ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.07.2024
Просмотров: 14
Скачиваний: 0
§ 7. Преобразование координат
Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами
х = х'+ а, у=у'+ b.
Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О' относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).
Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами
x = х' cos — y sin ,
у = x' sin — у' cos .
Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей. Формулы
x = х' cos — y sin + а,
у = х' sin + y cos + b
определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.
127. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) А(3; 4); 2) В(-2; 1); 3) С(— 3; 5).
128. Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О' (3; —4). Координаты точек А(1, 3), В( — 3; 0) и С( — 1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
129. Даны точки А (2; 1), В(— 1; 3) и С(— 2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А; 2) в точку В; 3) в точку С.
130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:
1) x = x'+3, у = у' + 5; 2) х = x '— 2, у = у' + 1;
3) х = x', у = у' — 1; 4) х = х' — 5, у = у'.
131. Написать формулы преобразования координат, если оси координат повёрнуты на один из следующих углов:
1) 60°; 2) —45°; 3) 90°; 4) —90°; 5) 180°.
132. Оси координат повёрнуты на угол а = 60°. Координаты точек А (2/3; —4), Б(/3; 0) и С(0; —2/3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
133. Даны точки М(3; 1), N(—1; 5) и Р(— 3; —I). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повёрнуты на угол:
1) —45°; 2) 90°; 3) —90°; .4) 180°.
134. Определить угол а, на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:
1) x
=
, y
=
;
2) x
=
, y
=
;
135. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка A(3; —4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
136. Написать формулы преобразования координат, если точка M1(1; —3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M2(l; —7) лежит на новой оси ординат, причём оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох’, Оу’ имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; — 4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох’ определено отрезком ОА.
138. Начало
координат перенесено в точку O’(—1;
2), оси координат повёрнуты на угол
= arctg
.
Координаты точек М1
(3; 2), М2(2;
—3) и M3(13;
—13) определены в новой системе. Вычислить
координаты этих же точек в старой системе
координат.
139. Даны
три точки: А (5;
5), В(2;
—1) и С(12;
—6). Найти их координаты в новой системе,
если начало координат перенесено в
точку В, а
оси координат повёрнуты
на угол
= arctg
.
140. Определить старые координаты нового начала и угол , на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:
1) x = у’ + 3, y = x’ — 2; 2) х = — x’ — 1, у = —y’ + 3;
3) x
=
y
=—
.
141. Даны две точки: М1(9; —3) и М2(—6; 5). Начало координат перенесено в точку Мь а оси координат повёрнуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка М1М2. Вывести формулы преобразования координат.
142. Полярная
ось полярной системы координат параллельна
оси абсцисс декартовой прямоугольной
системы и направлена одинаково с
нею. Даны декартовы прямоугольные
координаты полюса О(1; 2) и полярные
координаты точек M1(7;
),
М2(3;
0), М3(5;
—
),
М4(2;
)
и M5(2;
—
).
Определить координаты этих точек в
декартовой прямоугольной системе.
143. Полюс
полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных
координат, а полярная ось направлена
по биссектрисе первого координатного
угла. Даны полярные координаты точек
M1(5;
),
М2(3;
—
),
М3(1;
),
М4(6;
)
и M5(2;
—
).
Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.
144. Полярная
ось полярной системы координат параллельна
оси абсцисс декартовой прямоугольной
системы и одинаково с нею направлена.
Даны декартовы прямоугольные координаты
полюса О(3; 2)_и точек М1(5;
2), М2(3;
1), М3(3;
5), М4
(3+
;
2—
)
и М5
(3+
;
3). Определить полярные координаты
этих точек.
145. Полюс полярной системы
координат совпадает с началом декартовых
прямоугольных координат, полярная ось
направлена по биссектрисе первого
координатного угла. Даны декартовы
прямоугольные координаты точек
М1(—1;
1), М2(
;—
M3(1;
),
М4(—
;
1) и М5(2
;
—2). Определить полярные координаты
этих точек.