Файл: Глава 17.doc

При анализе линейных непрерывных систем используются методы дифференциальных уравнений, преобразование Лапласа и частотные методы. Анализ линейных дискретных систем может проводиться, по существу, такими же методами, только вместо дифференциальных уравнений используются разностные уравнения, дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование.

Понятие о разностных уравнениях. В дискретных системах в качестве временной функции выступает решетчатая функция x(kТ)=х[k]. Для удобства записи в дальнейшем будем использовать указанную более компактную форму записи дискрет.

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее первой разностью (аналог первой производной для непрерывных систем)

Вторая разность (аналог второй производной для непрерывных систем).

(17.8)

т.е. вторая разность есть разность первых разностей. Подставляя в (17.8) выражения для первых разностей, получим

(17.9)

Аналогично получим

(17.10)

Разность m-го порядка

(17.11)

Выражая конечные разности через дискреты функции, получим

где: - коэффициент бинома Ньютона.

Если линейная стационарная непрерывная система описывается дифференциальным уравнением

(17.12)

то соответствующая ей дискретная система описывается разностным уравнением (уравнением в конечных разностях) с постоянными коэффициентами.

(17.13)

с начальными условиями

Выражая конечные разности через дискретные значения функций в соответствии с формулой (17.11), уравнение (17.13) можно записать в форме рекуррентного разностного уравнения.

(17.14)

при начальных условиях

где: а коэффициентывыражаются через коэффициенты уравнения (17.13).

Если рекуррентное разностное уравнение (17.14) в явном виде содержит ит.е., то порядок разностного уравнения (17.14), равно как и порядок исходного разностного уравнения (17.13) равенr. В общем случае (напоминаем, чтоn-порядок дифференциального уравнения непрерывной системы). Объясняется это тем, что в процессе преобразования уравнения (17.13) к виду (17.14) функции x[k] или x[k+1] и т.д. могут взаимно уничтожаться. Таким образом, порядок разностного уравнения может отличаться от старшей разности.

Рассмотрим в качестве примера уравнение

Используя формулу (17.11), получаем

Введем новую переменную и тогда получим

т.е. при т.е..

Решение разностного уравнения можно записать в следующем виде:

где: находится из решения однородного при учете начальных условий, аявляется частным решением разностного уравнения, которое зависит от внешнего воздействия и не зависит от начальных условий. При решении разностных уравнений целесообразно использовать дискретное преобразование Лапласа илиZ-преобразование.

17.3. Основы математического анализа цифровых систем управления

Цифровые системы автоматического управления содержат в контуре регулирования ЭВМ, аналого–цифровой преобразователь (АЦП) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

Вэтом случае осуществляется квантование сигнала по времени и по уровню. Это означает, что характеристика цифрового регулятора (ЭВМ) является нелинейной, что и показано на рис.17.5. На этом рисунке величина младшего разряда обозначена буквой.

Рис.17.5. Характеристика цифрового устройства

сли ЭВМ оперирует с 16-ти и более разрядными данными, а АЦП и ЦАП имеют не менее 10 разрядов, то влиянием квантования по уровню на динамические процессы можно пренебречь. Но при этом в тех случаях, когда это требуется, необ-ходимо учесть погрешность, вносимую этим преобразо-ванием сигнала [3-2].

Предположим случайный характер этой погрешности, имеющей равномерный закон распределения вероятности, график, которого показан на рис.17.6.

Рис.17.6. Закон распределения случайной погрешности, обусловленной квантованием по уровню

этом случае статисти-ческие характеристики помехи, вносимой в систему квантованием сигнала по уровню, определяется так:

(17.15)

где: М[] – математическое ожидание помехи;

D[] – дисперсия.

В дальнейшем будем рассматривать линеаризованные цифровые автоматические системы (ЦАС) без учёта квантования сигнала по уровню, но с учетом вносимой им помехи.

В зависимости от взаимного расположения ЭВМ и непрерывной части системы, цифровые САУ могут быть цифроаналоговыми и аналого-цифровыми [3-2].

Функциональная схема цифро-аналоговой САУ показана на рис. 17.7.

Рис.17.7. Функциональная схема цифро-аналоговой системы

Обратим внимание на то, что ЭВМ в этом случае выполняет функции сравнивающего устройства дискретных сигналов (цифровых кодов) и регулятора.

Функциональная схема аналого-цифровой САУ представлена на рис.17.8.

Рис.17.8. Функциональная схема аналого-цифровой системы

Аналого-цифровой будем называть систему, в которой цифровой части предшествует хотя бы одно непрерывное звено (или несколько непрерывных звеньев; обозначение: НЧ1).

Различия между цифроаналоговой и аналого-цифровой системами заключается в следующем.

В цифроаналоговых системах непрерывные звенья присутствуют лишь на выходе. Поэтому такие системы можно рассматривать как обобщенные цифровые фильтры с входными и выходными сигналами в виде решетчатых функций времени.

Выходной сигнал аналого-цифровой системы зависит от значений входного сигнала в любой момент времени, а не только в тактовых точках кТ, следовательно, такая система не может быть описана разностным уравнением.

Практически в цифровых САУ перед цифровой частью часто имеется непрерывное звено. Если его инерционностью можно пренебречь, систему считают цифроаналоговой, что упрощает исследование. В противном случае система должна рассматриваться как аналого-цифровая.

Рассмотрим линеаризованную цифровую САУ, в которой учитывается только квантование сигнала по времени, и преобразование сигнала осуществляется в соответствии с амплитудно-импульсной модуляцией первого рода (АИМ I). В этом случае для удобства расчётов используют эквивалентную структурную схему линейной импульсной системы [3-1].

Рис.17.9. Структурные схемы линейной дискретной САУ:

а) исходная структурная схема; б) график реального импульса; в) эквивалентная структурная схема

На рис.17.9а приведена структурная схема линейной дискретной системы, на которой показано реальное импульсное звено (РИЗ) и передаточная функция непрерывной части системы [Wнч(р)]. На рис.17.9б показан график функции S(t), которая соответствует реальному импульсу в пределах периода квантования по времени (T).

Из структуры рис.17.9в можно записать:

. (17.16)

Так как предполагается, что идеальное импульсное звено (ИИЗ) генерирует последовательность мгновенных единичных импульсов (-функций), то сигнал на выходе ИИЗ можно представить в виде следующей суммы:

. (17.17)

В дальнейшем вместо (кТ) будем записывать [к]. В силу свойств ИИЗ введём в эквивалентную структурную схему (рис.17.9в) формирующее звено (ФЗ) с передаточной функцией

; (17.18)

т.к. весовая функция ФЗ

. (17.19)

Например, для РИЗ на выходе которого имеет место последовательность прямоугольных импульсов скважностью =Т_и/Т, можно найти W_ф(р) на основе графиков, изображенных на рис.17.10, из которого следует, что

. (17.20)