Файл: Понятие переменной в программировании. Виды и типы переменных (Оператор присваивания. Арифметические выражения).pdf

Несколько примеров представления вещественных чисел в плавающей форме:

1.0 = +20*1.0

Здесь порядок равен 0, мантисса - 1. В двоичном коде мантисса состоит из одних нулей, так как старший разряд мантиссы (всегда единичный) в коде отсутствует. Порядок хранится в двоичном коде в смещенном виде, он равен 127 в случае float и 1023 в случае double ;

3.5 = +21*1.75

Порядок равен единице, мантисса состоит из трех единиц, из которых в двоичном коде хранятся две: 1100...0 ; смещенный порядок равен 128 для float и 1024 для double ;

0.625 = +2-1*1.25

Порядок отрицательный и равен -1, дробная часть мантиссы равна 0100...0 ; смещенный порядок равен 126 для float и 1022 для double ;

100.0 = +26*1.5625

Порядок равен шести, дробная часть мантиссы равна 100100...0 ; смещенный порядок равен 133 для float и 1029 для double.

При выполнении сложения двух положительных плавающих чисел происходят следующие действия:

1. выравнивание порядков. Определяется число с меньшим порядком. Затем последовательно его порядок увеличивается на единицу, а мантисса делится на 2, пока порядки двух чисел не сравняются. Аппаратное деление на 2 соответствует сдвигу двоичного кода мантиссы вправо, так что эта операция выполняется быстро. При сдвигах правые разряды теряются, из-за этого может произойти потеря точности (в случае, когда правые разряды ненулевые);
2. сложение мантисс;
3. нормализация: если мантисса результата стала равна или превысила двойку, то порядок увеличивается на единицу, а мантисса делится на 2. В результате этого мантисса попадает в интервал 1 <= m<2. При этом возможна потеря точности, а также переполнение, когда порядок превышает максимально возможную величину.

Вычитание производится аналогичным образом. При умножении порядки складываются, а мантиссы перемножаются как целые числа, после чего у результата правые разряды отбрасываются.

Машинный эпсилон

Действия с плавающими числами из-за ошибок округления лишь приближенно отражают арифметику настоящих вещественных чисел. Так, если к большому плавающему числу прибавить очень маленькое, то оно не изменится. Действительно, при выравнивании порядков все значащие биты мантиссы меньшего числа могут выйти за пределы разрядной сетки, в результате чего оно станет равным нулю. Таким образом, с плавающими числами возможна ситуация, когда

a + b = b ≠ 0

Более того, для сложения не выполняется закон ассоциативности:

a + (b + c) ≠ (a + b) + c

Действительно, пусть ɛ - максимальное плавающее число среди чисел, удовлетворяющих условию

1.0 + ɛ = 1.0

(приведенные выше рассуждения показывают, что такие числа существуют). Тогда

(1.0 + ɛ) + ɛ≠1.0 +(ɛ + ɛ)

поскольку левая часть неравенства равна единице, а правая строго больше единицы (это следует из максимальности числа ɛ ).

Число ɛ часто называют машинным эпсилоном или, чуть менее корректно, машинным нулем, поскольку при прибавлении к единице оно ведет себя как ноль. Величина машинного эпсилона характеризует точность операций компьютера. Она примерно одинакова для всех современных компьютеров: большинство процессоров работают с восьмибайтовыми плавающими числами (тип double в Си), а арифметика плавающих чисел подчиняется строгим международным стандартам.

Оценим величину машинного эпсилона для типа double. Число 1.0 записывается в плавающей форме как

1.0 = +20*1.0.

Порядок плавающего числа 1.0 равен нулю. При сложении 1.0 с числом ɛ производится выравнивание порядка путем многократного сдвига мантиссы числа ɛ вправо и увеличения его порядка на 1. Поскольку все разряды числа ɛ  должны в результате выйти за пределы разрядной сетки, должно быть выполнено 53 сдвига. Порядок числа ɛ  после этого должен стать равным порядку числа 1.0, т.е. нулю. Следовательно, изначально порядок числа ɛ  должен быть равным -53:

ɛ = 2^-53m

где m - число в диапазоне от единицы до двух. Таким образом, величина машинного эпсилона составляет примерно

2^-53 ≈10^-16

Приблизительно точность вычислений составляет 16 десятичных цифр. (Это также можно оценить следующим образом: 53 двоичных разряда составляют примерно 15.95 десятичных, поскольку 53/log₂10≈53/3.321928 ≈15.95.)

В случае четырехбайтовых плавающих чисел (тип float языка Си) точность вычислений составляет примерно 7 десятичных цифр. Это очень мало, поэтому тип float чрезвычайно редко применяется на практике. К тому же процессор сконструирован для работы с восьмибайтовыми вещественными числами, а при работе с четырехбайтовыми он все равно сначала приводит их к восьмибайтовому типу. В программировании следует избегать типа float и всегда пользоваться типом double.

Некоторые процессоры применяют внутреннее представление плавающих чисел с большим количеством разрядов мантиссы. Например, процессор Intel использует 80-битовое (десятибайтовое) представление. Поэтому точность вычислений, которые не записывают промежуточные результаты в память, может быть несколько выше указанных оценок.

Кроме потери точности, при операциях с вещественными числами могут происходить и другие неприятности:

1. переполнение - когда порядок результата больше максимально возможного значения. Эта ошибка часто возникает при умножении больших чисел;
2. исчезновение порядка - когда порядок результата отрицательный и слишком большой по абсолютной величине, т.е. порядок меньше минимально допустимого значения. Эта ошибка может возникнуть при делении маленького числа на очень большое или при умножении двух очень маленьких по абсолютной величине чисел.

Кроме того, некорректной операцией является деление на ноль. В отличие от операций с целыми числами, переполнение и исчезновение порядка считаются ошибочными ситуациями и приводят к аппаратному прерыванию работы процессора. Программист может задать реакцию на прерывание - либо аварийное завершение программы, либо, например, при переполнении присваивать результату специальное значение плюс или минус бесконечность, а при исчезновении порядка - ноль. Заметим, что среди двоичных кодов, представляющих плавающие числа, имеется несколько специальных значений. Перечислим некоторые из них:

1. бесконечно большое число - это плавающее число с очень большим положительным порядком и, таким образом, очень большое по абсолютной величине. Оно может иметь знак плюс или минус;
2. бесконечно малое, или денормализованное, число - это ненулевое плавающее число с очень большим отрицательным порядком (т.е. очень маленькое по абсолютной величине);
3. Not a Number, или NaN - двоичный код, который не является корректным представлением какого-либо вещественного числа.

Любые операции с константой NaN приводят к прерыванию, поэтому она удобна при отладке программы - ею перед началом работы программы инициализируются значения всех вещественных переменных. Если в результате ошибки программиста при вычислении выражения используется переменная, которой не было присвоено никакого значения, то происходит прерывание из-за операции со значением NaN и ошибка быстро отслеживается. К сожалению, в случае целых чисел такой константы нет: любой двоичный код представляет некоторое целое число.

Запись вещественных констант

Вещественные константы записываются в двух формах - с фиксированной десятичной точкой или в экспоненциальном виде. В первом случае точка используется для разделения целой и дробной частей константы. Как целая, так и дробная части могут отсутствовать. Примеры:

1.2, 0.725, 1., .35, 0.

В трех последних случаях отсутствует либо дробная, либо целая часть. Десятичная точка должна обязательно присутствовать, иначе константа считается целой. Отметим, что в программировании именно точка, а не запятая, используется для отделения дробной части; запятая обычно служит для разделения элементов списка.

Экспоненциальная форма записи вещественной константы содержит знак, мантиссу и десятичный порядок (экспоненту). Мантисса - это любая положительная вещественная константа в форме с фиксированной точкой или целая константа. Порядок указывает степень числа 10, на которую домножается мантисса. Порядок отделяется от мантиссы буквой "e" (от слова exponent), она может быть прописной или строчной. Порядок может иметь знак плюс или минус, в случае положительного порядка знак плюс можно опускать. Примеры:

1.5e+6 константа эквивалентна 1500000.0

1e-4 константа эквивалентна 0.0001

-.75E3 константа эквивалентна -750.0

Глава 2. Практическое использование переменных в программировании

Структура исходной программы на ЯП. Исходная программа (source module), как правило, состоит из следующих частей (впервые эти требования были сформулированы в языке Cobol):

• раздела идентификации — области, содержащей наименование программы, а также дополнительную информацию для программистов и/или пользователей;
• раздела связи — фрагмента текста, описывающего внешние переменные, передаваемые вызывающей программой (если таковая имеется), т. е. ту часть исходных данных, которая обязательно поступает на вход программы при ее запуске. Эти переменные часто называют параметрами программы;
• раздела оборудования (среды) — описания типа ЭВМ, процессора, требований к оперативной и внешней памяти, существенных с точки зрения выполнимости программы. Дело в том, что даже среди семейства однотипных ЭВМ могут существовать отличия в наборе машинных инструкций (команд), средств программирования ввода-вывода, кодированного представления данных, в связи с этим описание среды, приводимое в данном разделе, оказывается необходимым транслятору с языка с точки зрения оптимизации выполнения или вообще оценки возможности создания рабочей программы;
• раздела данных — идентификации (декларации, объявления, описания) переменных, используемых в программе, и их типов. Понятие типа позволяет осуществлять проверку данных на совместимость в операциях еще на этапе трансляции программы и отвергнуть недопустимые преобразования;
• раздела процедур — собственно программной части, содержащей описание процессов обработки данных. Элементами процедуры являются операторы и стандартные функции, входящие в состав соответствующего языка программирования.

Необходимо отметить, что конкретные ЯП могут не требовать наличия всех выше перечисленных разделов исходного модуля. В некоторых случаях описания переменных могут размещаться произвольно в тексте или опускаться, при этом тип переменной определяется компилятором, исходя из системы умолчаний; есть средства программирования, в которых тип переменной задается в момент присвоения ей значения другой переменной или константы и т. д. Существуют фрагменты описания данных, которые могут быть отнесены как к разделу данных, так и к разделу оборудования (указания на устройство, длину и формат записи, организацию файла и т. п.).

Операторы ЯП. К типовым операторам управления вычислительным процессом относятся следующие:

• • организация циклов (выполняемых до исчерпания списка или до достижения управляющей переменной заданного значения, или пока выполняются некоторые условия);
  • ветвление программы — выполнение альтернативных групп операторов при заданных условиях;
  • блоки операторов — группы, выполняемые как целое;
  • операторы перехода — условная или безусловная передача управления на определенный оператор, снабженный меткой, или условный/безусловный выход из цикла или блока.

Заметим, что все перечисленные операторы (кроме перехода) принято называть операторами структурного программирования, а языки, в которых операторов перехода нет, — языками структурного программирования.

Важной компонентой управляющих операторов обычно являются логические условия, сопоставляющие значения констант, функций, переменных отношениями типа >, <, >, <, ф и вырабатывающие решение о продолжении цикла, ветвлении, выходе из блока и т. д. Несколько простых условий объединяются в составные посредством логических операций и, или, не.

Операторы присваивания значений выполняют следующие функции:

• пересылку значений переменных, констант, функций в принимающую переменную;
• вычисление значений арифметической (числовой) переменной в рамках существующих в языке правил построения арифметических выражений (обычно включающих символы «()» — скобки, «+» — сложение, «-» — вычитание, «/» — деление, «*» — умножение, «**» или «л» — возведение в степень);
• вычисление значений строчной (символьной) переменной путем соединения, пересечения, вычисления строк;
• вычисление логических переменных в рамках правил образования логических выражений (обычно включающих скобки и операции и, или, не).