Файл: В.М. Волков Математика. Контрольные работы №1, 2, 3 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических спецальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 2 |
|||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
||||
Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(с действи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 и y0 - координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тельной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(x − x |
|
)2 |
|
|
(y − y |
|
)2 |
|
центра |
|
|
|
|
||
осью Ox ) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
=1 |
|
0 |
|
− |
|
|
0 |
|
=1 |
a -действительная полу- |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b |
2 |
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ось |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b - мнимая полуось |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 и y0 - координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
центра |
|
|
|
|
||
(с действи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b - действительная полу- |
|
|
|
|
||
тельной |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
осью Oy ) |
y |
|
− |
x |
|
=1 |
(y − y0 ) |
− |
|
(x − x0 ) |
=1 |
ось |
|
|
|
|
||||||
b2 |
a2 |
b2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a - мнимая полуось |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Парабола |
|
|
|
|
|
x0 и y0 - координаты |
||
( с осью |
|
|
|
|
|
|||
симметрии |
|
|
|
|
|
вершины |
||
Ox ) |
y2 = 2 px |
(y − y0 )2 = 2 p(x − x0 ) |
|
p |
|
- расстояние от фокуса |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
F (c, 0) до директрисы |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x = − |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 2 |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
|
||||
Парабола |
|
|
|
|
|
x0 и y0 - координаты |
|
|
|
||
(с осью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
симметрии |
|
|
|
|
|
вершины |
|
|
|
||
Oy ) |
x2 = 2 py |
(x − x0 )2 = 2 p(y − y0 ) |
|
p |
|
- расстояние от фокуса |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
F ( 0, c) до директрисы |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y = − |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. При построении области решений системы неравенств в задачах № 1-30 необходимо знать уравнения прямых на плоскости [6, гл. 3, п. 1] и кривых второго порядка [6, гл.3, п2, табл. 2].
Построение областей следует начинать с построения ограничивающих их линий. Например, область решения системы неравенств
|
2 |
− 2 y |
2 |
− 6x −12 y − 27 |
≥ 0 |
ограничена линиями: |
3x |
|
|
||||
− y + 3x f15 |
|
(кривая второго порядка), 3x − y =15 (пря- |
||||
3x2 |
− 2 y2 |
− 6x −12 y − 27 = 0 |
||||
мая линия).
Для построения кривой 2-го порядка ее необходимо привести к каноническому виду. Сгруппируем члены, содержащие только x и только y , и дополним их до полных квадратов:
3x2 − 6x = 3( x2 − 2x +1 −1) = 3(x −1)2 − 3 |
|
||||||||||
− 2 y2 |
−12 y = −2(y2 |
+ 2 3 y + 32 |
− 32 )= −2(y + 3)2 +18. |
||||||||
|
Уравнение кривой имеет вид |
|
|
||||||||
3(x −1)2 |
− 2(y + 3)2 − 27 − 3 +18 = 0 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
(x −1)2 |
(y + 3)2 |
|
||||
3(x − |
1) |
− |
2(y + 3) |
=12 |
|
|
|
− |
|
|
=1 |
|
4 |
|
|
6 |
|||||||
|
Это |
каноническое |
уравнение гиперболы с центром в точке |
||||||||
x0 =1, |
y0 |
= −3 и полуосями |
a = 2, |
b = |
6 . |
||||||
|
Построим эту кривую (см. табл. 1) и найдем ту область, которая |
||||||||||
удовлетворяет первому неравенству. Эта часть плоскости, лежащая между ветвями гиперболы, или внутри ветвей. Возьмем произвольную точку плоскости, например точку О(0, 0) и подставим ее коор-
динаты в неравенство. Получаем − 27 ≥ 0 . Неверно. Следовательно, точка О(0, 0) и все точки той части плоскости, что лежит между
ветвями гиперболы, неравенству не удовлетворяют. Заштрихуем область решения 1-го неравенства вертикальными линиями, это области
внутри ветвей гиперболы и сами ветви (рис. 3,а). |
|
|
||||
|
Переходим ко |
второму |
неравенству. Граница |
области |
||
− y + 3x =15 прямая линия. Ее можно построить |
по двум точкам |
|||||
x = 2, |
y = −9 ; x = 6, |
y = 3 . Чтобы определить область решения нера- |
||||
венства |
− y + 3x f15 , |
возьмем |
произвольную |
точку, |
например, |
|
Μ(8, |
0) |
и подставим ее координаты в неравенство. Получим 24 >15 . |
||||
Верно. Следовательно, точка Μ(8, |
0) и все точки, |
лежащие по ту же |
||||
сторону от прямой, удовлетворяют неравенству. Заштрихуем эту область горизонтальными линиями (рис. 3,б). Так как точки, лежащие на прямой − y + 3x =15, не удовлетворяют неравенству, проводим
прямую пунктирной линией.
Решением системы является общая часть (пересечение) областей решений каждого неравенства, т.е. область с двойной штриховкой
(рис. 3, в).
2. Для решения задач № 31-60 необходимо воспользоваться свойствами элементарных функций [2, с.26-29; 8, с.22-26; 6, с.153154].
Графики указанных в заданиях функций можно получить путем деформации и сдвигов, отображением относительно осей координат, графическим сложением графиков основных элементарных функций. По виду заданной функции определяем группу преобразований. Для этого удобно воспользоваться табл. 3.
Пример. Построить график функции y = 2 3x−4 + 1 путём преобра-
зования графика соответствующей элементарной функции. Указать область определения, интервалы возрастания и убывания, нули, области положительности и отрицательности.
Таблица 3 Преобразование графиков “ сдвигом “ и “ деформацией “
Вид функции |
Преобразование |
Неподвижные |
|
|
|
графика |
точки графика |
1. y = f (x + a), a > 0 |
Сдвиг по оси Ox влево |
|
|
|
|
на a единиц. |
|
2. y = f (x − a), |
a > 0 |
Сдвиг по оси Ox вправо |
|
|
|
на a единиц. |
|
3. y = f (ax) |
|
Сжатие в a раз вдоль |
|
|
|
оси Ox |
|
4. y = f (x)+ a, a > 0 |
Сдвиг по оси Oy вверх |
|
|
|
|
на a единиц. |
|
5. y = f (x)− a, |
a > 0 |
Сдвиг по оси Oy вниз на |
|
|
|
a единиц. |
|
6. y = af (x) |
|
Растяжение по оси Oy в |
Точки пересечения |
|
|
a раз. |
графика функции с |
|
|
|
осью Оx |
По таблице 3 |
определяем, что функция y2 = 3x−4 вида 2, и её |
||
график получаем путём сдвига графика y1 на 4 единицы вправо по оси Ox . График y3 = 2 3x−4 получаем путём растяжения в два раза
вдоль оси Oy графика y2 = 3x−4 |
(табл. 3 п.7). График заданной функ- |
|||||||||||||
ции получается сдвигом графика |
y3 = 2 3x−4 по оси Oy вверх на од- |
|||||||||||||
ну единицу (табл. 3 п. 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y1 = 3x |
|
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3x −4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 3x−4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
|
= 2 3x −4 + |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
Рис. 4
3. В задачах № 61-90 требуется построить график функций, заданных в полярной системе координат, построение графиков в этой системе изложено в учебниках : [7, с. 19-22; 8, с.28-29; 2, с. 16-19].
Решение этих задач следует начинать с составления таблицы. При построении графика по точкам, полученным в таблице, необходимо обратить внимание на то, что полярный радиус по определению r ≥ 0. Поэтому откладываем в полярных координатах только те точки, где ri ≥ 0, и соединяем их плавной линией.
Для того чтобы исключить ошибки в построении, в задачах № 31-60 требуется перейти от полярной системы координат к декар-
товой по формулам перехода [2, с.16-19, 33; 7, с.21-22; 8, с.29].
При совмещении полярной и декартовой систем (полюса с началом декартовой системы, а полярной оси с положительным направлением оси Ox и при одинаковой единице масштаба) наши линии также совместятся.
|
|
|
Например, рассмотрим функцию |
r = |
|
1 |
|
|
|
и составим таб- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(1 - sin ϕ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕi |
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
3 |
π |
|
π |
|
|
5 |
π |
|
3 |
π |
|
7 |
π |
π |
|
9 |
π |
|
10 |
π |
|
11 |
π |
||||||
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
8 |
|
2 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ri |
|
0,5 |
0,81 |
1,71 |
|
6,57 |
|
∞ |
6,57 |
1,71 |
0,81 |
0,5 |
0,36 |
0,29 |
0,26 |
||||||||||||||||||||||||||||
Продолжение табл. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12 |
π |
|
|
13 |
π |
|
14 |
π |
|
15 |
π |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
8 |
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0,25 |
|
0,26 |
0,29 |
0,35 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Графиком этой функции является линия, изображенная на рис.5. Первая часть задания выполнена. Вторая часть задания сводится к переходу от полного задания функции к декартовому, то есть к вы-
полнению ряда преобразований : полагая sin ϕ = y |
и |
r = x2 |
+ y2 , по- |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
r |
|
|
|
лучим r = |
|
|
|
|
2(r − y)=1 2 x2 + y2 =1 + 2 y , |
|
|||
|
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|