Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

39

90. y′′ + 6y′ + 10y = 2e−3x , y(0)= 4, y′(0)= −1.

91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения

91.Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между

точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 (1,1).

92.Найти семейство кривых каждая из которых обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке M

кривой вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки M . Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,3).

93.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый

касательной на оси Oy , равен длине радиуса-вектора точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

94.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , проведённой в любой точке кривой, равен

квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,2).

95.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен абсциссе точки касания. Найти

уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1).

96.Найти линии, у которых длина нормали ( отрезок её от точки линии

до оси абсцисс ) есть постоянная величина a . Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 (a,0).

97.Найти линии, у которых отрезок, отсекаемый на оси Oy

касательной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

98.Найти линии, обладающие тем свойством, что отрезок касательной

влюбой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y = x

делится точкой касания пополам. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

99.Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью Oy

вточке, одинаково удалённой от точки касания и от начала

40

координат. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

M0 (1,3).

100. Найти линии, все касательные к которым проходят через данную точку (x0 , y0 ). Написать уравнение линии, проходящей через точку

M0 (3,2).

101. Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 (5,0), у

которой длина нормали ( отрезок её от точки линии до оси абсцисс ) есть постоянная величина, равная 5.

102. Найти уравнение линии, проходящей через точку M0 (1,2) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Oy

касательной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности 3.

103. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,2) и обладающую

тем свойством, что отрезок касательной в любой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y = x делится точкой касания

пополам.

104.Найти уравнение линии, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удалённой от точки

касания и от начала координат, причём сама линия проходит через точку M0 (1,0).

105.Найти линию, у которой отрезок касательной от точки касания до точки пересечения её с осью абсцисс равен длине радиуса-вектора точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

M0 (1,3).

106. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1) и

обладающую тем свойством, что проекция отрезка касательной, заключённого между точкой касания и осью Ox , обратно пропорциональна ординате точки касания ( коэффициент пропорциональности равен 1).

107. Составить уравнение линии, для которой отрезок любой её касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Написать уравнение кривой,

проходящей через точку M0 (− 1,2).

108. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной, проведённой в любой точке кривой, равен квадрату

42

117. Найти кривую, проходящую через точку M0 (6,4), у которой

проекция на ось Ox отрезка касательной от точки касания до оси Ox равна сумме координат точки касания.

118. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной, проведённой в любой точке кривой, равен длине этой касательной от точки касания до оси Ox . Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,−3).

119. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,6) и обладающей тем свойством, что в любой её точке M касательный

→

вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy , равную

3.

120. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1) и

обладающей тем свойством, что отрезок любой её касательной между точкой касания и осью Oy делится в точке пересечения с

осью Ox в отношении 1:2 (считая от оси Oy ).

Список рекомендуемой литературы

1.Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е.Шнейдер,

А.И.Слуцкий, А.С.Шумов.- М.: Высш. шк., 1978.- Т. 1.- 384 с.

2.Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е.Шнейдер,

А.И.Слуцкий, А.С.Шумов.- М.: Высш. шк., 1978.- Т. 2.- 328 с.

3.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович. -М.: Наука, 1971.- 652 с.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.:

Наука, 1965.- Т.1.- 476 с.

5.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.:

Наука, 1965.- Т.2.- 575 с.

6.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.- М.: Высш. шк., 1966.- 460 с.

7.Данко П.Е. Высшая математика в упражнения и задачах / П.Е.Данко, А.А.Попов, Т.Я.Кожевникова.- М.: Высш. шк., 1980.- Ч. 1.- 320 с.

8.Высшая математика: Методические указания для студентовзаочников по выполнению контрольных работ № 1, 2, 3 / Сост.: В.А.Похилько и др. Кузбас. политехн. ин-т.- Кемерово, 1984.- 24 с.