Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
6
|
mx + ny |
|
|
|
≤ mn |
|
|
|
||||
|
( m |
− n )x + ( − 1)n y ≤ m − n |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
1) |
m |
my ≤ 0 |
|
|
|
||
|
( − 1) x + ( − |
|
|
|
|
|||||||
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2х + у ≤ |
10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х + |
3у ≤ |
15 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
х + |
у ≥ |
0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Строим прямые, являющиеся границами области: |
|||||||||||
|
2х + у = 10, х + 3у = 15, х + у = 0. |
|||||||||||
|
х 0 5 |
|
|
|
х 0 |
15 |
х |
0 5 |
||||
|
у 10 |
0 |
|
|
|
у 5 |
|
0 |
у |
0 -5 |
||
|
Выделяем части плоскости (полуплоскости), которые соответст- |
|||||||||||
вуют |
знакам неравенств. |
Для этого подставляем координаты произ- |
||||||||||
вольной точки в неравенства и проверяем их знак. Так для точки О(0;0) 1-е и 2-е неравенства выполняются, поэтому все точки плоскости, лежащие по одну сторону от прямых вместе с точкой О являются решением 2-х первых неравенств. Выполнение третьего неравенства нельзя проверить координатами точки О, т.к. получаем 0=0. Выбираем другую точку, например (0;5). Для него 3-е неравенство выполняется. Поэтому соответствующая полуплоскость лежит выше 3-ей прямой. Находим пересечение полуплоскостей и получаем область, соответствующую системе неравенств (на рисунке она заштрихована).
7
Контрольная работа № 2 Введение в математический анализ Дифференциальное исчисление
|
1. Найти пределы [1,68-77]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
lim |
|
(m − |
2n)x3 + nx2 + |
(m − n) x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
m + nx − |
(2m − |
n)x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) |
lim |
x3 − |
nx2 − |
( − |
1)m mx + |
( − 1)m nm |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 + ( m − n )x − mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) lim ln(1+ |
( − 1)n |
|
2mxn − |
nxm ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
nxn + |
mxm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a) lim |
|
|
2x3 |
− 4x2 + 1 |
= |
|
∞ |
|
2x3 − 4x2 + 1 ~ |
2x3 , 3 |
− 2x − |
x3 ~ − x3 |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 − |
2x − x3 |
|
|
∞ |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
x→ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
lim |
|
2x3 |
= |
− 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
lim |
( x |
− 2 )( x + 2 ) |
= lim |
|
x + 2 |
|
4. |
|
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x |
− 2 )( x − 1) |
|
x − 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
x→ |
2 x2 − |
3x − 2 |
|
0 |
|
x→ |
2 |
x→ 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) |
lim |
ln(1 |
− |
x3 ) |
= |
|
0 |
= |
ln(1− x3 ) ~ − |
x3 |
= |
lim |
− |
x3 |
= |
|
− |
lim x = |
0. |
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 x2 |
|
|
|
x→ 0 |
|
||||||
|
2. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж [1, c.77-81]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(− 1)m mx2 , x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y = |
|
(− 1)n nx + (− 1)n + (− 1)m ,0 " x ≤ m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(− |
1) |
m |
/(m − x), x ! m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3x2 ,x ≤ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y = |
|
− 2x,0 " x ≤ 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
− |
4,x ! 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8
На интервалах (–∞ ;0), (0;4), (4;+∞ ) функция непрерывна. Исследуем поведение функции в точках х=0 и х=4.
lim |
y = |
lim |
3x2 = |
0 = y( 0 ). lim |
y = |
lim − |
2x = |
0. |
||
x→ 0− 0 |
|
x→ 0− 0 |
|
x→ |
0+ 0 |
x→ |
0+ 0 |
|
|
|
В точке х=0 функция непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
y = |
lim |
− 2x = |
− 8 = y( 4 ). |
lim |
y = |
lim |
x − |
4 = 0. |
|
x→ 4− 0 |
|
x→ 4− 0 |
|
|
x→ |
4+ 0 |
|
x→ 4+ 0 |
|
|
В точке х=4 функция имеет разрыв 1-го рода.
3.Исследуйте поведение функций и постройте их графики [1, c. 81-
100].
|
а) |
y = ( − 1)n xn+ 2 + ( − 1)m( n + 2 )xк / k + ( n − m ), |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
( − 1)m + ( − 1)n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k = |
1+ |
|
|
, |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = ( − 1)m x2 + n . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( − 1)n xк − |
m |
|
|
|
|||||
|
Примеры: а) у=5х4-4х5+1. |
|
|
||||||||||
Область определения функции (–∞ ;+∞ ). |
|
|
|||||||||||
lim y = |
|
lim ( 5x4 − 4x5 + 1) = |
lim ( − 4x5 ) = #∞ . |
|
|
||||||||
x→ |
±∞ |
x→ |
±∞ |
|
|
x→ ±∞ |
|
|
|||||
Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. |
|
|
|||||||||||
Находим наклонные асимптоты у=kх+b. |
|
|
|||||||||||
k = |
lim |
y |
= |
lim |
5x4 − |
4x5 + 1 |
= |
lim ( 5x3 − 4x4 + 1/ x ) = |
lim − |
4x4 = −∞ . |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
x→ ∞ |
x |
x→ ∞ |
x |
x→ ∞ |
x→ ∞ |
|
||||||
|
Следовательно, наклонных асимптот нет. |
|
|
||||||||||
|
Устанавливаем |
области |
монотонности и находим |
экстремумы |
|||||||||
9
функции:
у′=20х3-20х4=0, х3-х4=0, х3(1-х)=0.
х1=0, х2=1 – критические точки на экстремум.
Определяем знаки производной на интервалах и соответственно области монотонности:
Т.о. ymin( 0 ) = 1, ymax(1) = 2.
Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и находим точки перегиба: y′′=(20x3–20x4)′=60x2–80x3=0,
3х2 – 4х3 = 0; х1 = 0, х2 = 3/4 – критические точки на перегиб. Определяем знаки второй производной на интервалах, а по ним -
области выпуклости и вогнутости графика: Т.о. х2 =3/4 – точка перегиба, у(3/4) = 1,6.
Составляем таблицу характерных точек функции и по ней строим ее график:
х |
-∞ |
0 |
3/4 |
1 |
+∞ |
у |
+∞ |
1 |
1,6 |
2 |
-∞ |
• |
|
y |
|
|
|
|
|
|
(+∞ ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
• |
|
|
|
|
(– ∞ |
) |
0 |
3/4 |
1 |
(+∞ |
) |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(– ∞ |
) |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|