Файл: Лаб_№4.doc

Найдём теперь траекторию движения характеристической точки на фазовой плоскости, если процесс имеет форму синусоиды

. (5)

При этом для скорости процесса справедливо соотношение

. (6)

После возведения в квадрат выражений (5),(6) и несложных преобразований (с учётом тождества ) можно получить выражение

. (7)

Это уравнение эллипса с полуосями и. Как следствие, при представлении синусоиды (5) на фазовой плоскости будет наблюдаться движение характеристической точкипо эллипсу (7). Его же часто называютциклом.

Циклы могут быть устойчивые и неустойчивые. Если характеристическая точка стремится удалиться от цикла (7), то его называютнеустойчивым.Если эта точка стремитсяк циклу(7) и из “малого”, и из “большого”, то его называютустойчивым. Частные случаи устойчивых и неустойчивых циклов представлены на рисунке 4.

В случае устойчивого цикла фазовые траектории «навиваются» на эллипс, а в случае неустойчивого - уходят от него в ноль или в бесконечность.

---

2. Моделирования процессов в линейных нестационарных и нелинейных динамических системах с использованием подсистемы MatLab simulink

2.1. Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме

Исследованию нестационарных процессов предшествует предварительное преобразование системы дифференциальных уравнений к стандартному виду – к форме Коши.

Покажем один из способов такого преобразования. В результате такого преобразования система уравнений приводится к канонической форме, удобной для представления в виде эквивалентной структурной схемы, привычной при исследовании систем автоматического управления.

Пусть дифференциальное уравнение порядка nв операторной форме, описывающее процессы в системе, представлено в виде:

(20)

где p = d/dt– символ дифференцирования;

x(t), y(t)– вход и выход системы;

a_{i ,} b_j– коэффициенты полиномов, в общем случаефункции времени;i = [1 – n]; j = [1 – m]; m  n.

Правую часть выражения (20) умножим и поделим на pⁿ (pⁿ/pⁿ) и получим:

(21)

где

(22)

или

(23)

Полученные зависимости (21) - (23) являются представлением исходного уравнения (20) в канонической форме.

Используя эти зависимости, а именно - (21) и (23) – легко может быть получена эквивалентная структурная схема, моделирующая данную систему, которая представлена на рисунке 5.

Приведем примеры использования описанного метода представления дифференциальных уравнений.

Пример 1.

---

Интегро - дифференцирующее динамическое звено описывается следующим операторным уравнением (первого порядка):

(24)

Приведем его к стандартной форме (20)

(25)

где

Соответствующая структурная схема, реализующая данное уравнение и получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид:

Пример 2.

Дано операторное уравнение второго порядка:

(26)

Этим уравнением моделируются динамические характеристики инерционного и форсирующего звеньев второго порядка.

Преобразуя, приведем его к стандартной форме и получим

(27)

где

Соответствующая структурная схема, получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид, представленный на рисунке 7.

2.2. Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов

2.2.1. Постановка задачи

Провести исследование нестационарной системы, замкнутая структурная схема которой представлена на рисунке 8.

При этом:

• оценить переходные процессы при задании на вход контура слежения скачкообразного, а такжесинусоидального сигналов;

• построить фазовые траектории ошибки Δ.

; , T2 = 0.05 c.

Таблица 1. Исходные данные

t, c	0	5	10	20	35	50
Ko	10	9	7	5	5	5
T1, c	1.0	0.8	0.6	0.5	0.5	0.5
K1,1/c	1	0. 9	0.7	0. 5	0.4	0.4

---

Как следует из рассмотрения приведенных данных, большинство параметров системы является функцией времени. Кроме того, в системе присутствует нелинейность.

Синусоидальный входной сигнал имеет вид: x=A sin (2 f t + ₀), A = 0.3, f=0.5 Гц, а скачкообразный сигнал – единичную ступеньку.

2.2.2. Методика формирования модели в системе MatLab

2.2.2.1.В командном окнеMatLab (CommandWindow) зададим все исходные данные модели, представленные выше, как переменные во времени (из таблицы), так и постоянные:

>> t=[0 3 10 20 35 50]

>> K0=[10 9 7 5 5 5 ]

>> T1=[1 0.8 0.6 0.5 0.5 0.5]

>> K1=[1 0.9 0.7 0.5 0.4 0.4]

>> T2=2.5

2.2.2.2.Используя подсистемуSIMULINK системыMatLab, “наберем” каждое звено исходной структурной схемы.

• Усилительное звено с переменным передаточным коэффициентом K₀ (t)

Для этого понадобятся следующие блоки библиотеки:

- из раздела блоков Look-Up Table (блоки задания таблиц):

- блок Look-Up Table- для задания одномерной таблицы (в виде функции одной переменной);

- из раздела блоков Math Operations (блоки элементов, определяющих математические операции):

- блок GAIN, Matrix Gain – усилитель (выполняет умножение входного сигнала на постоянный коэффициент)

;

- блок Product - блок умножения и деления (выполняет вычисление произведения текущих значений сигналов)

;

– блок Sum – сумматор (выполняет вычисление сумы текущих значений)

;

- из раздела Sources (блоки источников сигналов):

- Clock- источник времени (формирует сигнал, величина которого на каждом шаге равна текущему времени моделирования)

.

---

Схема имеет вид, представленный на рисунке 9.

Примечание. Для обеспечения удобства чтения схем при размещении блоков в структурной схеме использован поворот отдельных блоков относительно исходного направления. По умолчанию SIMULINK задает направление вход – выход слева направо. (На рисунке изменено направление размещения блока Clock – источник времени и блока Look-Up Table - задание одномерной таблицы).

Данная операция выполняется следующим образом.

выделяется блок (левой кнопкой мыши)  щелчком правой кнопки вызывается контекстное меню  в подменю Format активизируется опция Rotate Block (поворот блока на 90⁰),  для изменения направления размещения (поворота на 180⁰) можно использовать опцию Flip Block.

Для уменьшения количества одновременно отображаемых на экране блоков, представленную схемуможно свестикодному отдельномублоку – кподсистеме. Проделаем данную операцию с полученной схемой для формирования коэффициентаK₀.

С этой целью:

левой кнопкой мыши, не отпуская, выделяются все блоки (см. рисунок 9)  правой кнопкой вызывается контекстное меню  из этого меню выбирается опция Create Subsystem  по этой опции все блоки выделяются в одну подситем  для удобства можно изменить название подсистемы.

Результат такого объединения представлен на рисунке 10.

Примечание. Состав подсистемы можно восстановить двумя щелчками левой кнопки мыши

• Интегро-дифференцирующее звено W1 с переменной постоянной времени T₁(t)

Приведенное на схеме (см. рисунок 8) операторное выражение W₁представим в виде структурной схемы, которая будет аналогична представленной на рисунке 6.Схема, реализующая указанное звено, примет вид, представленный на рисунке 11.

Для удобства группу блоков на рисунке 11, формирующих переменный коэффициентb₁ можно объединить в один и присвоить имяb₁.

---