3y + ln y − x;

y ∂2z = ∂2z . x ∂x2 ∂y2

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

58.

z = ey cos5x;

25

∂2z

+

∂2z

= 0.

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

∂y2

 

59.

z = axy ; x2

∂2z =

∂2z

.

 

 

 

 

 

 

y2

∂x2

∂y2

 

60.

z = ln(xy +1);

 

∂2z

 

=

∂2z

.

 

∂x∂y

 

∂y∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

61-90. Дана функция z=f(x,y) и две точки A(x0 , y0 ) и B(x1 , y1 ). Требу-

ется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точ-

ке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0 , y0 , z0 ).

61.

z = x2

+ 3xy + y2 ,

A(3,1),

B(3,05;1,02).

62.

z = xy + y2 − 2x, A(2,1),

B(2,03;0,96).

63.

z = x2

+ y2 − x + y,

A(− 2,2),

B(− 2,02;2,05).

64.

z = 2x2 + 2xy − y2 ,

A(1,3),

B(0,95;2,94).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

65.

z = x2 + 3xy − y2 ,

A(1,3),

B(0,96;2,95).

66.

z = xy + 2x − y,

A(2,2),

B(1,93;2,05).

67.

z = 3y2 − 9xy + y,

A(1,3),

B(1,07;2,94).

68.

z = xy + x − y,

A(1,5;2,3),

B(1,43;2,35).

69.

z = y2 − xy − x2 ,

A(− 4,5),

B(− 3,92;5,06).

70.

z = x2 + y2 − x − y,

A(1,−3),

B(1,08;−2,94).

71.

z = x2 + 2x + y2 ,

A(1,2), B(1,03;1,97).

72.

z = 2x2 − 9xy − y,

A(1,1),

 

B(0,98;1,03).

73.

z = 3y2 + xy − x − y,

A(2,1),

B(1,96;0,99).

74.

z = xy + y2 − x,

A(3,2),

B(3,03;1,92).

75.

z = 2x + 3y − y2 ,

A(1,2),

B(1,08;2,01).

76.

z = y − xy + x2 ,

A(1,3),

B(0,96;3,05).

77.

z = 2y2 − 3x2 − x + 2y,

A(− 2,1),

B(−1,93;0,92).

78.

z = 3y2 − 2xy + x2 ,

A(3,−1),

B(3,04;−0,93).

79.

z = 7x + 8y − xy,

A(5,3), B(4,98;3,03).

80.

z = x2 − y2 + 5xy,

A(− 3,−2),

B(− 3,02;−1,98).

81.

z = y2 − 3xy + x2 ,

A(−1,1),

 

B(− 0,96;1,04).

82.

z = x + y − 4y2 ,

A(2,−5),

B(2,01;−4,93).

83.

z = 2x2 + y2 − x − 2y,

A(− 2,3),

B(−1,97;2,94).

84.

z = 7x2 + y2 − 3x,

A(1,2),

B(1,01;2,03).

85.

z = x + y − 8xy,

A(3,2),

B(3,04;1,98).

86.

z = 4xy + y2 − 2x2 ,

A(5,2),

 

B(5,07;2,04).

87.

z = 8x2 + 7y2 − 5y,

A(1,2),

 

B(0,95;2,05).

88.

z = 3x + 4y − y2 ,

A(−1,−1),

B(− 0,93;−1,04).

89.

z = x2 − y2 + xy,

A(3,−1), B(3,01;−1,08).

90.

z = 3y − 5xy − y2 ,

A(2,−1), B(1,92;−1,03).

 

91-120. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y)

в замкнутой области. Сделать чертёж.

91.

z = x2 + y2 − xy − 4x

 

в

 

треугольнике, ограниченном прямыми

 

x = 0, y = 0, 2x + 3y −12 = 0.

 

Смотрите также файлы