Файл: Лекция 15.doc

Лекция 15 «Расчёт статически неопределимых рам комбинированным и смешанным методом.»

15.1. Общие положения

15.2. Группировка угловых перемещений узлов

15.3. Группировка линейных перемещений узлов

15.4. Вопросы для самопроверки

15.5. Рекомендуемая литература

151.1. Общие положения

В этой лекции рассматриваются стержневые системы, геометрия и распределение жесткостей поперечных сечений элементов которых обладают хотя бы одной осью симметрии.

Как и в методе сил для расчета симметричных сооружений будем использовать симметричную основную систему метода перемещений, а также группировку неизвестных угловых и линейных перемещений симметрично расположенных узлов).

Если в основной системе метода перемещений все эпюры внутренних усилий от единичных перемещений узлов (в том числе и групповых) имеют симметричный или обратно симметричный характер, то система канонических уравнений метода перемещений при произвольном внешнем воздействии (силовом, температурном или кинематическом) распадается на две независимых друг от друга системы уравнений, одна из которых содержит только симметричные неизвестные, а другая – только обратно симметричные (по аналогии с методом сил).

Е

Рис. 15.1

сли во всех единичных состояниях симметричной основной системы метода перемещений эпюры внутренних усилий симметричны или обратно симметричны, то в случае симметричных внешних воздействий обратно симметричные неизвестные метода перемещений будут равны нулю, а в случае обратно симметричных воздействий равны нулю симметричные неизвестные.

15.2. Группировка угловых перемещений узлов

Рассмотрим расчет рамы с вертикальной осью симметрии на произвольную нагрузку (рис. 15.1,а). Соотношение между погонными жесткостями симметрично расположенных ригелей 1А, 2В и стоек 1С, 2Di_c, а также центрального ригеля 12, задано. Степень кинематической неопределимости рамы равна двум. На рис. 15.1,б показана основная система методаперемещений для этой рамы.

Неизвестные углы поворотов узлов 1 и 2 рассматриваемой рамы от заданной нагрузки Z₁иZ₂определяются из системы канонических уравнений.

---

(15.1)

Нетрудно убедиться в том, что в нашем случае, принимая за неизвестные углы поворота отдельных узлов, мы будем иметь полную систему уравнений (15.1), т.е. ни один из коэффициентов при неизвестных Z₁иZ₂не будет равен нулю.

Используем симметрию рамы и произведем группировку угловых перемещений симметрично расположенных узлов 1 и 2. Каждое из уравнений системы (15.1) отрицает в основной системе метода перемещений реакции R₁иR₂в наложенных угловых связях 1 и 2 от их поворота на углы, равныеZ₁иZ₂, и от заданной нагрузки, т.е. первое уравнение удовлетворяет условиюR₁ = 0, а второе –R₂= 0. Эти условия будут выполнены, если в основной системе метода перемещений будем одновременно отрицать разность и сумму реакций в наложенных связях 1 и 2, т.е. если будем отрицать групповые реакции

Групповым реакциям исоответствуют групповые угловые перемещения узлов 1 и 2которые в дальнейшем будем называть групповыми неизвестными метода перемещений.

В единичном состоянии основной системы метода перемещений неизвестному групповому перемещению соответствует одновременный поворот угловой связи, наложенной на узел 1, по часовой стрелке на угол, величина которого равна единице, и угловой связи, наложенной на узел 2, – против часовой стрелки на такой же угол – другими словами, симметричная деформационная схема элементов рамы и симметричная групповая эпюра изгибающих моментов(рис. 15.1,в,г). Аналогично, групповому неизвестному перемещениюв основной системе метода перемещений соответствует обратно симметричная схема деформаций и обратно симметричная групповая эпюра изгибающих моментов(рис. 15.1,д,е).

---

При построении групповых эпюр изгибающих моментов идля всех элементов рамы, кроме центрального ригеля 12, использованы стандартные задачи метода перемещений, рассмотренные ранее. На ригеле 12 эпюры изгибающих моментов можно получить суммированием соответствующих эпюр от симметричного поворота двух угловых связей на угол θ (рис. 15.2,а) и от обратно симметричного поворота этих же связей на такой же угол (рис. 15.2,б).

Рис. 15.2

Система канонических уравнений (15.2) для групповых неизвестных метода перемещений перепишется:

(15.2)

Коэффициенты при неизвестных и свободные членысистемы уравнений (15.2) можно вычислить сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов, либо из условия равновесия одновременно двух узлов, содержащих симметрично расположенные связи.

Так как групповые эпюры иносят соответственно симметричный и обратно симметричный характер, то

С учетом последнего обстоятельства система уравнений (15.2) распадается на два независимых друг от друга уравнения:

При построении эпюр внутренних усилий в заданном сооружении групповые неизвестные метода перемещений используются как обычные. В частности, для рамы, показанной на рис. 15.1,а имеем:

где M_F– эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки.

---

15.2. Группировка линейных перемещений узлов

Группировка линейных перемещений симметрично расположенных узлов целесообразна, если при выборе основной системы метода перемещений наложение линейных связей на узлы производится без нарушения симметрии сооружения.

Рис. 15.3

Поясним это на примере рамы, имеющей вертикальную ось симметрии (рис. 15.3,а). Степень кинематической неопределимости этой рамы равна четырем (n_θ = 2,n_Δ= 2). Для ее расчета предлагается симметричная основная система метода перемещений, показанная на рис. 15.3,б. Рассмотрим группировку линейных перемещений узлов А и В рамы, приняв за неизвестные групповые линейные перемещения, а именно: суммуи разностьлинейных перемещений этих узловZ₁иZ₂, т.е.

,

В единичном состоянии основной системы метода перемещений неизвестному групповому перемещениюсоответствует одновременное смещение линейных связей 1 и 2, наложенных на узлы А и В, направо на величину, равную единице, другими словами, обратно симметричная деформационная схема элементов рамы и обратно симметричная групповая эпюра изгибающих моментов(рис. 15.4).

Неизвестному групповому перемещению в основной системе метода перемещений соответствует одновременное единичное смещение связей 1 и 2 в разные стороны, т.е. симметричная деформационная схема и симметричная групповая эпюра изгибающих моментов(рис. 15.5).

Рис. 15.4

---

Рис. 21.5

Учитывая обратно симметричный характер групповой эпюры изгибающих моментов и симметричный –, получим

Следствием группировки линейных и угловых перемещений симметрично расположенных узлов сооружения является упрощение системы канонических уравнений метода перемещений за счет исключения из нее нулевых побочных коэффициентов.

15.4. Вопросы для самопроверки

1. Каким образом может быть построена эпюра изгибающих моментов в основной системе на элементе с прямолинейной осью, защемленном с двух концов, от одновременного поворота угловых связей в разные стороны на угол θ? От одновременного поворота угловых связей в одну сторону на такой же угол?

2. Какие требования предъявляются к наложению линейных связей на симметрично расположенные узлы стержневых сооружений при выборе основной системы метода перемещений?

3. В результате чего происходит упрощение системы канонических уравнений метода перемещений при расчете симметричных стержневых систем на любое внешнее воздействие?

4. При каких условиях произойдет разложение системы канонических уравнений метода перемещений, записанной для расчета симметричного стержневого сооружения на любое воздействие (силовое, температурное, кинематическое), на две независимые друг от друга подсистемы уравнений? Какой характер будут иметь неизвестные метода перемещений, входящие в каждую из этих подсистем уравнений?

5. Задана симметричная статически неопределимая рама и произвольное внешнее воздействие на нее (силовое, температурное или кинематическое). Определите степень кинематической неопределимости рамы и выберите для ее расчета симметричную основную систему метода перемещений. Какой характер носят неизвестные метода перемещений в полученной основной системе (симметричный, обратно симметричный, несимметричный)? Произведите, при необходимости группировку неизвестных угловых и линейных перемещений симметрично расположенных узлов рамы. Запишите в общем виде систему канонических уравнений метода перемещений для вычисления принятых неизвестных. Какие побочные коэффициенты этой системы уравнений будут равны нулю и почему? Что произойдет с системой канонических уравнений после исключения из нее членов с нулевыми побочными коэффициентами?

---