Файл: МОРИ (О приближенных вычислениях).doc

Точными числами являются числовые коэффициенты и показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения; числа, заданные определениями, и другие. Например, точными являются: коэффициент 4/3 и показатель степени 3 в формуле объёма шара ; реперная точка термодинамической температур-ной шкалы – температура тройной точки воды Т = 273,16 К; показатель пре-ломления вакуума n = 1 и другие.

Погрешность точных чисел равна нулю.

К приближенным числам относятся: результаты измерений различ-ных величин; округленные значения точных чисел; табличные значения математических, физических, химических величин; иррациональные чис-ла и другие. Например, приближенными числами будут: измеренная с по-мощью амперметра сила тока в цепи I = 42,8 мА; ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с²; постоянная Больцмана k = 1,3810^-23 Дж/К; число  = 3,14; 2 = 1,41; 1n 10 = 2,30; sin 15°= 0,259.

2. Значащие цифры

Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Так, числа 3,1416; 5,09410⁵; 0,0172 имеют соответственно пять, четыре и три значащие циф-ры. Можно сказать иначе: первое число - пятизначное, второе – четырех-значное, третье - трехзначное.

Значащей цифра называется потому, что она является представи-телем того или иного разряда или, как говорят, означает соответствующий десятичный разряд. Так, в приближенном числе 4,50 цифра 4 означает разряд единиц, цифра 5 – разряд десятых долей, цифра 0 – разряд сотых долей. Тысячные и другие более мелкие доли неизвестны, поэтому соот-ветствующие разряды не означены никакими цифрами.

В точных числах (в отличие от приближенных) представители неоз-наченных разрядов известны – это нули. Следует предостеречь от часто допускаемой при вычисленнях ошибки, когда это положение неправо-мерно переносится и на приближенные числа. В случае точных чисел чис-ла 4,5 и 4,50 совершенно равноценны, а в случае приближенных нет: пер-вое содержит две значащие цифры, второе – три, в первом числе сотые доли неизвестны, во втором известны – их нуль.

Нули, стоящие в начале числа, не являются значащими. Например, в приближенном числе 0,0172 только три значащие цифры. Первые два нуля являются незначащими, так как играют вспомогательную роль: слу-жат для указания соответствующих десятичных разрядов последующими цифрами (цифрами 1, 7 и 2). Такое указание можно осуществить другими способами, обходясь без нулей в начале числа, например, записав его в нормальной форме: 0,0172=1,7210^-².

В нормальной форме первую значащую цифру приближенного числа ставят в разряд единиц, а остальные (общее их количество, естественно, сохраняется) – в десятичных разрядах после запятой. Полученное число умножается на множитель вида 10ⁿ, где п — целое положительное или от-рицательное число. Например, число 1980 в нормальной форме запишется в виде 1,98010³.

3. Верные, сомнительные и неверные цифры

Приближенные числа, полученные в вычислениях, определенные из таблиц или найденные другими способами, содержат различное количес-тво значащих цифр, среди которых имеются верные,сомнительныеиневерныецифры.

Верными цифрами приближенного числа называются п первых цифр, если абсолютная погрешность числа не превышает половины еди-ницы разряда n-й цифры. Например, в приближенных числах 1406±2; 512,9±1,2; (82,4±0,8) 10³верными соответственно являются три, две и одна первые значащие цифры. Следовательно, количество верных цифр в при-ближенном числе однозначно определяется его абсолютной погреш-ностью.

Цифра, стоящая за последней верной, является не вполне точно опре-деленной (в ней содержится погрешность) и поэтому называется сомни-тельной. В некоторых случаях сомнительных цифр может быть две. В приведенном выше примере сомнительными соответственно являются од-на, две и две последние значащие цифры. Сомнительные цифры прибли-женного числа так же, как и верные, определяются его абсолютной по-грешностью.

Все цифры приближенного числа, стоящие после последней сомни-тельной, являются неверными. Действительно, поскольку эта сомни-тельная цифра не может быть определена точно, то цифры последующих более низких разрядов невозможно найти и даже оценить. Поэтому невер-ные цифры не содержат реальной информации, бессмысленны и должны быть отброшены (с использованием правил округления). Например, в при-ближенном числе 406,59±2 пять значащих цифр. Из них две первые вер-ные, третья сомнительная, а две последние неверные. Поэтому правиль-ной будет запись: 407±2. В случае приближенного числа 210,324+1,2 сле-дует писать 210,3±1,2.

4. Округление чисел

Приближенные и точные числа можно округлять, т.е. уменьшать ко-личество их значащих цифр. Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие после n-го разряда. При этом руко-водствуются следующими правилами: если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из сохраняемых увеличивается на единицу. Например, округление числа 7,192 до трех зна-чащих цифр дает число 7,19, до двух – 7,2. Округление числа 1681 до двух значащих цифр дает число 1,710³, а округление числа 0,80214 - число 0,80.

Абсолютная погрешность округленного числа не превышает полови-ны единицы последней сохраненной цифры. Следовательно, все значащие цифры округленного числа являются верными (исключение составляют приближенные числа, содержащие до округления две сомнительные циф-ры при условии, что округляется только одна из них).

При округлении приближенных чисел их точность уменьшается, так как к первоначальной погрешности добавляется еще ошибка, обусловлен-ная округлением. Причем эта добавка в зависимости от степени округле-ния может быть как меньше, так и больше первоначальной величины пог-решности числа.

В результате округления точных чисел получаются приближенные чи-сла, погрешность которых равна ошибке, возникшей при округлении.

5. Округление погрешностей и результатов измерений

Существуют различные методы обработки результатов измерений. Все они приближенные. Поэтому, найденные значения погрешностей так-же являются приближенными. В соответствии с точностью методов обра-ботки абсолютная погрешность опытов определяется не более чем до двух значащих цифр (см. ГОСТ 8.011-72). При простейших методах обработки вычисленная погрешность характеризует реальные ошибки лишь по по-рядку величины, т.е. вторая цифра, как правило, неверна. В учебных лабо-раториях абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. Например, R = 0,42 см  0,4 см; I = 0,48 10^-3А  0,5 ІО^-3 А.

Исключением из этого правила являются числа, в которых первая цифра единица. Во избежание грубой ошибки при округлении в этом слу-чае указывают и следующую за единицей цифру. Например, R = 1,36 Ом1,4 Ом;l = 1,02 мм1,0 мм.

Найденная абсолютная погрешность позволяет однозначно опреде-лить верные, сомнительные и неверные цифры в приближенном числе – результате измерения и правильно записать окончательный ответ, указав в нём только верные и одну или две сомнительные цифры. Например, t = (18,90,4) с; I = (82,0±0,5) 10^-3 А; R = (124,5±1,4) Ом.

Относительная погрешность тоже должна округляться до одной (иногда до двух) значащей цифры. Действительно, в соответствии с пра-вилами округления абсолютная погрешность в приведенном выше примере для времени находится в интервале [0,35; 0,44] с. Следовательно, относи-тельная погрешность лежит в интервале [1,9; 2,3]%. Отсюда видно, что де-сятые доли процента соответствуют отброшенным цифрам в абсолютной погрешности, поэтому при указании относительной погрешности необхо-димо ограничиться одной значащей цифрой.

Если количество сохраняемых значащих цифр в результате одно-значно определяется его погрешностью, то и обратно по количеству знача-щих цифр в правильно записанном результате можно приблизительно су-дить о погрешности. Например, при измерении высоты цилиндра получен результат h = 22,10 мм. Следовательно, абсолютная погрешность содер-жится в самом низком разряде результата, т.е. в сотых долях миллиметра; относительная погрешность составляет десятые-сотые доли процента.