Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА
Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 «Государственное и муниципальное управление»
Составители В.М. Волков Е.А. Волкова В.А. Гоголин Е.Н.Грибанов И.А.Ермакова
А.И. Закамалдин
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 21.05.01 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 061000 Протокол №7 от 28.06.01 Электронная копия находится в
библиотеке главного корпуса КузГТУ
Кемерово 2001
1
Введение
Программа, задания контрольных работ и методические указания составлены в соответствии со стандартами Министерства образования РФ и с учетом особенностей программ Кузбасского государственного технического университета для студентов экономических специальностей, обучающихся по ускоренной форме подготовки. Контрольные работы № 1,2,3 выполняют в первом семестре, № 4,5,6 – во втором. Для выполнения контрольных работ необходимо изучить теоретический материал в соответствии с рекомендуемой литературой и ссылкой на источник, которая указана при разборе заданий. Программа курса по математике является также списком теоретических вопросов, предлагаемых на экзаменах.
Выбирают свой вариант в каждом задании по двум последними цифрами зачетной книжки – числу десятков и числу единиц. К каждой из этих цифр следует прибавить 1. Таким образом, получаются два числа m и n, задающие значения параметров в каждом задании, соответствующих вашему варианту. Например, если последние цифры 25, то m=3, n=6; если последние цифры 09, то m=1, n=10. На титульном листе выполненных по своему варианту контрольных работ следует указать номер зачетной книжки.
ПРОГРАММА
1семестр
1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.1.Элементы теории определителей
1.2.Системы линейных уравнений
1.3.Формулы Крамера
1.4.Метод Гаусса
1.5.Линейные операции над матрицами
1.6.Умножение матриц. Обратная матрица
1.7.Решение систем линейных уравнений в матричной форме
1.8.Векторы. Линейные операции над ними
1.9.Линейная независимость векторов. Базис
1.10.Уравнения прямой на плоскости
1.11.Графическое решение систем линейных неравенств
1.12.Прямая и плоскость в пространстве
2.Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
2
2.1.Предел функции
2.2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции
2.3.Способы раскрытия неопределенностей
2.4.Непрерывность и точки разрыва функции
2.5.Асимптоты
2.6.Производная
2.7.Дифференциал
2.8.Правила дифференцирования
2.9.Условия монотонности и существования экстремума функции
2.10.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
2.11.Исследование поведения функций и построение графиков
3.Функции нескольких переменных
3.1.Частные производные
3.2.Частные дифференциалы и полный дифференциал
3.3.Производная по направлению. Градиент
3.4.Экстремумы функций двух переменных
2семестр
4.Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
4.1.Неопределенный интеграл, его свойства
4.2.Основные методы интегрирования
4.3.Интегрирование дробно-рациональных функций
4.4.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
4.5.Определенный интеграл, его свойства
4.6.Формула Ньютона-Лейбница
4.7.Геометрические приложения определенного интеграла
4.8.Несобственные интегралы
4.9.Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения
4.10.Дифференциальные уравнения первого порядка
4.11.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
5.Теория вероятностей
5.1.Алгебра событий
5.2.Классическое определение вероятности
5.3.Вероятность суммы и произведения событий
5.4.Формула Бернулли
5.5.Дискретные случайные величины. Законы распределения
5.6.Непрерывные случайные величины. Законы распределения
3
5.7. Числовые характеристики случайных величин 6. Элементы математической статистики
6.1.Выборочная и генеральная совокупности
6.2.Точечная оценка параметров распределения генеральных совокупностей
6.3.Интервальная оценка параметров распределения
6.4.Критерий согласия Пирсона
6.5.Парная линейная регрессия
6.6.Коэффициент корреляции
Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1. Проверить систему линейных уравнений на совместность и решить ее двумя методами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера
[1, c.4-12, c.18-23].
x + ny + mz = n −m , |
||
|
2x + |
nz = n , |
|
||
|
3x + ny + mz = 3n −m . |
|
|
||
Пример: |
|
|
x −3y + z = 3 , |
|
|
|
2x + y −3z =1, |
|
|
3x + 2 y = 6. |
|
|
Для проверки системы на совместность вычисляем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных
|
|
1 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
2 |
1 |
−3 |
|
=34. Так как ∆≠0, то система совместна. |
|
|
3 |
2 |
0 |
|
|
Решаем систему методом Гаусса.
|
Из 2-го уравнения вычтем 1-е уравнение, умноженное на 2. Из 3- |
го уравнения вычтем 1-е, умноженное на 3. Получим систему |
|
|
x − 3y + z = 3 , |
|
7 y −5z = −5 , |
|
|
|
11y − 3z = −3. |
|
|
4
Исключаем y из 3-го уравнения. Для этого 2-е уравнение умножим на 11, 3-е – на 7 и вычтем из 3-го уравнения 2-е. Получим систему
x − 3y + z = 3 , |
|
|
7 y −5z = −5 , |
|
|
|
34z = 34 . |
|
|
В обратном порядке находим из 3-го уравнения z = 1, затем из 2- го уравнения y = 0 и из 1-го уравнения х = 2.
Решение системы: x = 2, y = 0, z = 1. Решаем систему по формулам Крамера.
Определитель системы ∆=34. Вычисляем дополнительные определители, полученные заменой каждого из столбцов определителя системы столбцом правых частей:
|
|
|
|
3 |
−3 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
∆x = |
|
|
1 |
1 |
−3 |
|
= 54 + 2 −6 +18 = 68, |
||||||||
|
|
|
|
6 |
2 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆y = |
|
2 1 |
−3 |
|
= −27 +12 −3 +18 = 0, |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
∆z = |
|
1 |
−3 |
3 |
|
= 6 −9 +12 −9 −2 +36 = 34. |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
3 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Находим решение по формулам Крамера:
x = ∆x / ∆ = 68 / 34 = 2,
y = ∆y / ∆ = 0 / 34 = 0,
z = ∆z / ∆ = 34 / 34 =1.
2.Элемент aij матрицы А равен номинальному месячному окладу
i- го работника в j – й месяц. Элемент bij матрицы В равен авансу, выдаваемому i – му работнику в j – й месяц. Районный коэффициент равен K. Найти матрицу окончательных выплат С [1, c.12-17].
1+ m / 5 1+ n / 5 |
||
|
+ m / 4 |
1+ n / 4 |
А= 1 |
||
|
+ m / 3 |
1+ n / 3 |
1 |
||
K=1+m/20.
(n + m) / 5 |
m / 5 |
n / 5 |
m / 5 |
|
||
(n + m) / 4 |
|
|
0 |
n / 4 |
|
, |
, |
В = m / 4 |
|
||||
(n + m) / 3 |
|
|
|
m / 3 |
|
|
|
m / 3 n / 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
5 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
, |
|
0 |
1 |
1 |
|
К=1,3. |
А= |
|
В= |
, |
||||||||
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Матрица окончательных выплат находится из матричного уравнения:
|
|
3 |
5 2 |
1 |
2 |
0 |
1,3 3 −1 1,3 5 −2 1,3 2 |
−0 |
|
|||||||
|
|
|
2 |
4 3 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
2 |
−0 1,3 4 −1 1,3 3 |
−1 |
|
= |
С=КА–В=1,3 |
|
− |
|
= 1,3 |
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
6 5 |
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
4 |
−2 1,3 6 −2 1,3 5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
|
|
||||||||
2,9 |
4,5 2,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2,6 |
4,2 2,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3,2 |
5,8 5,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Заданы матрица прямых затрат А и товарный вектор b для экономической системы из двух предприятий. Определите вектор плана
[1, c.17-18].
M / 20 |
0,35 |
|
, |
b |
|
2m +3n |
|||
A = |
|
|
|
|
|
= |
. |
||
|
0,2 |
|
N / 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m + 2m. |
|||
|
Пример. |
|
|
11 |
|
|
|||
|
0,2 |
0,4 |
|
b = |
|
|
|||
A = |
|
|
, |
|
. |
|
|
||
|
0,1 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0,2 |
|
0,4 |
|
|
|
0,8 |
−0,4 |
|
Находим матрицу Е – А = |
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0,1 |
|
0,6 |
|
|
|
−0,1 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычисляем определитель этой матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∆ = |
|
0,8 |
|
−0,4 |
|
|
= 0,28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−0,1 |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Строим обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( Е – А ) |
-1 |
|
1 |
|
|
0,4 |
0,4 |
|
1,43 |
1,43 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
× |
0,8 |
≈ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0,1 |
|
0,36 |
2,86 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Находим вектор плана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
X =(E − |
|
|
|
|
|
1,43 1,43 |
|
|
11 |
|
42,9 |
|
|
|
|
||||||||
A)−1 ×b = |
|
|
× |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,36 |
2,86 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|||||