Файл: Лекция 3_09.doc

Лекция 3_09

Правка 17.02.07, 04.03.07, 14.04.07 (ф-ла (3.16))

Векторные электрический и магнитный потенциалы. Представление электрического и магнитного полей через векторные потенциалы. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца для векторных электрического и магнитного потенциалов.

Поскольку мы будем рассматривать линейные УМ, то можно всегда воспользоваться принципом суперпозиции и представить поле, удовлетворяющее УМ со сторонними электрическими и сторонними магнитными токами суммой полей Е^e и Н^e , порождаемых только сторонним электрическим током j^es, и полей Е^m и Н^m , порождаемых только сторонним магнитным током j^ms. Индекс «e» или «m» у полей показывает, что поля создаются соответственно электрическими или магнитными токами.

Рассмотрим вначале введение потенциалов для негармонических полей. Для того, чтобы упростить изложение, исходные УМ запишем только с электрическими сторонними токами и зарядами.

, ,

, . (3.1)

К случаю магнитных сторонних токов и зарядов далее можно будет перейти, используя принцип перестановочной инвариантности.

О вихревых и потенциальных полях.

При обсуждении вопроса об описании ЭМ полей потенциалами нам необходимо вспомнить о таких понятиях, как вихревые и потенциальные поля.

Рассмотрим вначале случай, когда ЭМ поле создается не меняющимся во времени и неподвижным сторонним электрическим зарядом. В этом случае УМ (3.1) сводится к уравнениям постоянного электрического поля, создаваемого постоянным электрическим зарядом

. (3.2)

Поля, создаваемые постоянными электрическими зарядами (уравнения (3.2)), называются электростатическими.

Так как в (3.2) то можно определить вектор Е через градиент скалярного электрического потенциала φ^e:

---

Е= –grad φ^e. (3.3)

При этом первое уравнение (3.2) выполняется тождественно, а скалярный потенциал φ^e удовлетворяет скалярному уравнению Пуассона

. (3.4)

Поскольку ротор статического электрического поля равен нулю, оно называется безвихревым или потенциальным.

Силовые линии потенциального электрического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются и заканчиваются в точках расположения зарядов.

Аналогично электростатическим полям можно рассмотреть магнитостатические поля, к уравнениям которых можно перейти от (3.2)-(3.4), используя принцип перестановочной двойственности. Магнитостатические поля создаются постоянными магнитами, если рассматривать последние, как источники статического магнитного поля.

Рассмотрим теперь случай, когда поля создаются постоянным током j^es. Тогда из (3.1) следуют уравнения постоянного магнитного поля

, (3.5)

Поля, создаваемые постоянным током (см. уравнения (3.2)), называются стационарными. Цепь постоянного тока должна быть замкнутой.

Следует добавить, что уравнение непрерывности, связывающее сторонние токи и заряды

(3.6)

в статических и стационарных полях распадается на два независимых уравнения, иначе системы (3.2) и (3.5) были бы связаны.

Так как в (3.5) div Н^e =0, то векторное магнитное поле является вихревым - его силовые линии замкнуты. Отсюда следует, что напряженность стационарного магнитного поля Н^e может быть представлена как ротор некоторого вектора А^e:

Н^e = rot A^e (3.7)

При этом условие div Н^e= div rotA^e = 0 выполняется тождественно. Вектор A^e будем называть векторным электрическим потенциалом.

Подстановка (3.7) в (3.5) приводит к векторному уравнению Пуассона для векторного потенциала A^e

(3.8)

---

Силовые линии вихревого магнитного поля всегда замкнуты.

Рассмотрим случай, когда ЭМ поле создается двумя видами независимых источников: постоянными токами и зарядами. При этом вихревое магнитное поле и потенциальное электрическое поле независимы и можно ввести в рассмотрение новое векторное поле в виде суперпозиции этих двух независимых полей. Математическим утверждением этого физического факта является теорема Гельмгольца: векторная функция F может быть представлена в виде суммы вихревого векторного поля Н, определяемого через векторный потенциал А, удовлетворяющий векторному уравнению Пуассона (3.8) , и потенциального векторного поля E, определяемого через скалярный потенциал φ, удовлетворяющий скалярному уравнению Пуассона (3.4).

---

Введение векторных и скалярных потенциалов для мгновенных электромагнитных полей.

Переменное электромагнитное поле в общем случае представляет собой более сложный объект, чем суперпозиция вихревого и потенциального полей, но оно может быть выражено через векторные и скалярные потенциалы.

Вернемся к УМ (3.1), но теперь предположим, что сторонние токи и заряды меняются во времени и связаны уравнением непрерывности (3.6).

Поскольку магнитных зарядов нет, мы, как и в стационарном случае, можем полагать, что векторное магнитное поле является вихревым и представлено как ротор некоторого вектора A^e (см. определение (3.7)). Подставим соотношение (3.7) во второе УМ в (3.1). Это даст

,

или

(3.9)

Вектор, ротор которого равен нулю, может быть представлен градиентом некоторой потенциальной функции. В статике мы имели соотношение (3.3): Е = - grad φ. В электродинамике положим вектор, стоящий под знаком rot в (3.9), равным – grad ^e :

таким образом

(3.10)

Из (3.10) видно, что вектор Е не является чисто потенциальным, а содержит вихревую и потенциальную составляющие.

Исключим теперь Н^e и Е^e из 1-го УМ (3.1) с помощью (3.7) и (3.10). Получим

,

Учитывая, что rotrot =   + grad div, получим далее

(3.11)

Заметим теперь, что потенциалы А^e и φ^e уже не являются независимыми (это следует хотя бы из того факта, что сторонние токи и заряды связаны уравнением непрерывности). Это означает, что потенциал А^e может содержать не только вихревую, но и «безвихревую» (потенциальную) составляющие. Поскольку условие (3.7) определяет только вихревую часть потенциала А^e, прибавление к А^e слагаемого вида grad не меняет Н^e. Поэтому в (3.7) и (3.10) «безвихревая» часть потенциала А^e не определена, а «потенциальная» часть вектора Е^e слагается из двух величин – «безвихревой» части вектора А^e и слагаемого grad^e.

---

Поскольку имеется свобода в выборе «безвихревой» части вектора А^e , распорядимся ей следующим образом. Наложим на А^e и grad^e такую связь, чтобы максимально упростить уравнение (3.11). Из (3.11) видно, что мы можем наложить условие

(3.12)

при этом уравнение (3.11) перейдет в волновое уравнение для векторного электрического потенциала (уравнение Даламбера)

. (3.13)

Здесь V=(ε_a μ_a)^-1/2 – скорость ЭМ волн в среде.

Дополнительная связь (3.12), наложенная на векторный потенциал А^e и скалярный потенциал ^e , называется условием калибровки Лоренца.

Обратим внимание на то, что в правой части уравнения (3.13) стоит только сторонний электрический ток, а производные тока отсутствуют. Это не только упрощает (по сравнению с аналогичными уравнениями для Е или Н) решение задач излучения антенн, но и облегчает физическую интерпретацию процессов излучения.

Предположим, что мы нашли решение векторного волнового уравнения (ВВУ) (3.13) для заданного распределения стороннего тока. Дальше надо найти поля Е и Н . Магнитное поле находится подстановкой вектора Н в (3.7). Чтобы найти электрическое поле, исключим скалярный потенциал φ^e из (3.10), используя условие калибровки (3.12). Связь (3.12) можно рассматривать, как обыкновенное дифференциальное уравнение для потенциала φ^e . Интегрируя его по времени, получим

(3.14)

Здесь для определенности принято, что сторонний ток включен в момент времени t₀.

Подставив (3.14) в (3.10), получим, что электрическое поле может быть найдено с помощью соотношения

(3.15)

Таким образом, для определения электрического и магнитного полей. создаваемых сторонним электрическим током, достаточно решить ВВУ (3.13) и далее найти поля Е и Н с помощью соотношений (3.7) и (3.15).

Аналогичные ВВУ и соотношения для электрического и магнитного полей, создаваемых сторонним магнитным током и определяемый через векторный магнитный потенциал, находятся с помощью принципа перестановочной инвариантности (см. [1], стр. 36-37). Соответствующие соотношения предлагается получить самостоятельно.

---