§ 8. Функция двух переменных

Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида u=f(M). Число и, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А — фиксированная точка плоскости, М — про­извольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В дан­ном случае f(M) = AM.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена си­стема координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функции в точке М опреде­ляется координатами х, у, или, как ещё говорят, u=f(M) есть функция двух переменных х к у. Функция двух переменных х, у обозначается символом f (х, у); если f(M)=f(x, у), то формула u=f(x, у) называется выраже­нием данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M) = AM; если ввести декартову прямоугольную систему коор­динат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

u = .

146. Даны две точки Р и Q, расстояние между которыми равно а, и функция f(M) = , где d₁ = МР и d₂ = MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох направлена по отрезку PQ.

147. При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если:

1) начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ;

2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.

148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция f(M) = , где d₁ = MA, d₂ = MB, d₃ = MC и d₄ = MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат при­няты диагонали квадрата (причём ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по отрезку BD).

---

149. При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредствен-но и при помощи преобразования координат, исполь­зуя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ, ось Оу — по отрезку AD).

150. Дана функция f(x, у) = х²+у²—6х+8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если на­чало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О'(3; -4).

151. Дана функция f(x, у) = х²—у²—16. Определить выра­жение этой функции в новой координатной системе, если оси коор­динат повёрнуты на угол — 45°.

152. Дана функция f(x, у) = х²+у². Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повёрнуты на некоторый угол .

153. Найти такую точку, чтобы при переносе в неё начала коор­динат выражение функции f(x, у) = х²—2xy + у²— 6х + 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

154. Найти такую точку, чтобы при переносе в неё начала коор­динат выражение функции f(x, y) = х²—4ху+4у²+2х+y—7 не содержало членов первой степени относительно новых пере­менных.

155. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f(x, у) = х²— 2ху +у²— 6x + 3 после пре­образования не содержало члена с произведением новых переменных?

156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы вы­ражение функции f(x, у) = Зх²+2ху+у² после преобразо­вания не содержало члена с произведением новых переменных.

---

Смотрите также файлы

• kletenik_07.doc

• kletenik_06.doc

• kletenik_05.doc

• kletenik_04.doc

• kletenik_03.doc