Файл: П2.doc

и подставляем это значение распора в формулу (1.18):

, (1.21)

Окончательная эпюра моментов в арке показана на рис. 1.20, д. На рис. 1.20, е эта же эпюра, отложенная от горизонтальной линии, -“спрямленная эпюра”.

В описанном подходе использован принцип выбора основной системы, которая получается из заданной путем введения и отбра­сывания некоторых связей. Этот принцип широко применяется в классических методах расчета статически определимых систем, как в данном случае, и в случаях расчета некоторых сложных стати­чески определимых ферм.

К распорным системам относятся также сложные арки, элемен­ты которых представляют сами по себе стержневые системы фермы (рис. 1.21, а) или рамы (рис. 1.21, б).

Рис. 1.21

Продольные и поперечные силы в любом сечении арки или рамы определяются из условия равновесия части системы, распо­ложенной по одну сторону от рассматриваемого сечения. Пред­варительно заметим, что сумма вертикальных сил, приложенных

слева от заданного сече­ния, равна балочной по­перечной силе в спрямленной балке, сво­бодно лежащей на край­них опорах арки и нагру­женной заданной верти­кальной нагрузкой.

Рис. 1.22

Проектируя все силы, действующие слева от се­чения x = a, на направление касательной к оси арки в точке A (рис. 1.22, а), получим выражение для продольной силы:

, (1.22)

где j_A - угол касательной к оси арки в точке А.

Проектируя те же силы на направление нормали к оси арки, получим поперечную силу

(1.23)

Если на арку действует не только вертикальная, но и гори­зонтальная нагрузка Р, то вместо распора Н в формулах (1.22) и (1.23) следует брать сумму всех горизонтальных сил, действующих слева от точки А.

Разделив момент М_A на продольную силу N_A , получим эксцен­триситет е ее действия в сечении арки, который определит точку пересечения равнодействующей внутренних сил в сечении арки с плоскостью этого сечения (рис. 1.22, б).

---

Геометрическое место таких точек, построенных для всех сече­ний арки, называется кривой давления арки. Она представляет собой линию действия внутренней силы, передающейся вдоль арки. Отношение Q_A/N_A равно тангенсу угла между касательными к кривой давления и к оси арки в том же сечении.

В особых случаях кривая давления может совпадать с осью арки. При этом изгибающие моменты по всей длине арки будут равны нулю. Такой случай будет иметь место, например, при нагружении круговой арки равномерной радиальной нагрузкой или при нагружении параболической арки равномерной вертикальной нагрузкой. Очертание оси арки, совпадающее с кривой давления, является оптимальным, т.е. наиболее выгодным при данной нагруз­ке.

В линейно-деформируемых системах с линиями влияния мож­но осуществлять простые арифметические действия: сложение, вы­читания и умножение на постоянную величину, как с обычными числами или векторами. Учитывая это, можно воспользоваться для построения линий влияния моментов, поперечных и продольных сил в трехшарнирных арках формулами (1.18), (1.22), (1.23), при-чем линии влияния балочных моментов и балочных попе-речных силстроятся как в обычной однопролетной балке, а линии влияния распораН легко построить по формуле (1.20), как линию влияния балочного момента деленную на стрелку аркиf_c . Построение линий влияния в арке таким способом пока­зано на рис. 1.23 и 1.24.

При выполнении расчетов для построения линий влияния в арке применяется и другой способ, называемый способом нуле­вых точек, который будет продемонстрирован ниже при расчете трехшарнирной арки и рамы.

Рис. 1.23 Рис. 1.24

---

1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)

Для трехшарнирной арки с очертанием оси по квадратной па­раболе (рис. 1.25, а) необходимо:

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора;

2. Определение внутренних усилий М_K , Q_K и N_K в сечении K-K от нагрузок P и q, аналитически;

3. Построить линии влияния изгибающего момента М_K , попе­речной силы Q_K и продольной силы N_K для сечения K-K;

4. Вычислить величины М_K , Q_K и N_K по линиям влияния от заданной нагрузки P и q и сравнить их со значениями, определен­ными аналитически (п.2 задания).

Решение

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора

Предварительно необходимо начертить строго в масштабе рас­четную схему оси арки, ординаты которой должны быть вычислены по ее уравнению:

.

В нашем случае:

при z_K = 2 м,   y_K = м;

при z = 4 м, ,   y = м;

при z = 6 м, ,   y = м; и т.д.

Вертикальные опорные реакции V_A, V_B и горизонтальные опор­ные реакции (распор) H_A и H_B вычисляем из уравнений равовесия системы. В данном примере имеем:

кН;

, кН;

, кН;

S z = 0,   H_A - H_B = 0,     H_A = H_B = 14 кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим следующие неиспользованные уравнения равновесия систе­мы:

---

,

22 - 2×8 - 40 + 34 = 0,     56 - 56 = 0,     0 = 0;

,

-34×8 + 14×8 + 40×4 = 0,     -272 + 112 + 160 = 0,     0 = 0.

Уравнения тождественно удовлетворяются. Следовательно, вер­тикальные опорные реакции и распор определены верно.

2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически

Внутренние усилия М_K , Q_K и N_K , возникающие в заданном сечении от нагрузок q и P, вычисляем по формулам (1.18), (1.22), (1.23) соответственно:

,

, (1.24)

,

где ,- изгибающий момент и поперечная сила в сеч. K-K двухопорной балки с пролетом, равным пролету трехшарнирной арки и загруженным той же нагрузкой; y_К - ордината оси трех­шарнирной арки в сечении K-K; j_К - угол наклона касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K.

При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в балках, а для продольной силы N в арочных системах поло­жительным принято считать сжатие.

В рассматриваемом примере:

;

;

м.

Подставим найденные значения , , cosj_K , sinj_K  и y_K в формулы, получим величины внутренних усилий, возникающих в сечении K-K от нагрузок q и P:

кН×м;

кН;

---

кН.

3. Построение линий влияния мk , qk и nk

В рассматриваемом примере все линии влияния строим спосо­бом нулевых точек.

Линии влияния внутренних усилий M_K, Q_K и N_K могут быть получены сложением известных линий влияния балочных момен­тов и балочных поперечных сил, а также линии влияния распораН, умноженных на соответствующие коэффициенты выра­жений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам по­строения линий влияния внутренних усилий в арках.

Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены кусочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в кторых ординаты линий влияний влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.

Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р = = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой z_OM (см. рис. 1.25, а), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки K, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении K в этом слу­чае будет равен нулю. Для определения величины z_OM, воспользуясь геометрическими соображениями (рис. 1.25, а), имеем:

,

откуда:

.

Далее предположим, что, если единичная сила Р = 1 будет рас­положена в точке, принадлежащей арке, с абсциссой z_OQ, а вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих левее сечения K, параллелен касательной оси арки, проходящей через точку K, то поперечная сила в этом сечении будет равна нулю. Из рис. 1.25, а, имеем:

,

откуда:

.

Для определения нулевой точки линии влияния N_K , нужно оп­ределить абсциссу точки приложения единичной силы Р = 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении K равна нулю. Следовательно, нам необходимо определить такую точку приложе­ния единичной силы Р = 1, при котором общий вектор равнодейст­вующей всех сил, расположенных левее сечения K, имеет направле­ние параллельное нормали оси арки, проведенной через сечение K (рис. 1.25, а). Таким образом:

---