3.1.1. Пропускная способность дискретных (цифровых) каналов

при отсутствии шумов

При отсутствии шумов можно считать, что в информационном канале , а , следовательно, для сообщений , передаваемых за время , количество информации, поступающей к получателю от источника, составит

I(W_T, X_T) = I(X_T, X_T) = H(X_T),

где Н(Х_Т) – энтропия источника сообщений.

По аналогии для канала связи, представляющего часть информационного канала, будем иметь

I(Z_T,Y_T) = I(Y_T, Y_T) = H(Y_T). (3.1)

Если последовательность х_Т состоит из m сообщений и средняя длительность сигнала, обеспечивающего передачу одного сообщения, составляет _с, то можно определить скорость передачи информации как

, (3.2)

где Н(X) – энтропия источника n сообщений:

.

Очевидно, что скорость передачи информации будет зависеть от статистических характеристик источника сообщений, метода кодирования сообщений и свойств канала. Так, при одном и том же способе кодирования длительность символов передаваемых сигналов может быть различной в зависимости от ширины полосы частот пропускания канала. С изменением длительности символов меняется и скорость передачи информации.

Пропускная способность информационного канала C определяется максимальным значением скорости передачи:

Аналогично находится пропускная способность канала связи C_с, являющегося частью информационного канала:

(3.3)

Обычно C_с  C.

Реальная скорость передачи информации может быть максимальной и равной пропускной способности канала, если статистические характеристики источника сообщений определенным образом согласованы со свойствами информационного канала. Для каждого источника это может быть достигнуто специальным выбором способа кодирования сообщений. Такое кодирование, при котором достигается наиболее эффективное использование пропускной способности дискретного канала (т.е. обеспечивается максимальная ^{скорость передачи информации ), называется эффективным.}

Дискретный канал, в котором передаваемые сообщения представлены двоичным кодом, называется двоичным каналом. Если код имеет m символов (разрядов), то очевидно, что всего можно закодировать n = 2^m сообщений, а длительность одного сообщения составит T = m, где  – длительность символа кода с учетом того, что все символы обычно имеют одинаковую длительность. Двоичные коды, состоящие из одинакового числа символов m, называются равномерными. Пропускная способность рассматриваемого канала с учетом формул (3.1), (3.2) и (3.3) составит

. (3.4)

Выражение (3.4) принимает максимальное значение, когда энтропия ансамбля событий (сообщений) H(Y_T) будет наибольшей. Из свойств энтропии следует, что H(Y_T) будет максимальна, если сообщения равновероятны, это максимальное значение может быть определено мерой Хартли и будет равно log n = log 2^m = m.

Следует, однако, иметь в виду, что фактическая скорость передачи информации не всегда оказывается равной пропускной способности канала.

---

Рассмотрим два простых примера.

Пример 1. Пусть источник сообщений вырабатывает четыре сообщения х₁, х₂, х₃, х₄, (n = 4). Все сообщения имеют одинаковые вероятности: P(x_i) = 1/n = 0,25. Для их кодирования используется двоичный равномерный код, число символов в котором достаточно выбрать m = 2. Исходные сообщения х₁, х₂, х₃, х₄ в этом примере будут представлены следующими кодами: 00, 01, 10, 11.

Скорость передачи информации будет определяться по формуле (3.2), в которой энтропия источника равновероятных сообщений будет максимальной:

а длительность каждого из четырех сообщений будет определяться длительностями соответствующих кодовых комбинаций и составит _с=2. Для примера 1 по формуле (3.2) находим

Таким образом, в этом примере, как и следовало ожидать, скорость передачи информации оказалась равной пропускной способности канала: =C_c=1/.

Пример 2. Источник сообщений и способ их кодирования такие же, как и в примере 1, но вероятности сообщения при этом не одинаковы:

Р(х₁) = 0,5; Р(х₂) = 0,25; Р(х₃) = Р(х₄) = 0,125.

Для определения скорости передачи информации вновь воспользуемся формулой (3.2), для которой необходимо вычислить соответствующее значение энтропии Н(х) для источника разновероятных сообщений х₁, х_2, х₃, х₄ (n = 4):

Длительности всех сообщений остаются такими же, как и в примере 1: _с = 2. Скорость передачи информации составит

В этом примере скорость передачи информации оказалась меньше пропускной способности двоичного канала C_с (0,875/  1/).

Таким образом, отход от оптимальных статистических характеристик сигналов приводит к тому, что фактическая скорость передачи информации становится меньше пропускной способности канала. Этот вывод естественным образом следует из самого понятия о пропускной способности канала.

Пример 1 показывает, что фактическая скорость передачи информации может быть максимальной и равной пропускной способности канала, если статистические характеристики источника сообщений определенным образом согласованы со свойствами информационного канала. Для каждого источника сообщений это согласование может быть достигнуто специальным выбором способа кодирования и декодирования сообщений. Такое кодирование, при котором достигается наилучшее использование пропускной способности канала, называется эффективным.

К эффективным относится, в частности, код Шеннона.-.Фано, пригодный для кодирования статистически независимых сообщений.

Рассмотрим построение кода Шеннона.-.Фано для источника сообщений х₁, х₂, х₃, х₄, приведенных в примере 2. Использование равномерного кода для этих сообщений, как отмечалось ранее, не позволяет обеспечить максимальную скорость передачи информации. Покажем, что с помощью кода Шеннона.-.Фано рассматриваемые сообщения можно передать с максимальной скоростью, равной пропускной способности двоичного канала. Кодирование сообщений в этом случае иллюстрируется табл. 3.1, которая составлена следующим образом.

---

Записывают сообщения в порядке убывания их вероятностей.

Таблица 3.1

Сообще-ние xi	Вероят- ность р(хi)	Номер деления на подгруппы			Символ кода			Длительность кодовой комбинации i
					Позиции
		1	2	3	1	2	3
х1	0,5				0			1
х2	0,25				1	0		2
х3	0,125				1	1	0	3
х4	0,125				1	1	1	3

Проводят первое деление всех сообщений на две подгруппы I и II так, чтобы сумма вероятностей сообщений в подгруппах I и II была бы по возможности одинаковой. В данном случае это условие выполняется точно: при первом делении в подгруппу I входит сообщение х₁, вероятность которого равна 0,5, а в подгруппу II входят сообщения х₂, х₃, х₄, сумма вероятностей которых (0,25 + 0,125 + 0,125) будет тоже составлять 0,5.

Проводят второе аналогичное деление для каждой из полученных подгрупп сообщений. Процесс последовательных делений сообщений на подгруппы I и II прекращается в том случае, когда в подгруппе останется по одному сообщению.

Номер подгруппы, в которую попадает данное сообщение при каждом делении, определяет символ на соответствующей позиции кода этого сообщения. В рассматриваемой таблице принадлежность к подгруппе I обозначается символом 0, а к подгруппе II – символом 1. Так, в частности, первое деление дало на первой позиции кода для сообщения x₁ символ 0, а для остальных сообщений – символ 1.

Как следует из табл. 3.1, полученный код является неравномерным, т.е. сигналы разных сообщений имеют различное число символов, следовательно, разную длительность.

Для наглядности в табл. 3.2 для сообщений х₁, х₂, х₃, х₄ приведены неравномерный код Шеннона - Фано и равномерный, используемый ранее в примерах 1 и 2. Анализируя неравномерный код Шеннона.-.Фано, можно убедиться в том, что наиболее вероятному сообщению соответствует самая короткая кодовая комбинация, наименее вероятному – длинная. Этим можно объяснить увеличение скорости передачи информации при использовании данного кода.

Таблица 3.2

Сообщение xi	Код Шеннона - Фано	Равномерный код
x1	0	00
x2	10	01
x3	110	10
x4	111	11

Код Шеннона.-.Фано обладает еще одним существенным свойством: позволяет декодировать сообщения без введения дополнительных разделительных символов между кодовыми комбинациями, приводящих к снижению скорости передачи информации. Действительно, в рассмотренном примере короткие комбинации не совпадают с началом других, более длинных кодовых комбинаций. Поэтому возможно однозначное декодирование последовательности кодовых комбинаций, формируемых непрерывно без применения разделительных символов. Коды, удовлетворяющие рассмотренному условию, называются префиксными кодами.

---

Для вычисления скорости передачи информации при использовании кода Шеннона.-.Фано воспользуемся формулой (3.2), применительно к которой, как и в примере 2, Н(Х) = 1,75, .

Как отмечалось ранее, код Шеннона.-.Фано является неравномерным. Поэтому целесообразно отыскать среднюю длительность сигнала _с одного сообщения, определяемую по формуле математического ожидания длительности _i сообщения x_i [по аналогии с энтропией Н(Х)]:

.

Для выбранного примера по табл. 3.1 (n = 4) находим _с = 1,75, что позволяет считать кодовую комбинацию состоящей в среднем из m = 1,75 символа.

По формуле (3.2) для полученных значений Н(Х) и _с находим скорость передачи:

.

Таким образом, в данном примере код Шеннона - Фано позволил полностью согласовать статистические характеристики источника сообщений с каналом связи, поскольку скорость передачи информации оказалась равной пропускной способности канала: .

Равномерный код, как отмечалось в примере 2, не является эффективным. Это можно объяснить тем, что при использовании эффективного кода Шеннона.-.Фано сигнал каждого сообщения в среднем состоит из 1,75 символа, а при использовании равномерного кода – из 2-х (табл. 3.2), из чего следует, что в единицу времени сообщений, представленных кодом Шеннона.-.Фано, будет передано больше, чем при использовании равномерного кода.

Необходимо заметить и то, что, действуя по правилу построения кода Шеннона.-.Фано для четырех равновероятных сообщений, рассмотренных в примере 1, получаем приведенный в табл. 3.2 равномерный код, который в данном случае является эффективным.

Нарушение условия формирования кода Шеннона.-.Фано, заключающегося в том, что наиболее вероятному сообщению должна соответствовать наиболее короткая кодовая комбинация, неизбежно приведет к снижению скорости передачи информации.

Для иллюстрации изложенного поменяем местами кодовые комбинации для сообщений х₁ и х₄ (см. табл. 3.1). Тогда по формуле математического ожидания средняя длительность сообщения увеличится и составит , а скорость передачи информации

Проследим еще, что дают различные способы кодирования на примере 3.

Пример 3. Источник сообщений описывается как

.

Коррелятивные связи между сообщениями отсутствуют. Передача информации производится по двоичному каналу. Длительность символов кодированного сигнала равна . Определим скорость передачи информации при использовании равномерного кода и кода Шеннона - Фано.

Используя (1.6), находим

или

.

Согласно (3.2) скорость передачи информации равна

.

При равномерном коде для передачи каждого сообщения придется израсходовать два символа (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Сообщение	Код
x1	00
x2	01
x3	10

Очевидно, что в этом случае и, следовательно,

,

^{где– пропускная способность данного канала.}

---

Для построения кода Шеннона - Фано составлена табл. 3.4.

Таблица 3.4

Сообще-ние	Вероят- ность	Номер деления на подгруппы			Символ кода			Длительность сигнала
		1	2		1	2	3
х1	0,7				0			1
х2	0,2				1	0		2
х3	0,1				1	1		2

Средняя длительность сигнала при этом будет

.

Скорость передачи информации в этом случае равна

.

Как видим, переход к более эффективному коду позволяет ^{увеличить скорость передачи информации враза.}

Эффективность кодирования может быть еще увеличена, если от кодирования одиночных сообщений перейти к кодированию последовательностей (групп) сообщений (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Сооб-щение	Вероят- ность	Деление на подгруппы						Код	Длитель- ность сигнала
х2х2 х1х2 х2х1 х2х3 х3х2 х1х1 х1х3 х3х1 х3х3	0,49 0,14 0,14 0,07 0,07 0,04 0,02 0,02 0,01							0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1	 3 3 4 4 4 5 6 6

В табл. 3.5 дано построение кода Шеннона.-.Фано для случая передачи всех возможных пар сообщений.

Средняя длительность сигнала, обеспечивающего передачу одного сообщения, в этом случае будет

.

Соответствующая скорость передачи сообщений равна

.

Если кодировать последовательности по три и более сообщений, то скорость передачи информации может еще больше приблизиться к пропускной способности.

Кодирование последовательностей сообщений особенно эффективно при наличии коррелятивных связей между ними. Легко видеть, что кодирование отдельных сообщений кодом Шеннона.-.Фано коррелятивных связей не учитывает. При кодировании же последовательностей сообщений вероятности этих последовательностей будут вычисляться с учетом коррелятивных связей. Кроме того, с удлинением кодируемых сообщений коррелятивные связи между ними ослабевают.

Заметим еще, что описанный метод построения эффективного кода Шеннона.-.Фано может быть распространен и на коды с основанием больше двух.

Рассмотренные примеры построения эффективных кодов согласуются с основной теоремой Шеннона для дискретного канала без помех. Теорема формулируется следующим образом: если поток информации , вырабатываемой источником, равен Н(Х) = С_с – , где  – сколь угодно малая величина, то всегда можно найти такой способ кодирования, который обеспечивает передачу всех сообщений, вырабатываемых источником, причем скорость передачи = С_с –  .

Обратное утверждение состоит в том, что невозможно обеспечить передачу всех сообщений источника, у которого .

3.1.2. Пропускная способность дискретных (цифровых) каналов

с шумами

---

Смотрите также файлы

• Mikheev_otvety_na_voprosy.docx

• Навч.посібник Акушерство, гінекологія та штучне осіменіння с.г. тварин, Харута, 2013.pdf

• Ветеринарне акушерство, Яблонський, 2006.pdf

• МЕДИКО-тактическая характеристика очагов.docx

• Этика ДО Экзамен Ответы.docx