Файл: Задание ТПИ 14.doc

Задание 1 Определение максимальной частоты в спектре сигнала.

1. Сформировать сигнал f(t), номер которого совпадает с номером компьютера. Все сигналы рассматриваются только в диапазоне изменения времени от -1 до +1. За пределами этого диапазона значение сигнала равно нулю. Частота ω₀=π/2.

Варианты сигналов: 1) cos(ω₀ *t); 2)cos²(ω₀ *t); 3) 1 -t; 4) 1 –t²; 5)exp(- |t|); 6) 1 –t⁴; 7) 1 -t³; 8) 1-tg(t); 9)cos(2ω₀*t); 10) 1/(1 +t²); 11)sin²(ω₀ *t); 12) (sin²(ω₀ *t))^1/2 ; 13)cos²(ω₀ *t); 14)cos(2*ω₀ *t); 15)t; 16)t² ; 17)t³ ;18)sin(3*ω₀*t); 19)sin(ω₀*t); 20)t*sin(ω₀*t); 21) 1; 22) 0.5 +cos(ω₀ *t); 23) 1-cos²(ω₀ *t); 24)cos²(2*ω₀ *t).

2. Построить график сигнала f(t) в диапазоне от (-3 <t<3).

3. Найти прямое преобразование Фурье сигнала f(t) и его амплитудно-частотную характеристику. Пределы интегрирования ( -1 до +1)

F(f) = ∫ f(t)*exp(-ј*2*π*t)dt = ∫ f(t)*cos (-ј*2*π*t)dt + ј∫ f(t)*sin (-ј*2*π*t)dt.

Преобразование Фурье имеет мнимую и действительную части

F(f) = Re[F(f)] + ј*Im[F(f)]. Амплитудно-частотная характеристика сигнала

A(f) = {( Re[F(f)])² +( Im[F(f)])² }^1/2.

4. Построить график A(f) (частотный спектр сигнала). По графику определить максимальную частоту f_макс. в спектре сигнала из условия А(f_макс ) < = 0.05 * A(f)макс.

5. Найти обратное преобразование Фурье

f1(t) = ∫ F(f) *exp(-ј*2*π*t)df. Интегрирование осуществляется в диапазоне частот (-f_макс до +f_макс ). Вычислить и построить разность сигналов ε=f1(t) - f(t). Записать максимальное по модулю значение ε_макс.

Задание 2

Дискретизация сигналов во времени.

1. По найденному в задании 1 п.4 f_макс вычислитьT=1/(4*f_макс ).

2. Построить периодическую функцию δ_T (t) =∑ δ(t–n*T). Суммирование ведётся поnв диапазоне его изменения от -20 до + 20 Функция δ (t) = 1, если толькоt= 0, и равна «0» приt≠ 0.

3. Построить дискретный периодический сигнал f_Д (t)=f1(t)* δ_T (t). Функцияf1(t) получена в задании 1 п.5.

4. Вычислить максимальное значение второй производной сигнала f(t) (см. п.1 задания 1).

5. При восстановлении сигнала по его дискретным отсчётам путём линейной интерполяции интервал квантования выбирают из условия T1 = (8*ε_макс)/|f⁽²⁾(t)_макс.Вычислить T1. Величина ε_макс берётся из п.5 задания 1,f⁽²⁾(t) – вторая производная сигналаf(t).

6. Выполнить п.2,3 задания, заменив TнаT1 иf1(t) наf(t).

---

Контрольные вопросы к заданию

1. Суть дискретизации сигналов во времени по Котельникову.

2. Суть дискретизации сигналов во времени по величине ошибки аппроксимации.

3. Как соотносятся спектры сигналов f1(t) наf(t)?

4. Сигнал, квантованный по Котельников, воспроизводиться с использованием аппроксимации полиномом первой степени. Какова при этом будет ошибка воспроизведения сигнала f(t)?

5. Целесообразно ли увеличивать степень аппроксимирующего полинома при квантовании сигнала по времени?

6. При воспроизведении исходного сигнала из квантованного по времени чаще всего используют полиномы нулевой или первой степени. Почему?

7. Суть неравномерного квантования по времени.

8. Приведите несколько примеров, где используются квантованные во времени сигналы.

9. С какой частотой дожжен квантоваться речевой сигнал?

10. Как непрерывный сигнал преобразуют в цифровую форму?

11. Имеются ли ограничения на число разрядов при оцифровке речевых сигналов?

12. Какова должна быть частота следования в линии связи импульсов неизбыточного кода при цифровой передачи речевого сигнала?

13. Возможно ли технически реализовать сигнал f1(t) наf(t)?

---

Задание 3 Количество информации

1. Записать свой двухзначный номер (М=п1,п2) в студенческом журнале группы.

2. Имеются 5 сообщений Х. Найти их энтропию Н = - ∑ (Р_Хк *logР_Хк) . Суммирование ведётся по «к» от к1 до к5. Энтропию найти для двух случаев.

А) Все сообщения равновероятны.

Б) Все сообщения разновероятны. Вероятность сообщения х1 равна 0.1*п1, а х2 -0.05 *п2, где п1 ,п2 –двухзначный номер из п.1. Вероятности остальных сообщений задать произвольно, учитывая, что суммарная вероятность всех сообщений равна 1.

	У1	У2	У3	У4	У5	У6	У7	У8
Х1	0.0043	0.0087	0.021	0.0446	0.0784	0.115	0.148	0.58
Х2	0.58	0.148	0.115	0.0784	0.0446	0.021	0.0087	0.0043

3.Рассматривается ансамбль из двух сообщений Х и У. Сообщений Х только два х1 и х2, а сообщений У 8 от у1 до у8. В ниже приведённой таблице указаны условные вероятности Р(у/х) событий.

Сообщение х1 имеет вероятность Р(х1) =0.03*М, М – двухзначный номер из п.1, а вероятность сообщения Р(х2) =(1-Р(х1)).

А) Вычислить все вероятности сообщений У оту1 до у8 (суммы вероятностей соответствующих столбцов).

Б) Найти энтропии Н(х), уН(у), условные энтропии Н(у/х1) = -∑ Р(у/х1)* logР(у/х1), Н(у/х2) = -∑ Р(у/х2)*logР(у/х2),

Суммирование производиться по У от у1 до у8. Вычислить условную энтропию

Н(х/у) = Р(х1)* Н(у/х1)+Р(х2)* Н(у/х2) .

Пояснение. Н(х/у) представляет собой добавочную энтропию, которое даёт к энтропии Н(х) знание состояния У. Эта добавочная энтропия обусловлена только помехами (предполагается, что Х входные сообщения канала связи, а У – его выходные сообщения).

Количество информации, содержащиеся в принятых сообщениях относительно переданных Х, определяется разностью Н(у) – Н(у/х). Вычислить эту разность.

Контрольные вопросы к заданию 3.

---

1. Что озн6ачают термины «информация», «энтропия»?

2. Есть меры информации по Хартли и по Шеннону. Можно ли обойтись любой одной из них?

3. Какой физический смысл имеет условная энтропия?

4. Что понимают под избыточностью информации?

5. Поясните понятия «скорость передачи информации» и « пропускная способность канала связи».

6. Какой физический смысл имеет понятие «количество информации»?

7. Вы получили информацию о наступлении некоторого события. Что можете сказать о величине получен6ной Вами информации?

8. С какой целью используется избыточность информации? Привести примеры.

9. Какие существуют единицы измерения информации? Зависит ли количество информации от единицы её измерения?

10. Укажите область техники, где производится измерение количества информации.

11. По каналу связи передаются сообщения Х. На них воздействует помеха, в результате чего на выходе канала связи получаем сообщения У. Вычисляется Н(у/х). Какой желательно должна быть её величина?

12. Поясните. «Скорость передачи информации» и» пропускная способность канала связи»это одно и то же?

13. Зависит ли потенциальная возможность безошибочной передачи информации от соотношения величин «скорость создания информации» и «пропускная способность канала связи»?

---

Задание 4 Эффективное кодирование

1. Рассматриваются 4 сообщения (х1, х2, х3, х4). Суммарная вероятность их появления равна 1. Вероятность сообщения х1 Р(х1) = 0.1* п1 + 0.05*п2. Где п1 и п2 –цифры двухзначного номера студента по журналу группы. Вероятностями остальных сообщений задаться самостоятельно. Вычислить энтропию сообщений Н = ∑(Р(хк) *logРхк)). хк – это (х1, х2, х3, х4).

2. Закодировать сообщения кодом Шенонна-Фано (Ш.-Ф.). Вычислить среднюю длину кода п = ∑ а(хк)*Р(хк). а(хк) – количество знаков в коде Ш.-Ф. сообщения хк.

3. Сгруппировать сообщения по 2 (4*4 =16). Вычислить вероятности этих новых сообщений , как произведение вероятностей соответствующих исходных сообщений.

4. Закодировать эти 16 сообщений кодом Ш.-Ф. и вычислить энтропию полученных сообщений и среднюю длину кода.

5. Закодировать эти 16 сообщений кодом Хаффмена. Найти среднюю длину кода?

Контрольные вопросы к заданию 4

1. Как и почему должны соотноситься средняя длина кода и энтропия?

2. Поясните, является ли неизбыточный код эффективным?

3. Поясните, какой существенный недостаток имеют эффективные коды?

4. Как осуществляется декодирование эффективных кодов?

5. Какой код «лучше» Ш.-Ф. или Хаффмена?

6. Эффективный код увеличивает или уменьшает скорость передачи информации?

7. В чём суть префикосности эффективных кодов?

8. С какой целью производят укрупнение сообщений ( как в п. 3)задания?

9. Всегда ли целесообразно применять эффективное кодирование информации?

10. Поясните. Повышает ли помехоустойчивость сообщений эффективное кодирование?

Задание 5 (Домашнее задание) Некоторые сведения из теории полей Галуа.

Коды Рида – Соломона строятся, используя арифметические операции в конечных полях, называемых полями Галуа ( GF(p))порядкаp. Числоpдолжно быть простым. Помимо таких полей используются полеGF(p^m), называемое расширением поляGF(p). Расширение поля используется для многочленного представления элементов поляGF(p^m). Многочленное представление это все многочлены степени меньшейm. Чтобы в результате арифметических действий над многочленами не получился многочлен степени выше, чемm-1 , результат приводят по модулю неприводимого многочлена степениm. То есть, за результат выполнения арифметических операций принимают остаток от деления результата на неприводимый многочлен. Многочлен называется неприводимым, если он не раскладывается на множители (на многочлены) степени меньшей, чемmс коэффициентами из поляGF(p).

---